কষে দেখি — 13 (ভেদ)
3. (i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি. পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, অতিক্রান্ত দূরত্ব = d কিমি. এবং সময় = t মিনিট。
যেহেতু গতিবেগ স্থির, তাই অতিক্রান্ত দূরত্ব সময়ের সাথে সরলভেদে থাকবে।
অর্থাৎ, d ∝ t ⇒ d = kt (যেখানে k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)
প্রদত্ত, t = 25 মিনিট হলে d = 14 কিমি.
∴ 14 = k × 25 ⇒ k = 14/25
এখন, সময় t = 5 ঘণ্টা = 5 × 60 = 300 মিনিট।
∴ d = (14/25) × 300 = 14 × 12 = 168
উত্তর: তিনি 5 ঘণ্টায় 168 কিমি. পথ যাবেন।
(ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, শিশুর সংখ্যা = c এবং প্রত্যেকের পাওয়া সন্দেশের সংখ্যা = s
বাক্সে মোট সন্দেশের সংখ্যা নির্দিষ্ট থাকায়, শিশুর সংখ্যা বাড়লে প্রত্যেকে কম সন্দেশ পাবে এবং শিশুর সংখ্যা কমলে প্রত্যেকে বেশি সন্দেশ পাবে। অর্থাৎ, c এবং s ব্যস্তভেদে আছে।
c ∝ 1/s ⇒ c = k/s ⇒ cs = k (যেখানে k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)
প্রদত্ত, c = 24 হলে s = 5
∴ k = 24 × 5 = 120
এখন শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হলে, c = 24 – 4 = 20
∴ 20 × s = 120 ⇒ s = 120 / 20 = 6
উত্তর: প্রত্যেকে 6 টি করে গোটা সন্দেশ পেত।
(iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, লোকসংখ্যা = M এবং সময় = D দিন।
কাজের পরিমাণ নির্দিষ্ট থাকায় লোকসংখ্যা ও সময় ব্যস্তভেদে থাকবে।
M ∝ 1/D ⇒ M = k/D ⇒ MD = k (যেখানে k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)
প্রদত্ত, M = 50 হলে D = 18
∴ k = 50 × 18 = 900
এখন, D = 15 দিন হলে,
M × 15 = 900 ⇒ M = 900 / 15 = 60
∴ অতিরিক্ত লোক লাগবে = 60 – 50 = 10 জন।
উত্তর: অতিরিক্ত 10 জন লোককে কাজ করতে হবে।
4. (i) y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y=9 যখন x=9; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y=6.
সমাধান:
y ∝ √x ⇒ y = k√x (k ≠ 0)
y=9, x=9 বসালে: 9 = k√9 ⇒ 9 = 3k ⇒ k = 3
তাহলে সম্পর্কটি হলো y = 3√x
এখন y=6 হলে, 6 = 3√x ⇒ √x = 2 ⇒ x = 4
উত্তর: x-এর মান 4।
(ii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y=4, z=5 হলে x=3 হয়। আবার y=16, z=30 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
x ∝ y এবং x ∝ 1/z। যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী, x ∝ y/z ⇒ x = k(y/z) (k ≠ 0)
y=4, z=5, x=3 বসালে: 3 = k(4/5) ⇒ 4k = 15 ⇒ k = 15/4
সম্পর্কটি হলো x = (15/4)(y/z)
এখন y=16, z=30 হলে, x = (15/4) × (16/30) = (15 × 16) / (4 × 30) = 240 / 120 = 2
উত্তর: x-এর মান 2।
(iii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y=5 ও z=9 হলে x=1/6 হয়। x, y ও z-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি এবং y=6 ও z=1/5 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
