WBBSE Class 8 Math Solution

Ganit Prabha VIII solution

কষে দেখি 9 সমাধান

ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সম্পর্ক

WBBSE Class 8 Chapter 9 Solution

1. নীচের সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলি দেখি ও না মেপে প্রতিটি ত্রিভুজের কোন দুটি বাহু সমান হবে লিখি:

সমাধান: আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে, তাদের বিপরীত বাহুগুলিও দৈর্ঘ্যে সমান হয়।

প্রথম চিত্র (ΔABC): এখানে ∠A = 70° এবং ∠C = 70°।
যেহেতু ∠A = ∠C, তাই এদের বিপরীত বাহু দুটি সমান হবে। ∠A এর বিপরীত বাহু BC এবং ∠C এর বিপরীত বাহু AB।
সমান বাহু দুটি হলো: AB এবং BC।

দ্বিতীয় চিত্র (ΔPQR): এখানে ∠P = 45° এবং ∠R = 45°।
যেহেতু ∠P = ∠R, তাই এদের বিপরীত বাহু দুটি সমান হবে। ∠P এর বিপরীত বাহু QR এবং ∠R এর বিপরীত বাহু PQ।
সমান বাহু দুটি হলো: PQ এবং QR।

তৃতীয় চিত্র (ΔXYZ): এখানে ∠X = 35° এবং ∠Z = 35°।
যেহেতু ∠X = ∠Z, তাই এদের বিপরীত বাহু দুটি সমান হবে। ∠X এর বিপরীত বাহু YZ এবং ∠Z এর বিপরীত বাহু XY।
সমান বাহু দুটি হলো: XY এবং YZ।

2. নীচের সমদ্বিবাহু ত্রিভুজগুলি দেখি ও না মেপে প্রতিটি ত্রিভুজের কোন কোণগুলি সমান হবে লিখি:

সমাধান: আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলে, তাদের বিপরীত কোণগুলির পরিমাপও সমান হয়。

প্রথম চিত্র (ΔABC): এখানে AC = 5 সেমি এবং BC = 5 সেমি। অর্থাৎ, AC = BC।
তাই এদের বিপরীত কোণগুলি সমান হবে। AC বাহুর বিপরীত কোণ ∠ABC এবং BC বাহুর বিপরীত কোণ ∠BAC।
সমান কোণ দুটি হলো: ∠ABC এবং ∠BAC।

দ্বিতীয় চিত্র (ΔPQR): এখানে PQ = 8 সেমি এবং PR = 8 সেমি। অর্থাৎ, PQ = PR।
তাই এদের বিপরীত কোণগুলি সমান হবে। PQ বাহুর বিপরীত কোণ ∠PRQ এবং PR বাহুর বিপরীত কোণ ∠PQR।
সমান কোণ দুটি হলো: ∠PQR এবং ∠PRQ।

3. AB এবং CD সরলরেখাংশ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে। প্রমাণ করি যে AC ও BD সরলরেখাংশ দুটি পরস্পর সমান্তরাল। ACBD চতুর্ভুজটি কী ধরনের চতুর্ভুজ তা লিখি।

প্রমাণ:
দেওয়া আছে, AB এবং CD পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ, OA = OB এবং OC = OD।
এখন, ΔAOC এবং ΔBOD -এর মধ্যে,
১. OA = OB (প্রদত্ত)
২. OC = OD (প্রদত্ত)
৩. ∠AOC = ∠BOD (বিপ্রতীপ কোণ)

সুতরাং, SAS (বাহু-কোণ-বাহু) সর্বসমতার শর্তানুযায়ী, ΔAOC ≅ ΔBOD।
অতএব, ∠OAC = ∠OBD (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ)।
কিন্তু এরা একান্তর কোণ, যা AC এবং BD সরলরেখাংশ দুটিকে AB ছেদক দ্বারা ছেদ করার ফলে উৎপন্ন হয়েছে।
যেহেতু একান্তর কোণ সমান, তাই AC || BD (প্রমাণিত)।

একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, AD || BC।
যেহেতু ACBD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান্তরাল (AC||BD এবং AD||BC) এবং এর কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই ACBD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।

4. AB এবং CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখার উপর E ও F দুটি বিন্দু। EF সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু O ; O বিন্দু দিয়ে যেকোনো সরলরেখাংশ টানা হলো যা AB ও CD সরলরেখাকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PQ সরলরেখাংশ O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

