কষে দেখি — 12 (ষষ্ঠ শ্রেণি)
1. তিনটি ছোটো ট্যাঙ্কে যথাক্রমে 35 লিটার, 56 লিটার ও 84 লিটার তেল আছে। হিসাব করি সবচেয়ে বড়ো কত মাপের পাত্র দিয়ে ট্যাঙ্ক তিনটির তেল পূর্ণসংখ্যক বার মাপতে পারব।
সমাধান:
সবচেয়ে বড়ো মাপের পাত্রের আয়তন বের করতে হলে 35, 56 এবং 84 এর গ.সা.গু. (H.C.F.) নির্ণয় করতে হবে।
35 = 5 × 7
56 = 2 × 2 × 2 × 7
84 = 2 × 2 × 3 × 7
সাধারণ উৎপাদক হলো 7।
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = 7
উত্তর: সবচেয়ে বড়ো 7 লিটার মাপের পাত্র দিয়ে ট্যাঙ্ক তিনটির তেল পূর্ণসংখ্যক বার মাপতে পারব।
2. আমাদের স্কুলের হল ঘরের দৈর্ঘ্য 2000 সেমি. এবং প্রস্থ 1600 সেমি.। হিসাব করে দেখি সবচেয়ে লম্বা কত দৈর্ঘ্যের ফিতে দিয়ে এই হল ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দু-দিকই পূর্ণসংখ্যায় মাপতে পারব।
সমাধান:
সবচেয়ে লম্বা ফিতের দৈর্ঘ্য হবে 2000 এবং 1600 এর গ.সা.গু.।
2000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
1600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
সাধারণ উৎপাদকগুলি হলো: 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 400
∴ গ.সা.গু. = 400
উত্তর: সবচেয়ে লম্বা 400 সেমি. (বা 4 মিটার) দৈর্ঘ্যের ফিতে দিয়ে মাপতে পারব।
3. 1071 টি ধুতি, 595 টি শাড়ি ও 357 টি জামা মজুত আছে। হিসাব করে দেখি সবচেয়ে বেশি কত পরিবারের মধ্যে ওই জিনিসগুলি সমানভাগে ভাগ করে দিতে পারব এবং প্রত্যেক পরিবার কতগুলি করে কি কি জিনিস পাবে।
সমাধান:
সবচেয়ে বেশি পরিবারের সংখ্যা বের করতে হলে 1071, 595 এবং 357 এর গ.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
357 = 3 × 7 × 17
595 = 5 × 7 × 17
1071 = 3 × 3 × 7 × 17
∴ গ.সা.গু. = 7 × 17 = 119
সুতরাং, সবচেয়ে বেশি 119 টি পরিবারের মধ্যে জিনিসগুলি সমানভাগে ভাগ করা যাবে।
প্রত্যেক পরিবার পাবে:
ধুতি = 1071 ÷ 119 = 9 টি
শাড়ি = 595 ÷ 119 = 5 টি
জামা = 357 ÷ 119 = 3 টি
উত্তর: সবচেয়ে বেশি 119 টি পরিবারের মধ্যে ভাগ করা যাবে। প্রত্যেক পরিবার 9টি ধুতি, 5টি শাড়ি এবং 3টি জামা পাবে।
4. একটি ইঞ্জিনের সামনের চাকার পরিধি 1 মি. 4 ডেসিমি. এবং পেছনের চাকার পরিধি সামনের চাকার পরিধির আড়াই গুণ। হিসাব করে দেখি কমপক্ষে কত পথ গেলে চাকা দুটি একই সঙ্গে পূর্ণসংখ্যক বার ঘোরা সম্পূর্ণ করবে।
সমাধান:
সামনের চাকার পরিধি = 1 মি. 4 ডেসিমি. = 14 ডেসিমি.
পেছনের চাকার পরিধি = 14 × 2.5 = 35 ডেসিমি.