x ∝ y/z ⇒ x = k(y/z) (k ≠ 0)
y=5, z=9, x=1/6 বসালে: 1/6 = k(5/9) ⇒ k = (1/6) × (9/5) = 9/30 = 3/10
সম্পর্কটি হলো: x = 3y10z
এখন y=6, z=1/5 হলে, x = 3 × 610 × (1/5) = 18 / 2 = 9
উত্তর: x-এর মান 9।
5. (i) x ∝ y হলে, দেখাই যে, x+y ∝ x-y
প্রমাণ:
x ∝ y ⇒ x = ky (k ≠ 0)
এখন, x+yx-y = ky+yky-y = y(k+1)y(k-1) = k+1k-1 = ধ্রুবক (ধরি m)
যেহেতু (x+y)/(x-y) একটি ধ্রুবক, তাই x+y ∝ x-y (প্রমাণিত)
(ii) A ∝ 1/C, C ∝ 1/B হলে, দেখাই যে, A ∝ B
প্রমাণ:
A = k₁/C এবং C = k₂/B (k₁, k₂ ≠ 0)
C-এর মান প্রথম সমীকরণে বসালে, A = k₁ / (k₂/B) = (k₁/k₂) × B
যেহেতু (k₁/k₂) একটি ধ্রুবক, তাই A ∝ B (প্রমাণিত)
(iii) যদি a ∝ b, b ∝ 1/c এবং c ∝ d হয়, তবে a ও d-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।
সমাধান:
a = k₁b, b = k₂/c, c = k₃d (k₁, k₂, k₃ ≠ 0)
b এর জায়গায় (k₂/c) বসালে: a = k₁(k₂/c) = (k₁k₂)/c
এবার c এর জায়গায় (k₃d) বসালে: a = (k₁k₂) / (k₃d) = ((k₁k₂)/k₃) × (1/d)
যেহেতু ((k₁k₂)/k₃) একটি ধ্রুবক, তাই a ∝ 1/d (a এবং d ব্যস্তভেদে আছে)।
(iv) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধান:
x = k₁y, y = k₂z, z = k₃x (k₁, k₂, k₃ ≠ 0)
x × y × z = (k₁y) × (k₂z) × (k₃x)
xyz = k₁k₂k₃(xyz)
যেহেতু x, y, z কোনটিই শূন্য নয়, তাই k₁k₂k₃ = 1
উত্তর: ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1।
6. x+y ∝ x-y হলে, দেখাই যে,
দেওয়া আছে, x+y = k(x-y)
বা, x+yx-y = k
যোগভাগ প্রক্রিয়া করে পাই,
x+y+x-yx+y-x+y = k+1k-1
বা, 2x2y = m (ধরি, m = (k+1)/(k-1) একটি ধ্রুবক)
∴ x = my
(i) x2+y2 ∝ xy
প্রমাণ:
x2+y2xy = (my)2+y2(my)y = m2y2+y2my2 = y2(m2+1)my2 = m2+1m = ধ্রুবক
∴ x2+y2 ∝ xy (প্রমাণিত)
(ii) x3+y3 ∝ x3-y3
প্রমাণ:
x3+y3x3-y3 = (my)3+y3(my)3-y3 = m3y3+y3m3y3-y3 = y3(m3+1)y3(m3-1) = m3+1m3-1 = ধ্রুবক
∴ x3+y3 ∝ x3-y3 (প্রমাণিত)
(iii) ax+by ∝ px+qy [যেখানে a, b, p, q অশূন্য ধ্রুবক]
প্রমাণ:
ax+bypx+qy = a(my)+byp(my)+qy = y(am+b)y(pm+q) = am+bpm+q = ধ্রুবক
∴ ax+by ∝ px+qy (প্রমাণিত)
7. (i) a2+b2 ∝ ab হলে, প্রমাণ করি যে, a+b ∝ a-b
প্রমাণ:
a2+b2 = k(ab) (k ≠ 0)
উভয়দিকে 2ab যোগ করে পাই:
a2+b2+2ab = kab+2ab = ab(k+2)
(a+b)2 = ab(k+2) …….(1)
আবার, উভয়দিক থেকে 2ab বিয়োগ করে পাই:
a2+b2-2ab = kab-2ab = ab(k-2)
(a-b)2 = ab(k-2) …….(2)
(1) কে (2) দিয়ে ভাগ করে পাই:
(a+b)2(a-b)2 = ab(k+2)ab(k-2) = k+2k-2
বা, a+ba-b = √(k+2k-2) = ধ্রুবক
∴ a+b ∝ a-b (প্রমাণিত)
(ii) x3+y3 ∝ x3-y3 হলে, প্রমাণ করি যে, x+y ∝ x-y
প্রমাণ:
x3+y3x3-y3 = k
যোগভাগ প্রক্রিয়া করে পাই:
2x32y3 = k+1k-1
বা, x3y3 = m (ধরি, m = (k+1)/(k-1))