প্রমাণ:
দেওয়া আছে, AB || CD এবং O হলো EF এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ EO = OF।
এখন ΔPOE এবং ΔQOF এর মধ্যে তুলনা করে পাই:
১. EO = OF (দেওয়া আছে)
২. ∠POE = ∠QOF (বিপ্রতীপ কোণ)
৩. যেহেতু AB || CD এবং EF ছেদক, তাই একান্তর কোণ ∠PEO = ∠QFO।

অতএব, ASA (কোণ-বাহু-কোণ) সর্বসমতা অনুযায়ী, ΔPOE ≅ ΔQOF।
যেহেতু ত্রিভুজ দুটি সর্বসম, তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমান হবে। সুতরাং, PO = OQ।
এর অর্থ হলো, PQ সরলরেখাংশ O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়। (প্রমাণিত)

5. প্রমাণ করি যে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয় তাদের পরিমাপ সমান।

প্রমাণ:
ধরি, ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB = AC। এর ভূমি BC কে B এর দিকে D পর্যন্ত এবং C এর দিকে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। এর ফলে দুটি বহিঃকোণ ∠ABD এবং ∠ACE উৎপন্ন হলো।
যেহেতু AB = AC, তাই সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ধর্ম অনুযায়ী বিপরীত কোণ সমান হবে: ∠ABC = ∠ACB।

এখন, DBC একটি সরলরেখা হওয়ায়: ∠ABD + ∠ABC = 180° (রৈখিক যুগল)।
বা, ∠ABD = 180° – ∠ABC — (i)

একইভাবে, BCE একটি সরলরেখা হওয়ায়: ∠ACE + ∠ACB = 180° (রৈখিক যুগল)।
বা, ∠ACE = 180° – ∠ACB — (ii)

যেহেতু ∠ABC = ∠ACB, তাই (i) এবং (ii) থেকে পাই:
180° – ∠ABC = 180° – ∠ACB
সুতরাং, ∠ABD = ∠ACE (প্রমাণিত)।

6. প্রমাণ করি যে, সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্য সমান।

প্রমাণ:
ধরি, ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ, অর্থাৎ AB = BC = CA। এর তিনটি মধ্যমা হলো AD, BE এবং CF।
যেহেতু এটি সমবাহু ত্রিভুজ, এর প্রতিটি কোণ সমান এবং মান 60° (∠A = ∠B = ∠C = 60°)।

এখন ΔBCE এবং ΔCBF এর মধ্যে:
১. BC সাধারণ বাহু。
২. ∠C = ∠B (60°)।
৩. CE = BF (যেহেতু AC = AB এবং E ও F মধ্যবিন্দু, তাই CE = AC/2 এবং BF = AB/2, সুতরাং CE = BF)।

SAS সর্বসমতা অনুযায়ী, ΔBCE ≅ ΔCBF।
সুতরাং, BE = CF (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)।

একইভাবে ΔABD এবং ΔBAE প্রমাণ করে দেখানো যায় যে AD = BE।
অতএব, AD = BE = CF। অর্থাৎ, সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্য সমান। (প্রমাণিত)

7. ABCD ট্রাপিজিয়ামের AD || BC এবং ∠ABC = ∠BCD ; প্রমাণ করি যে, ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

প্রমাণ:
ধরি, ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যেখানে AD || BC এবং ∠ABC = ∠BCD।
A এবং D বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর যথাক্রমে AE এবং DF লম্ব টানি।

এখন ΔABE এবং ΔDCF এর মধ্যে:
১. ∠AEB = ∠DFC = 90° (যেহেতু লম্ব টানা হয়েছে)।
২. AE = DF (দুটি সমান্তরাল সরলরেখা AD এবং BC এর মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব সর্বদা সমান)।
৩. ∠ABE = ∠DCF (প্রশ্নে দেওয়া আছে ∠ABC = ∠BCD)।

অতএব, AAS (কোণ-কোণ-বাহু) সর্বসমতা অনুযায়ী, ΔABE ≅ ΔDCF।
সুতরাং, AB = DC (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)।
যেহেতু ট্রাপিজিয়ামের তীর্যক বাহু দুটি (AB এবং DC) সমান, তাই ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম। (প্রমাণিত)

8. ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB অতিভুজ। ∠BAC -এর সমদ্বিখণ্ডক AD, BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, AC + CD = AB।

প্রমাণ:
দেওয়া আছে, ΔABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যার অতিভুজ AB। অর্থাৎ ∠C = 90° এবং সমদ্বিবাহু হওয়ায় AC = BC।
যেহেতু AC = BC এবং ∠C = 90°, তাই ∠A = ∠B = 45°।
D বিন্দু থেকে AB এর ওপর DE লম্ব টানি (DE ⊥ AB)।

এখন ΔACD এবং ΔAED এর মধ্যে:
১. ∠C = ∠AED = 90° (দেওয়া আছে এবং অঙ্কনানুসারে)।
২. ∠CAD = ∠EAD (AD হলো ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক)।
৩. AD সাধারণ অতিভুজ।

AAS সর্বসমতা অনুযায়ী, ΔACD ≅ ΔAED।
সুতরাং, AC = AE এবং CD = DE (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)।

এবার ΔBDE এর দিকে লক্ষ্য করি:
∠DEB = 90° (অঙ্কনানুসারে)।
∠B = 45° (আগে নির্ণয় করা হয়েছে)।
সুতরাং, অবশিষ্ট ∠BDE = 180° – (90° + 45°) = 45°。

যেহেতু ΔBDE এর দুটি কোণ সমান (∠B = ∠BDE = 45°), তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ。
অতএব, DE = EB।
যেহেতু CD = DE এবং DE = EB, তাই CD = EB।

এখন, AB রেখাংশটি AE এবং EB এর যোগফল。
AB = AE + EB
AB = AC + CD (যেহেতু AE = AC এবং EB = CD)
অতএব, AC + CD = AB (প্রমাণিত)।

9. ABC এবং DBC দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যাদের AB = AC ও DB = DC এবং তারা BC বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, AD, BC বাহুকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

প্রমাণ:
ধরি, AD রেখাংশ BC কে O বিন্দুতে ছেদ করে。
প্রথমে ΔABD এবং ΔACD এর মধ্যে তুলনা করি:
১. AB = AC (দেওয়া আছে)
২. DB = DC (দেওয়া আছে)
৩. AD সাধারণ বাহু。

SSS সর্বসমতা অনুযায়ী, ΔABD ≅ ΔACD।
সুতরাং, ∠BAD = ∠CAD (অর্থাৎ ∠BAO = ∠CAO)।

এবার ΔABO এবং ΔACO এর মধ্যে তুলনা করি:
১. AB = AC (দেওয়া আছে)
২. ∠BAO = ∠CAO (প্রমাণিত)
৩. AO সাধারণ বাহু。

SAS সর্বসমতা অনুযায়ী, ΔABO ≅ ΔACO।
সুতরাং, BO = CO (অর্থাৎ AD, BC কে সমদ্বিখণ্ডিত করে)।
এবং ∠AOB = ∠AOC।

যেহেতু ∠AOB এবং ∠AOC একটি সরলরেখা BC এর ওপর অবস্থিত রৈখিক যুগল, তাই:
∠AOB + ∠AOC = 180°
বা, 2∠AOB = 180°
বা, ∠AOB = 90°
অতএব, AD, BC বাহুকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে (লম্ব সমদ্বিখণ্ডক)। (প্রমাণিত)

10. দুটি সরলরেখাংশ PQ এবং RS পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করে যাতে XP = XR এবং ∠PSX = ∠RQX হয়। প্রমাণ করি যে, ΔPXS ≅ ΔRQX।

প্রমাণ:
দেওয়া আছে, PQ এবং RS সরলরেখাদ্বয় X বিন্দুতে ছেদ করে। XP = XR এবং ∠PSX = ∠RQX।
এখন ΔPXS এবং ΔRQX এর মধ্যে তুলনা করে পাই:
১. ∠PSX = ∠RQX (দেওয়া আছে) [Angle]
২. ∠PXS = ∠RXQ (বিপ্রতীপ কোণ সমান হয়) [Angle]
৩. XP = XR (দেওয়া আছে) [Side]

অতএব, AAS (Angle-Angle-Side বা কোণ-কোণ-বাহু) সর্বসমতার শর্তানুযায়ী:
ΔPXS ≅ ΔRQX (প্রমাণিত)।