কমপক্ষে কত পথ গেলে চাকা দুটি পূর্ণসংখ্যক বার ঘুরবে, তা বের করতে 14 এবং 35 এর ল.সা.গু. (L.C.M.) নির্ণয় করতে হবে।
14 = 2 × 7
35 = 5 × 7
∴ ল.সা.গু. = 2 × 5 × 7 = 70
উত্তর: কমপক্ষে 70 ডেসিমিটার বা 7 মিটার পথ গেলে চাকা দুটি একই সঙ্গে পূর্ণসংখ্যক বার ঘোরা সম্পূর্ণ করবে।
5. নীচের সংখ্যাগুলির গ.সা.গু. -এর মান কী হবে খুঁজি।
সমাধান:
(a) 24, 36, 54
24 = 2³ × 3; 36 = 2² × 3²; 54 = 2 × 3³
গ.সা.গু. = 2 × 3 = 6
(b) 24, 30, 40, 48
24 = 2³ × 3; 30 = 2 × 3 × 5; 40 = 2³ × 5; 48 = 2⁴ × 3
গ.সা.গু. = 2
(c) 296, 703, 814
296 = 2³ × 37; 703 = 19 × 37; 814 = 2 × 11 × 37
গ.সা.গু. = 37
(d) 160, 165, 305
160 = 5 × 32; 165 = 5 × 33; 305 = 5 × 61
গ.সা.গু. = 5
(e) 165, 264, 286
165 = 3 × 5 × 11; 264 = 2³ × 3 × 11; 286 = 2 × 11 × 13
গ.সা.গু. = 11
(f) 906, 1510, 1057
906 = 2 × 3 × 151; 1510 = 2 × 5 × 151; 1057 = 7 × 151
গ.সা.গু. = 151
6. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে 306, 810 ও 2214 -কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে কোনো ভাগশেষ থাকবে না তা হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে 306, 810 এবং 2214 এর গ.সা.গু.।
306 = 2 × 3² × 17
810 = 2 × 3⁴ × 5
2214 = 2 × 3³ × 41
∴ গ.সা.গু. = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
উত্তর: বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো 18।
7. তিনটি আলাদা আলাদা রাস্তার ক্রসিংয়ে তিনটি ট্রাফিক সিগনালের আলো যথাক্রমে প্রতি 16 সেকেন্ড, 28 সেকেন্ড ও 40 সেকেন্ড অন্তর পরিবর্তন হয়। যদি সকাল 8 টায় একসাথে আলোর পরিবর্তন করে তাহলে হিসাব করে দেখি আবার কখন ওই তিনটি ট্রাফিক সিগনালের আলো একসাথে আবার পরিবর্তন করবে।
সমাধান:
একসাথে আলোর পরিবর্তন হওয়ার সময় বের করতে 16, 28 এবং 40 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
16 = 2⁴
28 = 2² × 7
40 = 2³ × 5
∴ ল.সা.গু. = 2⁴ × 5 × 7 = 16 × 35 = 560 সেকেন্ড।
560 সেকেন্ড = (560 ÷ 60) মিনিট = 9 মিনিট 20 সেকেন্ড।
উত্তর: সকাল 8 টা 9 মিনিট 20 সেকেন্ডে আলো একসাথে আবার পরিবর্তন করবে।
8. আমাদের বাড়িতে তিনটি লাঠি আছে যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 45 সেমি., 50 সেমি. ও 75 সেমি.। হিসাব করে দেখি এই তিনটি লাঠির প্রত্যেকটি দিয়ে কমপক্ষে কত দৈর্ঘ্যের ফিতে সম্পূর্ণভাবে মাপতে পারব।
সমাধান:
কমপক্ষে ফিতের দৈর্ঘ্য হবে 45, 50 এবং 75 এর ল.সা.গু.।
45 = 3² × 5
50 = 2 × 5²
75 = 3 × 5²
∴ ল.সা.গু. = 2 × 3² × 5² = 2 × 9 × 25 = 450
উত্তর: কমপক্ষে 450 সেমি. দৈর্ঘ্যের ফিতে সম্পূর্ণভাবে মাপতে পারব।
9. ক্ষুদ্রতম সংখ্যা খুঁজি যা 15, 20, 24 এবং 32 দ্বারা বিভাজ্য।
সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে 15, 20, 24 এবং 32 এর ল.সা.গু.।
15 = 3 × 5
20 = 2² × 5
24 = 2³ × 3
32 = 2⁵
∴ ল.সা.গু. = 2⁵ × 3 × 5 = 32 × 15 = 480
উত্তর: ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো 480।
10. নীচের সংখ্যাগুলির ল.সা.গু. -এর মান খুঁজি।
সমাধান:
(a) 36, 60, 72
ল.সা.গু. = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360
(b) 24, 36, 45, 60
ল.সা.গু. = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360
(c) 105, 119, 289
105 = 3 × 5 × 7; 119 = 7 × 17; 289 = 17²
ল.সা.গু. = 3 × 5 × 7 × 17² = 105 × 289 = 30345
(d) 144, 180, 348
