কষে দেখি — 18.3 (ষষ্ঠ শ্রেণি)
1. 1000-এর নিকটতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা খুঁজি।
সমাধান:
1000-কে ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল করার চেষ্টা করলে আমরা পাই 31 এবং কিছু ভাগশেষ থাকে।
আমরা জানি,
31² = 31 × 31 = 961
32² = 32 × 32 = 1024
1000 থেকে 961-এর দূরত্ব = 1000 – 961 = 39
1024 থেকে 1000-এর দূরত্ব = 1024 – 1000 = 24
যেহেতু 24 < 39, তাই 1000-এর সবচেয়ে কাছের পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলো 1024।
উত্তর: 1000-এর নিকটতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 1024।
2. 9585 থেকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে হিসাব করি।
সমাধান:
9585-কে ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল করলে দেখা যায়:
97-এর বর্গ (97²) = 97 × 97 = 9409
98-এর বর্গ (98²) = 98 × 98 = 9604 (যা 9585 থেকে বড়ো)
সুতরাং, 9585 থেকে 97-এর বর্গ বিয়োগ করলে পাব:
9585 – 9409 = 176
অর্থাৎ, 9585 থেকে 176 বিয়োগ করলে বিয়োগফল (9409) একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
উত্তর: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো 176।
3. 5320-এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে হিসাব করি।
সমাধান:
5320-কে ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল করার চেষ্টা করলে আমরা পাই 72 এবং কিছু ভাগশেষ থাকে।
72² = 5184 (যা 5320 থেকে ছোটো)
পরবর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হবে 73² = 73 × 73 = 5329
সুতরাং, 5320-কে পূর্ণবর্গ করতে যোগ করতে হবে:
5329 – 5320 = 9
উত্তর: 5320-এর সাথে ক্ষুদ্রতম 9 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
4. শূন্য ছাড়া এমন একটি ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা খুঁজি যা 15, 25, 35 ও 45 দ্বারা বিভাজ্য।
সমাধান:
প্রথমে 15, 25, 35 ও 45-এর লসাগু (L.C.M) নির্ণয় করি:
15 = 3 × 5
25 = 5 × 5
35 = 5 × 7
45 = 3 × 3 × 5
∴ লসাগু = 3 × 3 × 5 × 5 × 7 = 1575
1575-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাই, (3 × 3) × (5 × 5) × 7
এখানে দেখা যাচ্ছে 7 জোড়ায় নেই। একে পূর্ণবর্গ করতে হলে 7 দিয়ে গুণ করতে হবে।
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা = 1575 × 7 = 11025
উত্তর: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 11025।
5. চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম পূর্ণবর্গ সংখ্যা খুঁজি যা 8, 15, 20 ও 25 দিয়ে বিভাজ্য।
সমাধান:
প্রথমে 8, 15, 20 ও 25-এর লসাগু নির্ণয় করি:
8 = 2 × 2 × 2
15 = 3 × 5
20 = 2 × 2 × 5
25 = 5 × 5
∴ লসাগু = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 600
600-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাই, (2 × 2) × 2 × 3 × (5 × 5)
এখানে 2 এবং 3 জোড়ায় নেই। পূর্ণবর্গ করতে হলে (2 × 3) বা 6 দিয়ে গুণ করতে হবে।
∴ ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা = 600 × 6 = 3600 (এটি একটি চার অঙ্কের সংখ্যা)।
এর পরবর্তী ওই সংখ্যাগুলি দ্বারা বিভাজ্য পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হবে 3600 × 2² = 3600 × 4 = 14400, যা পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা হয়ে যাচ্ছে।
তাই চার অঙ্কের ক্ষেত্রে ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম দুটি পূর্ণবর্গ সংখ্যাই হবে 3600।
উত্তর: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 3600।
6. চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা খুঁজি।
সমাধান:
চার অঙ্কের সবচেয়ে ছোটো সংখ্যাটি হলো 1000।
1000-কে ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল করলে দেখা যায় 31² = 961 (যা তিন অঙ্কের) এবং 32² = 1024 (যা চার অঙ্কের)।
