WBBSE Class 10 Math Solution

Ganit Prakash Class X solution

কষে দেখি 1.1 সমাধান

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

WBBSE Class 10 Chapter 1 Solution

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি ও নিয়ম:

• দ্বিঘাত সমীকরণে চলরাশির সর্বোচ্চ ঘাত (power) সর্বদা ২ হতে হবে।
• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² – 2ab + b²
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• গতিবেগ সংক্রান্ত অংকে: সময় = দূরত্বগতিবেগ

1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।

(i) x² – 7x + 2
সমাধান: এই সংখ্যামালায় চলরাশি x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
উত্তর: এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।

(ii) 7x⁵ – x(x + 2)
সমাধান: 7x⁵ – x² – 2x । এখানে চলরাশি x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 5।
উত্তর: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

(iii) 2x(x + 5) + 1
সমাধান: গুণ করে পাই, 2x² + 10x + 1 । এখানে চলরাশি x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
উত্তর: এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।

(iv) 2x – 1
সমাধান: এখানে চলরাশি x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 1।
উত্তর: এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয় (এটি রৈখিক)।

2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax² + bx + c = 0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি।

(i) x – 1 + 1x = 6 , (x ≠ 0)
সমাধান:
বা, x² – x + 1x = 6
বা, x² – x + 1 = 6x
বা, x² – 7x + 1 = 0
উত্তর: এটি ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায়।

(ii) x + 3x = x² , (x ≠ 0)
সমাধান:
বা, x² + 3x = x²
বা, x² + 3 = x³
বা, x³ – x² – 3 = 0
উত্তর: এটি ত্রিঘাত সমীকরণ, তাই ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় না।

(iii) x² – 6√x + 2 = 0
সমাধান: এখানে x-এর ঘাত ভগ্নাংশ (√x = x^1/2)। বহুপদী সংখ্যামালায় ঘাত অখণ্ড সংখ্যা হতে হয়।
উত্তর: এটি ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় না।

(iv) (x – 2)² = x² – 4x + 4
সমাধান:
বা, x² – 4x + 4 = x² – 4x + 4
বা, 0 = 0
এটি একটি অভেদ, সমীকরণ নয়।
উত্তর: এটি ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় না。

3. x⁶ – x³ – 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: x⁶ – x³ – 2 = 0
একে লেখা যায়: (x³)² – (x³) – 2 = 0
ধরি, x³ = y
তাহলে সমীকরণটি হয়: y² – y – 2 = 0, যা একটি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।

উত্তর: সমীকরণটি চলের x³ ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

4. নীচের সমীকরণগুলি সমাধান করি:

(i) (a – 2)x² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি a-এর কোন্ মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
সমাধান: কোনো সমীকরণ দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি x² এর সহগ শূন্য (0) হয়।
এখানে x² এর সহগ হলো (a – 2)।
সুতরাং, a – 2 = 0 ⇒ a = 2
উত্তর: a = 2 হলে সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।

(ii) x4 – x = 13x , (x ≠ 0, x ≠ 4) -কে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x-এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
কোণাকুণি গুণ করে পাই,
x × 3x = 1 × (4 – x)
বা, 3x² = 4 – x
বা, 3x² + x – 4 = 0
এটি ax² + bx + c = 0 আকার। এখানে x এর সহগ হলো 1।
উত্তর: x-এর সহগ 1।

(iii) 3x² + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2 -কে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি।
সমাধান:
বা, 3x² + 7x + 23 = (x² + 3x + 4x + 12) + 2
বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 7x + 14
বা, 3x² – x² + 7x – 7x + 23 – 14 = 0
বা, 2x² + 9 = 0
উত্তর: 2x² + 0x + 9 = 0

(iv) (x + 2)³ = x(x² – 1) সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x², x ও x⁰-এর সহগ লিখি।
সমাধান:
বা, x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² + 2³ = x³ – x
বা, x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ – x
বা, 6x² + 12x + x + 8 = 0
বা, 6x² + 13x + 8 = 0
এখানে x⁰ বলতে ধ্রুবক পদটিকে বোঝায়।
উত্তর: সমীকরণটি হলো 6x² + 13x + 8 = 0। এখানে x²-এর সহগ = 6, x-এর সহগ = 13, এবং x⁰-এর সহগ = 8।

5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি:

(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
সমাধান:
ধরি, একটি অংশ = x
তাহলে অপর অংশটি হবে = (42 – x)
শর্তানুসারে,
42 – x = x²
বা, x² + x – 42 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² + x – 42 = 0

(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143
সমাধান:
ধরি, দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম (বিজোড়) সংখ্যা হলো x এবং (x + 2)।
শর্তানুসারে,
x(x + 2) = 143
বা, x² + 2x = 143
বা, x² + 2x – 143 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² + 2x – 143 = 0

(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
সমাধান:
ধরি, দুটি ক্রমিক সংখ্যা হলো x এবং (x + 1)।
শর্তানুসারে,
x² + (x + 1)² = 313
বা, x² + x² + 2x + 1 = 313
বা, 2x² + 2x + 1 – 313 = 0
বা, 2x² + 2x – 312 = 0
বা, x² + x – 156 = 0 (উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² + x – 156 = 0