বা, xy = ∛m = n (ধরি)
∴ x = ny
এখন, x+yx-y = ny+yny-y = y(n+1)y(n-1) = n+1n-1 = ধ্রুবক
∴ x+y ∝ x-y (প্রমাণিত)
8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, কৃষকের সংখ্যা = M, সময় = D দিন, এবং জমির পরিমাণ = L বিঘা।
জমির পরিমাণ (L) স্থির থাকলে, কৃষকের সংখ্যা (M) ও সময় (D) ব্যস্তভেদে থাকে। অর্থাৎ M ∝ 1/D
সময় (D) স্থির থাকলে, কৃষকের সংখ্যা (M) ও জমির পরিমাণ (L) সরলভেদে থাকে। অর্থাৎ M ∝ L
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী, M ∝ L/D ⇒ M = k(L/D) ⇒ k = MD/L
প্রদত্ত, M = 15, D = 5, L = 18
∴ k = (15 × 5) / 18 = 75/18 = 25/6
তাহলে সম্পর্কটি হলো: M = (25/6) × (L/D) ⇒ D = (25L) / (6M)
এখন M = 10 এবং L = 12 হলে,
D = (25 × 12) / (6 × 10) = 300 / 60 = 5
উত্তর: 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।
9. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। 1½, 2 এবং 2½ মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হলো। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। (ধরি, গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)
সমাধান:
ধরি গোলকের আয়তন V এবং ব্যাসার্ধ r।
V ∝ r3 ⇒ V = kr3
প্রথম গোলকের ব্যাস = 1½ = 3/2 মিটার ∴ ব্যাসার্ধ r₁ = 3/4 মিটার। V₁ = k(3/4)3 = 27k/64
দ্বিতীয় গোলকের ব্যাস = 2 মিটার ∴ ব্যাসার্ধ r₂ = 1 মিটার। V₂ = k(1)3 = k
তৃতীয় গোলকের ব্যাস = 2½ = 5/2 মিটার ∴ ব্যাসার্ধ r₃ = 5/4 মিটার। V₃ = k(5/4)3 = 125k/64
তিনটি গোলকের মোট আয়তন = 27k/64 + k + 125k/64 = k(27 + 64 + 125)/64 = k(216/64) = 27k/8
ধরি, নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ R। এর আয়তন V’ = kR3
শর্তানুসারে, kR3 = 27k/8
বা, R3 = 27/8 = (3/2)3
বা, R = 3/2 = 1.5 মিটার।
নতুন গোলকের ব্যাস = 2R = 2 × 1.5 = 3 মিটার。
উত্তর: নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 মিটার।
10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। x=1 হলে y=-1 এবং x=3 হলে y=5; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, y = u + v, যেখানে u ∝ x এবং v ∝ 1/x
∴ u = k₁x এবং v = k₂/x (k₁, k₂ ≠ 0)
তাহলে, y = k₁x + k₂/x …….(1)
যখন x=1, y=-1:
-1 = k₁(1) + k₂/1 ⇒ k₁ + k₂ = -1 …….(2)
যখন x=3, y=5:
5 = k₁(3) + k₂/3 ⇒ 3k₁ + k₂/3 = 5 ⇒ 9k₁ + k₂ = 15 …….(3)
(3) থেকে (2) বিয়োগ করে পাই:
(9k₁ + k₂) – (k₁ + k₂) = 15 – (-1)
8k₁ = 16 ⇒ k₁ = 2
k₁ এর মান (2) এ বসালে: 2 + k₂ = -1 ⇒ k₂ = -3
সম্পর্কটি (1) নং এ বসালে পাই: y = 2x – 3/x
উত্তর: সম্পর্কটি হলো y = 2x – 3x
11. a ∝ b, b ∝ c হলে দেখাই যে, a3b3+b3c3+c3a3 ∝ abc(a3+b3+c3)
প্রমাণ:
a = k₁b এবং b = k₂c
∴ a = k₁(k₂c) = k₁k₂c
ধরি, k₁k₂ = m এবং k₂ = n। তাহলে a = mc এবং b = nc