144 = 2⁴ × 3²; 180 = 2² × 3² × 5; 348 = 2² × 3 × 29
ল.সা.গু. = 2⁴ × 3² × 5 × 29 = 16 × 9 × 5 × 29 = 20880
(e) 110, 165, 330
যেহেতু 330 সংখ্যাটি 110 এবং 165 উভয়ের দ্বারাই বিভাজ্য, তাই ল.সা.গু. = 330
(f) 204, 408, 306
204 = 2² × 3 × 17; 408 = 2³ × 3 × 17; 306 = 2 × 3² × 17
ল.সা.গু. = 2³ × 3² × 17 = 8 × 9 × 17 = 1224
11. নীচের রাশিগুলির ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর মান খুঁজি।
সমাধান:
(ক) 6 টাকা 50 পয়সা, 5 টাকা 20 পয়সা এবং 7 টাকা 80 পয়সা।
প্রথমে সবগুলোকে পয়সায় নিয়ে যাই: 650 পয়সা, 520 পয়সা, 780 পয়সা।
650 = 10 × 5 × 13; 520 = 10 × 4 × 13; 780 = 10 × 6 × 13
গ.সা.গু. = 10 × 13 = 130 পয়সা = 1 টাকা 30 পয়সা
ল.সা.গু. = 130 × 5 × 4 × 3 (যেহেতু 4 ও 6 এর লসাগু 12) = 130 × 60 = 7800 পয়সা = 78 টাকা
(খ) 2 মি. 28 সেমি., 3 মি. 42 সেমি., 4 মি. 56 সেমি.।
সবগুলোকে সেমিতে নিই: 228 সেমি, 342 সেমি, 456 সেমি।
228 = 2² × 3 × 19; 342 = 2 × 3² × 19; 456 = 2³ × 3 × 19
গ.সা.গু. = 2 × 3 × 19 = 114 সেমি. = 1 মি. 14 সেমি.
ল.সা.গু. = 2³ × 3² × 19 = 8 × 9 × 19 = 1368 সেমি. = 13 মি. 68 সেমি.
(গ) 3 লি. 600 মিলিলি., 4 লি. 800 মিলিলি., 6 লি.।
সবগুলোকে মিলিলিটারে নিই: 3600 মিলি, 4800 মিলি, 6000 মিলি।
3600 = 1200 × 3; 4800 = 1200 × 4; 6000 = 1200 × 5
গ.সা.গু. = 1200 মিলি. = 1 লি. 200 মিলিলি.
ল.সা.গু. = 1200 × 3 × 4 × 5 = 72000 মিলি. = 72 লিটার
(ঘ) 6 ঘণ্টা 4 মিনিট 30 সেকেন্ড, 2 ঘণ্টা 42 মিনিট।
সবগুলোকে সেকেন্ডে নিই:
6 ঘণ্টা 4 মি. 30 সে. = (6×3600) + (4×60) + 30 = 21600 + 240 + 30 = 21870 সেকেন্ড।
2 ঘণ্টা 42 মি. = (2×3600) + (42×60) = 7200 + 2520 = 9720 সেকেন্ড।
21870 = 10 × 3⁷
9720 = 10 × 2² × 3⁵
গ.সা.গু. = 10 × 3⁵ = 2430 সেকেন্ড = 40 মিনিট 30 সেকেন্ড
ল.সা.গু. = 10 × 2² × 3⁷ = 40 × 2187 = 87480 সেকেন্ড = 24 ঘণ্টা 18 মিনিট
12. নীচের সংখ্যাজোড়াগুলির ক্ষেত্রে যাচাই করি যে, সংখ্যাদুটির গুণফল তাদের ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.-এর গুণফলের সমান কিনা।
সমাধান:
(a) 87, 145
গ.সা.গু. = 29; ল.সা.গু. = 29 × 3 × 5 = 435
সংখ্যাদুটির গুণফল = 87 × 145 = 12615
গ.সা.গু. × ল.সা.গু. = 29 × 435 = 12615 (যাচাই করা হলো, সমান)।
(b) 60, 75
গ.সা.গু. = 15; ল.সা.গু. = 300
সংখ্যাদুটির গুণফল = 60 × 75 = 4500
গ.সা.গু. × ল.সা.গু. = 15 × 300 = 4500 (যাচাই করা হলো, সমান)।
(c) 42, 63
গ.সা.গু. = 21; ল.সা.গু. = 126
সংখ্যাদুটির গুণফল = 42 × 63 = 2646
গ.সা.গু. × ল.সা.গু. = 21 × 126 = 2646 (যাচাই করা হলো, সমান)।
(d) 186, 403
গ.সা.গু. = 31; ল.সা.গু. = 2418
সংখ্যাদুটির গুণফল = 186 × 403 = 74958
গ.সা.গু. × ল.সা.গু. = 31 × 2418 = 74958 (যাচাই করা হলো, সমান)।
13. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. যথাক্রমে 2175 এবং 145; যদি একটি সংখ্যা 725 হয়, তাহলে অপর সংখ্যাটি কত হবে হিসাব করি।
সমাধান:
আমরা জানি, অপর সংখ্যা =
ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
একটি সংখ্যা
অপর সংখ্যা =
2175 × 145
725
= 3 × 145 = 435
উত্তর: অপর সংখ্যাটি 435।
14. 145 ও 232 সংখ্যা দুটির গ.সা.গু.-এর মান খুঁজি ও ওই গ.সা.গু.-এর সাহায্যে ল.সা.গু.-এর মান খোঁজার চেষ্টা করি।
সমাধান:
145 = 5 × 29
232 = 8 × 29
∴ গ.সা.গু. = 29
আমরা জানি, ল.সা.গু. =
সংখ্যা দুটির গুণফল
গ.সা.গু.
