কষে দেখি — 9.3 (দ্বিঘাত করণী)
1. (a) m + 1m = √3 হলে, (i) m2 + 1m2 এবং (ii) m3 + 1m3 -এদের সরলতম মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
(i) m2 + 1m2 = (m + 1m)2 – 2 × m × 1m
= (√3)2 – 2 = 3 – 2 = 1
(ii) m3 + 1m3 = (m + 1m)3 – 3 × m × 1m (m + 1m)
= (√3)3 – 3(√3) = 3√3 – 3√3 = 0
(b) দেখাই যে, √5 + √3√5 – √3 – √5 – √3√5 + √3 = 2√15
প্রমাণ:
L.H.S = (√5 + √3)2 – (√5 – √3)2(√5 – √3)(√5 + √3)
= 4(√5)(√3)(√5)2 – (√3)2 [যেহেতু (a+b)2 – (a-b)2 = 4ab]
= 4√155 – 3 = 4√152 = 2√15 = R.H.S (প্রমাণিত)
2. সরল করি :
(a) √2(2 + √3)√3(√3 + 1) – √2(2 – √3)√3(√3 – 1)
সমাধান:
= √2√3 [ 2 + √3√3 + 1 – 2 – √3√3 – 1 ]
= √2√3 [ (2 + √3)(√3 – 1) – (2 – √3)(√3 + 1)(√3 + 1)(√3 – 1) ]
= √2√3 [ (2√3 – 2 + 3 – √3) – (2√3 + 2 – 3 – √3)3 – 1 ]
= √2√3 [ (√3 + 1) – (√3 – 1)2 ]
= √2√3 [ 22 ] = √2√3 = √63
(b) 3√7√5 + √2 – 5√5√2 + √7 + 2√2√7 + √5
সমাধান:
প্রথম অংশ = 3√7(√5 – √2)5 – 2 = √7(√5 – √2) = √35 – √14
দ্বিতীয় অংশ = 5√5(√7 – √2)7 – 2 = √5(√7 – √2) = √35 – √10
তৃতীয় অংশ = 2√2(√7 – √5)7 – 5 = √2(√7 – √5) = √14 – √10
মোট মান = (√35 – √14) – (√35 – √10) + (√14 – √10)
= √35 – √14 – √35 + √10 + √14 – √10 = 0
(c) 4√32 – √2 – 304√3 – √18 – √183 – √12
সমাধান:
প্রথম অংশ = 4√3(2 + √2)4 – 2 = 2√3(2 + √2) = 4√3 + 2√6
দ্বিতীয় অংশ = 304√3 – 3√2 = 30(4√3 + 3√2)48 – 18 = 30(4√3 + 3√2)30 = 4√3 + 3√2
তৃতীয় অংশ = 3√23 – 2√3 = 3√2(3 + 2√3)9 – 12 = 3√2(3 + 2√3)-3 = -(√2(3 + 2√3)) = – (3√2 + 2√6)
মোট মান = (4√3 + 2√6) – (4√3 + 3√2) – (- (3√2 + 2√6))
= 4√3 + 2√6 – 4√3 – 3√2 + 3√2 + 2√6 = 4√6
(d) 3√2√3 + √6 – 4√3√6 + √2 + √6√2 + √3
সমাধান:
প্রথম অংশ = 3√2(√6 – √3)6 – 3 = √2(√6 – √3) = √12 – √6 = 2√3 – √6
দ্বিতীয় অংশ = 4√3(√6 – √2)6 – 2 = √3(√6 – √2) = √18 – √6 = 3√2 – √6
তৃতীয় অংশ = √6(√3 – √2)3 – 2 = √18 – √12 = 3√2 – 2√3
মোট মান = (2√3 – √6) – (3√2 – √6) + (3√2 – 2√3)
= 2√3 – √6 – 3√2 + √6 + 3√2 – 2√3 = 0
3. যদি x=2, y=3 এবং z=6 হয় তবে, 3√x√y + √z – 4√y√z + √x + √z√x + √y -এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান: মান বসিয়ে পাই,
= 3√2√3 + √6 – 4√3√6 + √2 + √6√2 + √3
এই রাশিটি হুবহু 2(d) অংকের রাশির সমান।
সুতরাং, এর মান হবে 0।
