WBBSE Class 10 Math Solution

Ganit Prakash Class X solution

কষে দেখি 13 সমাধান

ভেদ (Variation)

WBBSE Class 10 Chapter 13 Solution

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি ও নিয়ম:

• যৌগিক ভেদের উপপাদ্য: যদি x ∝ y (যখন z ধ্রুবক) এবং x ∝ z (যখন y ধ্রুবক) হয়, তবে x ∝ yz হবে (যখন y এবং z উভয়েই পরিবর্তিত হয়)।
• ভেদ চিহ্ন (∝) তুলে সমান (=) চিহ্ন আনলে একটি অশূন্য ধ্রুবক (k) দিয়ে গুণ করতে হয়।
• দুটি চলের অনুপাত স্থির থাকলে তারা সরল ভেদে থাকে। গুণফল স্থির থাকলে তারা ব্যস্ত ভেদে থাকে।

1. দুটি A ও B-এর সম্পর্কিত মানগুলি ছকে দেওয়া হলো। A ও B-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।

2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি ছকে দেওয়া হলো। x ও y-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি।

3. ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি:

(i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি. পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, দূরত্ব = D কিমি. এবং সময় = T মিনিট।
গতিবেগ স্থির থাকলে দূরত্ব ও সময় সরল ভেদে থাকে। অর্থাৎ, D ∝ T
বা, D = kT (যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক) — (১)

প্রদত্ত, D = 14 যখন T = 25।
(১) নং এ বসালে পাই: 14 = k × 25 ⇒ k = 1425

এখন, T = 5 ঘণ্টা = 5 × 60 = 300 মিনিট হলে D কত হবে?
D = 1425 × 300 = 14 × 12 = 168
উত্তর: তিনি 168 কিমি. পথ যাবেন।

(ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, শিশুর সংখ্যা = C এবং সন্দেশের সংখ্যা (মাথাপিছু) = S。
সন্দেশের মোট সংখ্যা নির্দিষ্ট থাকায় শিশুর সংখ্যা ও মাথাপিছু সন্দেশের সংখ্যা ব্যস্ত ভেদে থাকে।
অর্থাৎ, C ∝ 1S ⇒ C = kS ⇒ C × S = k — (১)

প্রদত্ত, C = 24 যখন S = 5।
(১) নং এ বসালে পাই: k = 24 × 5 = 120

যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে নতুন শিশুর সংখ্যা (C) = 24 – 4 = 20 জন।
তখন, 20 × S = 120 ⇒ S = 12020 = 6
উত্তর: প্রত্যেকে 6টি করে গোটা সন্দেশ পেত।

(iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, লোকসংখ্যা = P এবং সময় = D দিন।
কাজের পরিমাণ নির্দিষ্ট থাকলে লোকসংখ্যা ও দিনসংখ্যা ব্যস্ত ভেদে থাকে।
অর্থাৎ, P ∝ 1D ⇒ P × D = k — (১)

প্রদত্ত, P = 50 যখন D = 18।
(১) নং এ বসালে পাই: k = 50 × 18 = 900

এখন, D = 15 দিন হলে P কত হবে?
P × 15 = 900 ⇒ P = 90015 = 60
সুতরাং মোট 60 জন লোক লাগবে।
অতিরিক্ত লোক লাগবে = 60 – 50 = 10 জন।
উত্তর: অতিরিক্ত 10 জন লোককে কাজ করতে হবে।

4. সমাধান করি:

(i) y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y=9 যখন x=9; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y=6.
সমাধান:
শর্তানুসারে, y ∝ √x ⇒ y = k√x (যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক) — (১)
y = 9 যখন x = 9;
(১) নং এ বসালে পাই: 9 = k√9 ⇒ 9 = 3k ⇒ k = 3

সুতরাং সমীকরণটি হলো: y = 3√x
এখন, y = 6 হলে:
6 = 3√x ⇒ √x = 2
উভয়দিকে বর্গ করে পাই, x = 4
উত্তর: x-এর মান 4।

(ii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y=4, z=5 হলে x=3 হয়। আবার y=16, z=30 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
শর্তানুসারে, x ∝ y এবং x ∝ 1z
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী, x ∝ yz ⇒ x = k × yz — (১)
যখন y = 4, z = 5 তখন x = 3;
(১) নং এ বসালে পাই: 3 = k × 45 ⇒ k = 154

সম্পর্কটি হলো: x = 15y4z
এখন y = 16 এবং z = 30 হলে:
x = 15 × 164 × 30 = 240120 = 2
উত্তর: x-এর মান 2।