যেহেতু 1024 চার অঙ্কের সবচেয়ে ছোটো পূর্ণবর্গ সংখ্যা,
উত্তর: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলো 1024।
7. চার অঙ্কের বৃহত্তম পূর্ণবর্গ সংখ্যা খুঁজি।
সমাধান:
চার অঙ্কের সবচেয়ে বড়ো সংখ্যাটি হলো 9999।
9999-কে ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল করলে ভাগফল 99 হয় এবং কিছু ভাগশেষ থাকে।
আমরা জানি, 99² = 99 × 99 = 9801 (যা চার অঙ্কের)।
এর পরবর্তী সংখ্যা 100² = 10000 (যা পাঁচ অঙ্কের)।
উত্তর: চার অঙ্কের বৃহত্তম পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলো 9801।
8. ভাগ পদ্ধতিতে নীচের সংখ্যার বর্গমূল খুঁজি।
(i) 256 (ii) 529 (iii) 625 (iv) 784 (v) 1024
(vi) 1225 (vii) 961 (viii) 841 (ix) 900 (x) 1764
সমাধান:
ভাগ পদ্ধতিতে নির্ণীত বর্গমূলগুলি হলো:
(i) √256 = 16
(ii) √529 = 23
(iii) √625 = 25
(iv) √784 = 28
(v) √1024 = 32
(vi) √1225 = 35
(vii) √961 = 31
(viii) √841 = 29
(ix) √900 = 30
(x) √1764 = 42
9. বর্গমূল না করে নীচের সংখ্যাগুলির এককের ঘরের অঙ্ক কী কী হতে পারে তা লিখি এবং সংখ্যাগুলির বর্গমূল কয় অঙ্কের সংখ্যা হবে তাও লিখি।
(a) 784 (b) 3676 (c) 160000 (d) 1225 (e) 2401 (f) 10201
সমাধান:
(a) 784:
এককের অঙ্ক 4, তাই বর্গমূলের এককের অঙ্ক 2 বা 8 হতে পারে।
সংখ্যাটি 3 অঙ্কের, তাই বর্গমূলের অঙ্কসংখ্যা হবে = (3+1) ÷ 2 = 2 টি।
(b) 3676:
এককের অঙ্ক 6, তাই বর্গমূলের এককের অঙ্ক 4 বা 6 হতে পারে।
সংখ্যাটি 4 অঙ্কের, তাই বর্গমূলের অঙ্কসংখ্যা হবে = 4 ÷ 2 = 2 টি।
(c) 160000:
এককের অঙ্ক 0, তাই বর্গমূলের এককের অঙ্ক 0 হবে।
সংখ্যাটি 6 অঙ্কের, তাই বর্গমূলের অঙ্কসংখ্যা হবে = 6 ÷ 2 = 3 টি।
(d) 1225:
এককের অঙ্ক 5, তাই বর্গমূলের এককের অঙ্ক 5 হবে।
সংখ্যাটি 4 অঙ্কের, তাই বর্গমূলের অঙ্কসংখ্যা হবে = 4 ÷ 2 = 2 টি।
(e) 2401:
এককের অঙ্ক 1, তাই বর্গমূলের এককের অঙ্ক 1 বা 9 হতে পারে।
সংখ্যাটি 4 অঙ্কের, তাই বর্গমূলের অঙ্কসংখ্যা হবে = 4 ÷ 2 = 2 টি।
(f) 10201:
এককের অঙ্ক 1, তাই বর্গমূলের এককের অঙ্ক 1 বা 9 হতে পারে।
সংখ্যাটি 5 অঙ্কের, তাই বর্গমূলের অঙ্কসংখ্যা হবে = (5+1) ÷ 2 = 3 টি。
10. 5000-এর নিকটতম দুটি অখন্ড পূর্ণবর্গ সংখ্যা খুঁজি।
সমাধান:
5000-কে ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল করার চেষ্টা করলে আমরা পাই 70 এবং কিছু ভাগশেষ থাকে।
আমরা জানি,
70² = 70 × 70 = 4900
71² = 71 × 71 = 5041
উত্তর: 5000-এর নিকটতম দুটি অখন্ড পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলো 4900 এবং 5041।
11. দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল 1575 এবং ভাগফল
9
7
; সংখ্যাগুলি কী হবে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, বড়ো সংখ্যাটি = x এবং ছোটো সংখ্যাটি = y
শর্তানুসারে,
x × y = 1575 …………. (i)
x ÷ y = 9/7 বা,
x
y
=
9
7
…………. (ii)
এখন, (i) এবং (ii) গুণ করে পাই,
(x × y) ×
x
y
= 1575 ×
9
7
বা, x² = 225 × 9
বা, x² = 2025
বা, x = √2025 = 45
আবার, (i) নং সমীকরণে x = 45 বসিয়ে পাই,
45 × y = 1575
বা, y =
1575
45
= 35
উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো 45 এবং 35।
12. 202* -এর * অঙ্কটি কী হলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে তা হিসাব করি।
সমাধান:
প্রদত্ত 202* সংখ্যাটি 2020 থেকে 2029-এর মধ্যে অবস্থিত একটি সংখ্যা।
আমরা জানি,
44² = 44 × 44 = 1936
45² = 45 × 45 = 2025
46² = 46 × 46 = 2116
যেহেতু 202* সংখ্যাটির প্রথম তিনটি অঙ্ক 202, তাই এটি 45-এর বর্গ 2025-এর সাথে মিলে যায়।
সুতরাং, * চিহ্নিত স্থানে 5 বসলে সংখ্যাটি 2025 হবে, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
উত্তর: * অঙ্কটি 5 হবে।