4. x = √7 + √6 হলে (i) x – 1x (ii) x + 1x (iii) x2 + 1x2 এবং (iv) x3 + 1x3 -এদের সরলতম মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
x = √7 + √6
1x = 1√7 + √6 = √7 – √67 – 6 = √7 – √6
(i) x – 1x = (√7 + √6) – (√7 – √6) = 2√6
(ii) x + 1x = (√7 + √6) + (√7 – √6) = 2√7
(iii) x2 + 1x2 = (x + 1x)2 – 2 = (2√7)2 – 2 = 28 – 2 = 26
(iv) x3 + 1x3 = (x + 1x)3 – 3(x + 1x) = (2√7)3 – 3(2√7) = 56√7 – 6√7 = 50√7
5. সরল করি : x + √(x2-1)x – √(x2-1) + x – √(x2-1)x + √(x2-1)
সরলফল 14 হলে, x-এর মান কী কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ল.সা.গু করে পাই,
= (x + √(x2-1))2 + (x – √(x2-1))2x2 – (x2-1)
= 2[x2 + (x2-1)]x2 – x2 + 1 [যেহেতু (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)]
= 2(2x2 – 1) = 4x2 – 2 (এটি হলো সরলফল)
শর্তানুসারে, 4x2 – 2 = 14
বা, 4x2 = 16
বা, x2 = 4
বা, x = ±2
উত্তর: সরলফল 4x2 – 2 এবং x-এর মান 2 অথবা -2।
6. যদি a = √5 + 1√5 – 1 ও b = √5 – 1√5 + 1 হয়, তবে নীচের মানগুলি নির্ণয় করি।
সমাধান:
a + b = √5 + 1√5 – 1 + √5 – 1√5 + 1 = (√5 + 1)2 + (√5 – 1)25 – 1 = 2(5 + 1)4 = 124 = 3
a – b = (√5 + 1)2 – (√5 – 1)24 = 4√54 = √5
ab = 1
(i) a2+ab+b2a2-ab+b2 = (a+b)2 – ab(a+b)2 – 3ab = 32 – 132 – 3 = 86 = 4/3
(ii) (a-b)3(a+b)3 = (√5)333 = 5√527
(iii) 3a2+5ab+3b23a2-5ab+3b2 = 3(a2+b2) + 5ab3(a2+b2) – 5ab = 3((a+b)2 – 2ab) + 5ab3((a+b)2 – 2ab) – 5ab = 3(9 – 2) + 53(9 – 2) – 5 = 21 + 521 – 5 = 2616 = 13/8
(iv) a3+b3a3-b3 = (a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2) = 3(9 – 3)√5(9 – 1) = 188√5 = 94√5 = 9√520
7. যদি x=2+√3, y=2-√3 হয়, তবে নিম্নলিখিতগুলির সরলতম মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
xy = (2+√3)(2-√3) = 4 – 3 = 1
x + y = 4, x – y = 2√3
(a)
(i) x – 1/x = x – y = 2√3 (যেহেতু xy = 1 ⇒ 1/x = y)
(ii) y2 + 1/y2 = y2 + x2 = (x+y)2 – 2xy = 16 – 2 = 14
(iii) x3 – 1/x3 = x3 – y3 = (x-y)3 + 3xy(x-y) = (2√3)3 + 3(1)(2√3) = 24√3 + 6√3 = 30√3
(iv) xy + 1/xy = 1 + 1 = 2
(b) 3x2 – 5xy + 3y2
= 3(x2 + y2) – 5xy
= 3((x+y)2 – 2xy) – 5xy
= 3(16 – 2) – 5(1) = 3(14) – 5 = 42 – 5 = 37
8. x = √7 + √3√7 – √3 এবং xy=1 হলে, দেখাই যে, x2+xy+y2x2-xy+y2 = 1211
প্রমাণ:
y = 1/x = √7 – √3√7 + √3
x + y = (√7 + √3)2 + (√7 – √3)27 – 3 = 2(7 + 3)4 = 204 = 5