L.H.S = (mc)3(nc)3 + (nc)3c3 + c3(mc)3
= m3n3c6 + n3c6 + m3c6
= c6(m3n3 + n3 + m3)
R.H.S = (mc)(nc)(c) [ (mc)3 + (nc)3 + c3 ]
= mn c3 [ m3c3 + n3c3 + c3 ]
= mn c3 × c3(m3 + n3 + 1)
= c6 [ mn(m3 + n3 + 1) ]
এখন L.H.SR.H.S = c6(m3n3 + n3 + m3)c6 [ mn(m3 + n3 + 1) ] = m3n3 + n3 + m3mn(m3 + n3 + 1) = ধ্রুবক
যেহেতু অনুপাতটি ধ্রুবক, তাই a3b3+b3c3+c3a3 ∝ abc(a3+b3+c3) (প্রমাণিত)
12. x ডেসিমিটার গভীর একটি কূয় খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ x2-এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূয় খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূয় খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, মোট ব্যয় = E
E = u + v, যেখানে u ∝ x এবং v ∝ x2
∴ u = k₁x এবং v = k₂x2
E = k₁x + k₂x2 …….(1)
যখন x=100, E=5000:
5000 = 100k₁ + 10000k₂ ⇒ k₁ + 100k₂ = 50 …….(2)
যখন x=200, E=12000:
12000 = 200k₁ + 40000k₂ ⇒ k₁ + 200k₂ = 60 …….(3)
(3) থেকে (2) বিয়োগ করে পাই:
100k₂ = 10 ⇒ k₂ = 1/10
k₂ এর মান (2) এ বসালে: k₁ + 100(1/10) = 50 ⇒ k₁ + 10 = 50 ⇒ k₁ = 40
তাহলে সম্পর্কটি হলো: E = 40x + (1/10)x2
এখন x=250 হলে,
E = 40(250) + (1/10)(250)2
= 10000 + (1/10)(62500)
= 10000 + 6250 = 16250
উত্তর: 250 ডেসিমিটার গভীর কূয় খননের জন্য 16250 টাকা ব্যয় হবে।
13. চোঙের আয়তন, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে, ওদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, আয়তন V, ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h।
V ∝ r2h ⇒ V = kr2h (k ≠ 0)
প্রথম চোঙের ক্ষেত্রে: V₁ = k(r₁)2h₁
দ্বিতীয় চোঙের ক্ষেত্রে: V₂ = k(r₂)2h₂
দেওয়া আছে, r₁/r₂ = 2/3 এবং h₁/h₂ = 5/4
V₁/V₂ = (k(r₁)2h₁) / (k(r₂)2h₂) = (r₁/r₂)2 × (h₁/h₂) = (2/3)2 × (5/4)
= (4/9) × (5/4) = 5/9
উত্তর: ওদের আয়তনের অনুপাত 5:9।
14. পাঁচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, জমির পরিমাণ = L, লাঙলের সংখ্যা = P, সময় = D
লাঙলের সংখ্যা (P) জমির পরিমাণ (L) এর সাথে সরলভেদে এবং সময় (D) এর সাথে ব্যস্তভেদে পরিবর্তিত হয়।
P ∝ L/D ⇒ P = k(L/D)
প্রদত্ত, L = 2400, P = 25, D = 36
25 = k(2400/36) ⇒ 25 = k(200/3) ⇒ k = 75/200 = 3/8
সম্পর্কটি হলো: P = (3/8) × (L/D)
এখন অর্ধেক জমি, অর্থাৎ L = 2400/2 = 1200 এবং D = 30 দিনে চাষ করতে কয়টি লাঙল লাগবে তা বের করি।
P = (3/8) × (1200/30) = (3/8) × 40 = 3 × 5 = 15
যেহেতু একটি ট্রাক্টর এই কাজটি করতে পারে, তাই 1টি ট্রাক্টর 15টি লাঙলের সমান কাজ করে।
উত্তর: একটি ট্রাক্টর 15 টি লাঙলের সমান চাষ করে।
15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।
প্রমাণ:
আয়তন V, ব্যাসার্ধ r, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল S.