(iii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y=5 ও z=9 হলে x=16 হয়। x, y ও z-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি এবং y=6 ও z=15 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
শর্তানুসারে, x ∝ y এবং x ∝ 1z
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী, x ∝ yz ⇒ x = k × yz — (১)
দেওয়া আছে, y = 5, z = 9, x = 1/6
16 = k × 59 ⇒ k = 16 × 95 = 310

নির্ণেয় সম্পর্ক: x = 3y10z

এখন y = 6 এবং z = 1/5 হলে:
x = 3 × 610 × (1/5) = 182 = 9
উত্তর: সম্পর্কটি x = 3y/10z এবং x-এর মান 9।

5. প্রমাণ করি:

(i) x ∝ y হলে, দেখাই যে, x + y ∝ x – y
প্রমাণ:
দেওয়া আছে, x ∝ y ⇒ x = ky (যেখানে k অশূন্য ধ্রুবক)
এখন, x + yx – y = ky + yky – y = y(k + 1)y(k – 1) = k + 1k – 1 = ধ্রুবক (m ধরি)।
যেহেতু (x+y)/(x-y) = ধ্রুবক, তাই x + y ∝ x – y (প্রমাণিত)

(ii) A ∝ 1C, C ∝ 1B হলে, দেখাই যে, A ∝ B
প্রমাণ:
দেওয়া আছে, A = k₁C এবং C = k₂B (k₁, k₂ ধ্রুবক)
C-এর মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই:
A = k₁(k₂/B) = k₁k₂ × B
যেহেতু (k₁/k₂) ধ্রুবক, তাই A ∝ B (প্রমাণিত)

(iii) যদি a ∝ b, b ∝ 1c এবং c ∝ d হয়, তবে a ও d-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।
সমাধান:
ধরি, a = k₁b, b = k₂/c, c = k₃d (k₁, k₂, k₃ ধ্রুবক)।
এখন a এর সমীকরণে b এর মান বসালে: a = k₁ × (k₂/c) = (k₁k₂)/c
আবার c এর মান বসালে: a = (k₁k₂) / (k₃d) = k₁k₂k₃ × 1d
যেহেতু (k₁k₂/k₃) ধ্রুবক, তাই a ∝ 1/d।
উত্তর: a ও d ব্যস্ত ভেদে আছে (a ∝ 1/d)।

(iv) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধান:
দেওয়া আছে, x = k₁y, y = k₂z, z = k₃x (যেখানে k₁, k₂, k₃ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)
সমীকরণ তিনটির উভয়পক্ষ গুণ করে পাই:
x · y · z = (k₁y) · (k₂z) · (k₃x)
বা, xyz = (k₁k₂k₃)xyz
উভয়পক্ষ থেকে xyz বাতিল করে (যেহেতু চলগুলি অশূন্য),
k₁k₂k₃ = 1
উত্তর: ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1 হবে।

6. x + y ∝ x – y হলে, দেখাই যে,

মূল শর্ত থেকে:
x + y = k(x – y) [k = ধ্রুবক]
বা, x + y = kx – ky
বা, y + ky = kx – x
বা, y(1 + k) = x(k – 1)
বা, x/y = (k + 1)/(k – 1) = m (ধরি, m একটি ধ্রুবক)
∴ x = my

(i) x² + y² ∝ xy
প্রমাণ:
x² + y²xy = (my)² + y²(my) · y = m²y² + y²my² = y²(m² + 1)my² = m² + 1m = ধ্রুবক।
যেহেতু অনুপাত ধ্রুবক, তাই x² + y² ∝ xy (প্রমাণিত)

(ii) x³ + y³ ∝ x³ – y³
প্রমাণ:
x³ + y³x³ – y³ = (my)³ + y³(my)³ – y³ = m³y³ + y³m³y³ – y³ = y³(m³ + 1)y³(m³ – 1) = m³ + 1m³ – 1 = ধ্রুবক।
যেহেতু অনুপাত ধ্রুবক, তাই x³ + y³ ∝ x³ – y³ (প্রমাণিত)

(iii) ax + by ∝ px + qy [যেখানে a, b, p, q অশূন্য ধ্রুবক]
প্রমাণ:
ax + bypx + qy = a(my) + byp(my) + qy = y(am + b)y(pm + q) = am + bpm + q = ধ্রুবক (কারণ a,b,p,q,m সবাই ধ্রুবক)।
যেহেতু অনুপাত ধ্রুবক, তাই ax + by ∝ px + qy (প্রমাণিত)