বামপক্ষ = x2+y2+xyx2+y2-xy = (x+y)2 – xy(x+y)2 – 3xy = 52 – 152 – 3 = 2422 = 1211 = ডানপক্ষ।
(প্রমাণিত)
9. (√7 + 1) এবং (√5 + √3) -এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি।
সমাধান:
উভয়কে বর্গ করে পাই:
(√7 + 1)2 = 7 + 2√7 + 1 = 8 + 2√7
(√5 + √3)2 = 5 + 2√15 + 3 = 8 + 2√15
যেহেতু √15 > √7, তাই 8 + 2√15 > 8 + 2√7
সুতরাং, (√5 + √3) বড়ো।
10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :
(i) x = 2 + √3 হলে, x + 1/x -এর মান
উত্তর: (c) 4 (1/x = 2 – √3, যোগ করলে 4 হয়)
(ii) যদি p+q = √13 এবং p-q = √5 হয়, তাহলে pq-এর মান
উত্তর: (a) 2 (pq = [(p+q)2 – (p-q)2] / 4 = [13 – 5] / 4 = 8 / 4 = 2)
(iii) যদি a+b = √5 এবং a-b = √3 হয়, তাহলে (a2+b2)-এর মান
উত্তর: (d) 1 ((a2+b2) = [(a+b)2 + (a-b)2] / 2 = [5 + 3] / 2 = 8 / 2 = 4 (অপশনে 4 আছে (b)-তে। এখানে উত্তরে 4 হবে। সঠিক অপশন (b) 4))
(iv) √125 থেকে √5 বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে
উত্তর: (a) √80 (√125 = 5√5; 5√5 – √5 = 4√5 = √80)
(v) (5 – √3)(√3 – 1)(5 + √3)(√3 + 1)-এর গুণফল
উত্তর: (b) 44 ((25 – 3)(3 – 1) = 22 × 2 = 44)
(i) √75 এবং √147 সদৃশ করণী।
উত্তর: সত্য (√75 = 5√3, √147 = 7√3)
(ii) √π একটি দ্বিঘাত করণী।
উত্তর: মিথ্যা (π অমূলদ, এটি দ্বিঘাত করণী নয়) (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) 5√11 একটি ________ সংখ্যা। (মূলদ/অমূলদ)
উত্তর: অমূলদ
(ii) (√3 – 5) -এর অনুবন্ধী করণী ________।
উত্তর: -√3 – 5
(iii) দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় ________ করণী।
উত্তর: অনুবন্ধী
11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) x = 3 + 2√2 হলে, x + 1/x -এর মান লিখি।
সমাধান: 1/x = 3 – 2√2। যোগ করলে 6।
(ii) (√15 + √3) এবং (√10 + √8) -এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি।
সমাধান: বর্গ করলে প্রথমটি 18+2√45 এবং দ্বিতীয়টি 18+2√80। √80 > √45, তাই (√10 + √8) বড়ো।
(iii) দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা।
সমাধান: (2 + √3) এবং (2 – √3)। (যেকোনো দুটি অনুবন্ধী করণী)
(iv) √72 থেকে কত বিয়োগ করলে √32 হবে তা লিখি।
সমাধান: 6√2 – 4√2 = 2√2 = √8।
(v)
1
√2+1
+
1
√3+√2
+
1
√4+√3
-এর সরলতম মান লিখি।
সমাধান:
করণী নিরসন করে পাই:
= (√2 – 1) + (√3 – √2) + (√4 – √3)
= -1 + √4 = -1 + 2 = 1