6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি:

(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার।
তাহলে দৈর্ঘ্য = (x + 3) মিটার।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)² = (কর্ণ)²
বা, (x + 3)² + x² = 15²
বা, x² + 6x + 9 + x² = 225
বা, 2x² + 6x + 9 – 225 = 0
বা, 2x² + 6x – 216 = 0
বা, x² + 3x – 108 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² + 3x – 108 = 0

(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
সমাধান:
ধরি, তিনি 80 টাকায় x কিগ্রা. চিনি কিনেছিলেন।
তাহলে 1 কিগ্রা. চিনির দাম = 80/x টাকা।
যদি 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন, তবে মোট চিনি হতো = (x + 4) কিগ্রা।
তখন 1 কিগ্রা চিনির দাম হতো = 80/(x + 4) টাকা।
শর্তানুসারে,
80x – 80x + 4 = 1
বা, 80(x + 4) – 80xx(x + 4) = 1
বা, 80x + 320 – 80x = x² + 4x
বা, x² + 4x – 320 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² + 4x – 320 = 0

(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির গতিবেগ = x কিমি/ঘণ্টা।
300 কিমি যেতে সময় লাগে = 300/x ঘণ্টা।
গতিবেগ 5 কিমি/ঘণ্টা বেশি হলে নতুন গতিবেগ = (x + 5) কিমি/ঘণ্টা।
তখন সময় লাগত = 300/(x + 5) ঘণ্টা।
শর্তানুসারে,
300x – 300x + 5 = 2
বা, 300(x + 5) – 300xx(x + 5) = 2
বা, 1500 = 2(x² + 5x)
বা, 2x² + 10x – 1500 = 0
বা, x² + 5x – 750 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² + 5x – 750 = 0

(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো।
সমাধান:
ধরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = x টাকা।
লাভের শতকরা হার = x%
লাভের পরিমাণ = x এর x% = x × (x/100) = x²/100 টাকা।
আমরা জানি, বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ
শর্তানুসারে,
x + x²100 = 336
বা, 100x + x²100 = 336
বা, x² + 100x = 33600
বা, x² + 100x – 33600 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² + 100x – 33600 = 0

(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
সমাধান:
ধরি, স্থির জলে নৌকার বেগ = x কিমি/ঘণ্টা।
স্রোতের অনুকূলে বেগ = (x + 2) কিমি/ঘণ্টা।
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = (x – 2) কিমি/ঘণ্টা।
শর্তানুসারে মোট সময় 10 ঘণ্টা:
21x + 2 + 21x – 2 = 10
বা, 21 (x – 2) + (x + 2)(x + 2)(x – 2) = 10
বা, 21(2x) = 10(x² – 4)
বা, 42x = 10x² – 40
বা, 10x² – 42x – 40 = 0
বা, 5x² – 21x – 20 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো 5x² – 21x – 20 = 0

(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে।
সমাধান:
ধরি, মহিমের একা কাজ করতে সময় লাগে = x ঘণ্টা।
তাহলে মজিদের একা কাজ করতে সময় লাগে = (x + 3) ঘণ্টা।
মহিম 1 ঘণ্টায় করে কাজের 1/x অংশ।
মজিদ 1 ঘণ্টায় করে কাজের 1/(x + 3) অংশ。
তারা একত্রে 2 ঘণ্টায় সম্পূর্ণ কাজ (1 অংশ) করে। অর্থাৎ, 1 ঘণ্টায় করে 1/2 অংশ।
শর্তানুসারে,
1x + 1x + 3 = 12
বা, x + 3 + xx(x + 3) = 12
বা, 2x + 3x² + 3x = 12
বা, x² + 3x = 4x + 6
বা, x² – x – 6 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² – x – 6 = 0

(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
সমাধান:
ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি = x
তাহলে একক স্থানীয় অঙ্কটি = (x + 6)
সংখ্যাটি = 10 × (দশকের অঙ্ক) + (এককের অঙ্ক) = 10x + (x + 6) = 11x + 6
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = x(x + 6) = x² + 6x
শর্তানুসারে,
x² + 6x = (11x + 6) – 12
বা, x² + 6x = 11x – 6
বা, x² + 6x – 11x + 6 = 0
বা, x² – 5x + 6 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² – 5x + 6 = 0

(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।
সমাধান:
ধরি, রাস্তাটি x মিটার চওড়া।
মাঠের ক্ষেত্রফল = 45 × 40 = 1800 বর্গ মিটার।
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = (45 + 2x) মিটার এবং প্রস্থ = (40 + 2x) মিটার।
রাস্তাসহ মাঠের মোট ক্ষেত্রফল = (45 + 2x)(40 + 2x) বর্গ মিটার।
রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল) – (মাঠের ক্ষেত্রফল)
শর্তানুসারে,
(45 + 2x)(40 + 2x) – 1800 = 450
বা, 1800 + 90x + 80x + 4x² – 1800 = 450
বা, 4x² + 170x – 450 = 0
বা, 2x² + 85x – 225 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো 2x² + 85x – 225 = 0