ল.সা.গু. =
145 × 232
29
= 5 × 232 = 1160
উত্তর: গ.সা.গু. = 29 এবং ল.সা.গু. = 1160।
15. 144 ও 384 সংখ্যা দুটির ল.সা.গু.-এর মান খুঁজি ও ওই ল.সা.গু.-এর সাহায্যে গ.সা.গু.-এর মান খোঁজার চেষ্টা করি।
সমাধান:
144 = 2⁴ × 3²
384 = 2⁷ × 3
∴ ল.সা.গু. = 2⁷ × 3² = 128 × 9 = 1152
আমরা জানি, গ.সা.গু. =
সংখ্যা দুটির গুণফল
ল.সা.গু.
গ.সা.গু. =
144 × 384
1152
= 144 ×
1
3
= 48
উত্তর: ল.সা.গু. = 1152 এবং গ.সা.গু. = 48।
16. 5834 থেকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল 20, 28, 32 ও 35 দিয়ে বিভাজ্য হবে হিসাব করি।
সমাধান:
প্রথমে 20, 28, 32 ও 35 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি।
ল.সা.গু. = 2⁵ × 5 × 7 = 32 × 35 = 1120
এখন 5834 কে 1120 দিয়ে ভাগ করলে:
5834 = 1120 × 5 + 234
অর্থাৎ, 5834 থেকে 234 বিয়োগ করলে তা 1120 দ্বারা (ফলে 20, 28, 32 ও 35 দিয়েও) বিভাজ্য হবে।
উত্তর: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি 234।
17. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে 2300 ও 3500-কে ভাগ করলে যথাক্রমে 32 ও 56 ভাগশেষ থাকবে হিসাব করি।
সমাধান:
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (2300 – 32) এবং (3500 – 56) এর গ.সা.গু.।
2300 – 32 = 2268
3500 – 56 = 3444
2268 এবং 3444 এর গ.সা.গু. নির্ণয় করলে পাই: 84
উত্তর: নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি 84।
18. হিসাব করে দেখি কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে 650, 775 ও 1250-কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে।
সমাধান:
প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকলে, সংখ্যাগুলির পারস্পরিক পার্থক্যের গ.সা.গু. বের করতে হয়।
পার্থক্যগুলি হলো:
775 – 650 = 125
1250 – 775 = 475
1250 – 650 = 600
এখন 125, 475 এবং 600 এর গ.সা.গু. হলো 25।
উত্তর: নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি 25।
19. দুটি সংখ্যার যোগফল 384 এবং সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. 48; সংখ্যা দুটি কী কী হতে পারে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো 48x এবং 48y (যেখানে x ও y পরস্পর মৌলিক বা কো-প্রাইম)।
শর্তানুসারে, 48x + 48y = 384
বা, 48(x + y) = 384
বা, x + y = 384 ÷ 48 = 8
যেহেতু x এবং y পরস্পর মৌলিক, 8-কে এমন দুটি সংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করতে হবে: (1, 7) এবং (3, 5)।
সুতরাং সংখ্যাজোড়াগুলি হতে পারে:
(48 × 1, 48 × 7) = (48, 336)
(48 × 3, 48 × 5) = (144, 240)
উত্তর: সংখ্যা দুটি (48, 336) অথবা (144, 240) হতে পারে।
20. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. যথাক্রমে 12 ও 720; হিসাব করে দেখি এরকম কত জোড়া সংখ্যা হতে পারে এবং সম্ভাব্য সংখ্যাগুলি কী কী।
সমাধান:
ধরি সংখ্যা দুটি 12x এবং 12y (যেখানে x ও y পরস্পর মৌলিক)।
আমরা জানি, সংখ্যা দুটির গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
12x × 12y = 12 × 720
বা, xy = 720 ÷ 12 = 60