V ∝ r3 ⇒ V = k₁r3
S ∝ r2 ⇒ S = k₂r2
প্রমাণ করতে হবে: V2 ∝ S3
V2 = (k₁r3)2 = k₁2r6
S3 = (k₂r2)3 = k₂3r6
এখন, V2S3 = k₁2r6k₂3r6 = k₁2k₂3 = ধ্রুবক
∴ V2 ∝ S3 (প্রমাণিত)
16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q) :
(i) x ∝ 1/y হলে,
সমাধান: x = k/y ⇒ xy = k (অশূন্য ধ্রুবক)
উত্তর: (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক
(ii) যদি x ∝ y হয়, তখন
সমাধান: x = ky ⇒ xn = knyn ⇒ xn ∝ yn. তাই x2 ∝ y2 বা x3 ∝ y3 ইত্যাদি হতে পারে। অপশনে আছে xn ∝ yn (সাধারণ রূপ). অপশনগুলোতে n এর মান দেওয়া আছে। xn ∝ yn এর সাপেক্ষে (d) x2 ∝ y2 সঠিক।
উত্তর: (d) x2 ∝ y2
(iii) x ∝ y এবং y=8 যখন x=2; y=16 হলে, x-এর মান
সমাধান: x = ky. 2 = k(8) ⇒ k = 1/4. x = y/4. y=16 হলে x = 16/4 = 4.
উত্তর: (b) 4
(iv) x ∝ y2 এবং y=4 যখন x=8; x=32 হলে, y-এর ধনাত্মক মান
সমাধান: x = ky2. 8 = k(4)2 ⇒ 8 = 16k ⇒ k = 1/2. x = y2/2. 32 = y2/2 ⇒ y2 = 64 ⇒ y = 8.
উত্তর: (b) 8
(v) যদি y-z ∝ 1/x, z-x ∝ 1/y এবং x-y ∝ 1/z হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি
সমাধান: y-z = k₁/x ⇒ k₁ = xy-xz. z-x = k₂/y ⇒ k₂ = yz-xy. x-y = k₃/z ⇒ k₃ = xz-yz. k₁+k₂+k₃ = xy-xz+yz-xy+xz-yz = 0.
উত্তর: (a) 0
(i) y ∝ 1/x হলে, y/x = অশূন্য ধ্রুবক
সমাধান: y = k/x ⇒ xy = k. কিন্তু y/x ধ্রুবক নয়।
উত্তর: মিথ্যা
(ii) x ∝ z এবং y ∝ z হলে, xy ∝ z
সমাধান: x = k₁z, y = k₂z. xy = k₁k₂z2 ⇒ xy ∝ z2. xy ∝ z নয়।
উত্তর: মিথ্যা (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) x ∝ 1/y এবং y ∝ 1/z হলে, x ∝ ________
সমাধান: x = k₁/y, y = k₂/z. x = k₁ / (k₂/z) = (k₁/k₂)z. ∴ x ∝ z.
উত্তর: z
(ii) x ∝ y হলে, xn ∝ ________
উত্তর: yn
(iii) x ∝ y এবং x ∝ z হলে, (y + z) ∝ ________
সমাধান: y ∝ x ⇒ y = k₁x, z ∝ x ⇒ z = k₂x. y+z = x(k₁+k₂). ∴ y+z ∝ x.
উত্তর: x
17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) x ∝ y2 এবং y=2a যখন x=a; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধান: x = ky2. a = k(2a)2 ⇒ a = k(4a2) ⇒ k = 1/(4a). ∴ x = y2/(4a) ⇒ y2 = 4ax
(ii) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।
সমাধান: x = k₁y, y = k₂z, z = k₃x. xyz = k₁k₂k₃(xyz) ⇒ k₁k₂k₃ = 1
(iii) x ∝ 1/y এবং y ∝ 1/z হলে, x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় করি।
সমাধান: x = k₁/y, y = k₂/z. x = k₁ / (k₂/z) = (k₁/k₂)z. ∴ x ∝ z. অর্থাৎ সরলভেদে আছে।
(iv) x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাই যে, z একটি অশূন্য ধ্রুবক।
সমাধান: x = k₁yz, y = k₂zx. x = k₁z(k₂zx) = k₁k₂z2x ⇒ 1 = k₁k₂z2 ⇒ z2 = 1/(k₁k₂) ⇒ z = ± 1/√(k₁k₂). যা একটি ধ্রুবক। (প্রমাণিত)
(v) যদি b ∝ a3 হয় এবং a-এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।
সমাধান: a₁/a₂ = 2/3. b = ka3 ⇒ b₁/b₂ = (a₁/a₂)3 = (2/3)3 = 8/27. b-এর বৃদ্ধি 8:27 অনুপাতে হবে।