1. মান নির্ণয় করি:
(i) sin 38°cos 52°     (ii) cosec 79°sec 11°     (iii) tan 27°cot 63°

সমাধান:
(Part of WBBSE Class 10 Math Chapter 24 Solution)

(i) sin 38°cos 52°
= sin (90° − 52°)cos 52°    [যেহেতু 38° = 90° − 52°]
= cos 52°cos 52°     [যেহেতু sin(90° − θ) = cosθ]
= 1
উত্তর: 1

(ii) cosec 79°sec 11°
= cosec (90° − 11°)sec 11°    [যেহেতু 79° = 90° − 11°]
= sec 11°sec 11°     [যেহেতু cosec(90° − θ) = secθ]
= 1
উত্তর: 1

(iii) tan 27°cot 63°
= tan (90° − 63°)cot 63°    [যেহেতু 27° = 90° − 63°]
= cot 63°cot 63°     [যেহেতু tan(90° − θ) = cotθ]
= 1
উত্তর: 1

2. দেখাই যে :
(i) sin 66° − cos 24° = 0
(ii) cos² 57° + cos² 33° = 1
(iii) cos² 75° − sin² 15° = 0
(iv) cosec² 48° − tan² 42° = 1
(v) sec 70° sin 20° + cos 20° cosec 70° = 2

সমাধান:
(i) L.H.S (বামপক্ষ) = sin 66° − cos 24°
= sin (90° − 24°) − cos 24°
= cos 24° − cos 24°
= 0 = R.H.S (প্রমাণিত)

(ii) L.H.S = cos² 57° + cos² 33°
= cos² (90° − 33°) + cos² 33°
= sin² 33° + cos² 33°
= 1 = R.H.S (প্রমাণিত)    [যেহেতু sin²θ + cos²θ = 1]

(iii) L.H.S = cos² 75° − sin² 15°
= cos² (90° − 15°) − sin² 15°
= sin² 15° − sin² 15°
= 0 = R.H.S (প্রমাণিত)

(iv) L.H.S = cosec² 48° − tan² 42°
= cosec² (90° − 42°) − tan² 42°
= sec² 42° − tan² 42°
= 1 = R.H.S (প্রমাণিত)    [যেহেতু sec²θ − tan²θ = 1]

(v) L.H.S = sec 70° sin 20° + cos 20° cosec 70°
= sec (90° − 20°) sin 20° + cos 20° cosec (90° − 20°)
= cosec 20° sin 20° + cos 20° sec 20°
= (1sin 20° × sin 20°) + (cos 20° × 1cos 20°)
= 1 + 1 = 2 = R.H.S (প্রমাণিত)

3. যদি α ও β কোণ দুটি পরস্পর পূরক কোণ হয়, তাহলে দেখাই যে,
(i) sin²α + sin²β = 1
(ii) cot β + cos β = cos βcos α(1 + sin β)
(iii) sec αcos α − cot²β = 1

সমাধান:
যেহেতু α ও β পরস্পর পূরক কোণ, তাই α + β = 90°
∴ α = 90° − β   এবং   β = 90° − α

(i) L.H.S = sin²α + sin²β
= sin²α + sin²(90° − α)
= sin²α + cos²α
= 1 = R.H.S (প্রমাণিত)

(ii) R.H.S (ডানপক্ষ থেকে প্রমাণ করলে সুবিধা হবে)
= cos βcos α(1 + sin β)
= cos βcos (90° − β)(1 + sin β)
= cos βsin β(1 + sin β)
= cot β (1 + sin β)
= cot β + cot β × sin β
= cot β + (cos βsin β) × sin β
= cot β + cos β = L.H.S (প্রমাণিত)

(iii) L.H.S = sec αcos α − cot²β
= sec α × (1cos α) − cot²(90° − α)
= sec α × sec α − tan²α
= sec²α − tan²α
= 1 = R.H.S (প্রমাণিত)

4. যদি sin 17° = xy হয়, তাহলে দেখাই যে, sec 17° − sin 73° = x²y√(y² − x²)

সমাধান:
দেওয়া আছে, sin 17° = xy
আমরা জানি, cos 17° = √(1 − sin² 17°)
= √(1 − x²y²) = √(y² − x²y²) = √(y² − x²)y

∴ sec 17° = 1cos 17° = y√(y² − x²)
এবং sin 73° = sin (90° − 17°) = cos 17° = √(y² − x²)y

L.H.S (বামপক্ষ) = sec 17° − sin 73°
= y√(y² − x²) − √(y² − x²)y
= y² − {√(y² − x²)}²y√(y² − x²)
= y² − (y² − x²)y√(y² − x²)
= y² − y² + x²y√(y² − x²)
= x²y√(y² − x²) = R.H.S (প্রমাণিত)

5. দেখাই যে, sec² 12° − 1tan² 78° = 1

সমাধান:
(Final part of WBBSE Class 10 Math Chapter 24 Solution)
L.H.S = sec² 12° − 1tan² 78°
= sec² 12° − cot² 78°    [যেহেতু 1tanθ = cotθ]
= sec² 12° − cot² (90° − 12°)    [যেহেতু 78° = 90° − 12°]
= sec² 12° − tan² 12°    [যেহেতু cot(90° − θ) = tanθ]
= 1 = R.H.S (প্রমাণিত)    [যেহেতু sec²θ − tan²θ = 1]