60-কে দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে লিখলে পাই: (1, 60), (3, 20), (4, 15), (5, 12)।
সুতরাং, 4 জোড়া সংখ্যা হতে পারে।
সম্ভাব্য সংখ্যাজোড়াগুলি হলো:
(12×1, 12×60) = (12, 720)
(12×3, 12×20) = (36, 240)
(12×4, 12×15) = (48, 180)
(12×5, 12×12) = (60, 144)
উত্তর: এরকম 4 জোড়া সংখ্যা হতে পারে। সংখ্যাগুলি হলো: (12, 720), (36, 240), (48, 180), (60, 144)।
21. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে 4000 বিয়োগ করলে বিয়োগফল 7, 11 ও 13 দিয়ে বিভাজ্য হবে হিসাব করি।
সমাধান:
যেহেতু বিয়োগফল 7, 11 ও 13 দ্বারা বিভাজ্য, তাই বিয়োগফলটি হবে এদের ল.সা.গু.।
ল.সা.গু. = 7 × 11 × 13 = 1001 (কারণ এরা সবাই মৌলিক সংখ্যা)।
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা – 4000 = 1001
বা, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 4000 + 1001 = 5001
উত্তর: ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো 5001।
22. 50 ও 100-এর মধ্যবর্তী দু-জোড়া সংখ্যা খুঁজি যাদের গ.সা.গু. 16
সমাধান:
50 এবং 100 এর মধ্যে 16-এর গুণিতকগুলি হলো: 64, 80 এবং 96।
এদের মধ্যে থেকে এমন জোড়া নিতে হবে যাদের গ.সা.গু. ঠিক 16 হয় (অর্থাৎ 16 দিয়ে ভাগ করার পর ভাগফল দুটি পরস্পর মৌলিক হয়)।
(64, 80) এর গ.সা.গু. = 16 (কারণ 64=16×4, 80=16×5; 4 ও 5 পরস্পর মৌলিক)
(80, 96) এর গ.সা.গু. = 16 (কারণ 80=16×5, 96=16×6; 5 ও 6 পরস্পর মৌলিক)
কিন্তু (64, 96) এর গ.সা.গু. 32 হয়ে যাবে।
উত্তর: নির্ণেয় দু-জোড়া সংখ্যা হলো (64, 80) এবং (80, 96)।
23. 28, 33, 42 ও 77 দ্বারা বিভাজ্য যে সংখ্যাটি 98765 -এর নিকটতম তা হিসাব করে খুঁজে বার করি।
সমাধান:
প্রথমে 28, 33, 42 ও 77 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
28 = 2² × 7; 33 = 3 × 11; 42 = 2 × 3 × 7; 77 = 7 × 11
ল.সা.গু. = 2² × 3 × 7 × 11 = 924
এবার 98765 কে 924 দিয়ে ভাগ করি:
98765 ÷ 924 করলে ভাগফল 106 এবং ভাগশেষ 821 হয়।
924 × 106 = 97944
924 × 107 = 98868
98765 এবং 97944 এর পার্থক্য = 821
98868 এবং 98765 এর পার্থক্য = 103 (যা অপেক্ষাকৃত কম)
তাই 98868 সংখ্যাটি 98765-এর সবচেয়ে কাছে।
উত্তর: নির্ণেয় নিকটতম সংখ্যাটি হলো 98868।
24. হিসাব করে 13 দিয়ে বিভাজ্য এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা খুঁজি যা 8, 12, 16, ও 20 দিয়ে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 ভাগশেষ থাকে।
সমাধান:
প্রথমে 8, 12, 16 ও 20 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি।
ল.সা.গু. = 2⁴ × 3 × 5 = 240
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে (240k + 1) আকারের, যা 13 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
k = 1 হলে, সংখ্যাটি 241 (13 দ্বারা বিভাজ্য নয়)
k = 2 হলে, সংখ্যাটি (240 × 2) + 1 = 480 + 1 = 481
481 ÷ 13 = 37 (অর্থাৎ 481 সংখ্যাটি 13 দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য)।
উত্তর: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো 481।