WBBSE Class 8 Math Solution || Ganit Prabha VIII solution || কষে দেখি 5.2 সমাধান || ঘনফল নির্ণয় || WBBSE Class 8 Chapter 5 Solution
Table of Contents/সুচিপত্র
ToggleWBBSE Class 8 Math Solution
Ganit Prabha VIII solution
কষে দেখি 5.2 সমাধান
ঘনফল নির্ণয়
WBBSE Class 8 Chapter 5 Solution
1. ছক পূরণ করি (ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য ও আয়তন):
| নং | ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য (একক) | ঘনকের আয়তন (ঘন একক) [আয়তন = (বাহু)³] |
|---|---|---|
| (i) | p² + q² |
(p² + q²)³ = (p²)³ + 3(p²)²(q²) + 3(p²)(q²)² + (q²)³ = p⁶ + 3p⁴q² + 3p²q⁴ + q⁶ |
| (ii) | x 3 + 4 y |
(
x
3
+
4
y
)³ = ( x 3 )³ + 3( x 3 )²( 4 y ) + 3( x 3 )( 4 y )² + ( 4 y )³ = x³ 27 + 4x² 3y + 16x y² + 64 y³ |
| (iii) | x²y – z² |
(x²y – z²)³ = (x²y)³ – 3(x²y)²(z²) + 3(x²y)(z²)² – (z²)³ = x⁶y³ – 3x⁴y²z² + 3x²yz⁴ – z⁶ |
| (iv) | 1 + b – 2c | (1 + b – 2c)³ |
| (v) | 5 |
(2.89)³ + (2.11)³ + 15 × 2.89 × 2.11 = (2.89)³ + (2.11)³ + 3 × 5 × 2.89 × 2.11 = (2.89)³ + (2.11)³ + 3 × (2.89 + 2.11) × 2.89 × 2.11 = (2.89 + 2.11)³ = (5.00)³ = 5³ = 125 সুতরাং, বাহু = 5 |
| (vi) | 4m |
(2m+3n)³ + (2m-3n)³ + 12m(4m² – 9n²) ধরি, a = (2m+3n), b = (2m-3n) a + b = 4m এবং ab = (4m² – 9n²) রাশিটি: a³ + b³ + 3 × 4m × (4m² – 9n²) = a³ + b³ + 3(a+b)(ab) = (a + b)³ = (4m)³ সুতরাং, বাহু = 4m |
| (vii) | 2b |
(a+b)³ – (a-b)³ – 6b(a² – b²) ধরি, x = (a+b), y = (a-b) x – y = 2b এবং xy = (a² – b²) রাশিটি: x³ – y³ – 3 × 2b × (a² – b²) = x³ – y³ – 3(x-y)(xy) = (x – y)³ = (2b)³ সুতরাং, বাহু = 2b |
| (viii) | 2x – 3y – 4z | (2x – 3y – 4z)³ |
| (ix) | x² – 5 |
x⁶ – 15x⁴ + 75x² – 125 = (x²)³ – 3(x²)²(5) + 3(x²)(5)² – 5³ = (x² – 5)³ সুতরাং, বাহু = x² – 5 |
| (x) | 10 + x |
1000 + 30x(10+x) + x³ = 10³ + 3 × 10 × x (10+x) + x³ = a³ + 3ab(a+b) + b³ = (a+b)³ = (10 + x)³ সুতরাং, বাহু = 10 + x |
2. I থেকে IV নং অভেদের সাহায্যে নীচের প্রশ্নগুলি সমাধান করি।
(a) x – y = 2 হলে x³ – y³ – 6xy -এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
x – y = 2
উভয়পক্ষকে ঘন (Cube) করে পাই:
(x – y)³ = (2)³
বা, x³ – y³ – 3xy(x – y) = 8
বা, x³ – y³ – 3xy(2) = 8 [যেহেতু x – y = 2]
বা, x³ – y³ – 6xy = 8
উত্তর: 8
(b) a + b = –
1
3
হলে প্রমাণ করার চেষ্টা করি a³ + b³ – ab = –
1
27
প্রমাণ:
বামপক্ষ = a³ + b³ – ab
= (a + b)³ – 3ab(a + b) – ab
মান বসিয়ে পাই:
= (-
1
3
)³ – 3ab(-
1
3
) – ab
= –
1
27
+ ab – ab
= –
1
27
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
(c) x + y = 2 এবং
1
x
+
1
y
= 2 হলে x³ + y³ -এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
1
x
+
1
y
= 2
বা,
y + x
xy
= 2
বা,
2
xy
= 2 [যেহেতু x + y = 2]
বা, xy = 1
এখন, x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y)
= (2)³ – 3(1)(2) = 8 – 6 = 2
উত্তর: 2
(d)
x² – 1
x
= 2 হলে
x⁶ – 1
x³
-এর মান হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x²
x
–
1
x
= 2 ⇒ x –
1
x
= 2
প্রদত্ত রাশি =
x⁶
x³
–
1
x³
= x³ –
1
x³
= (x –
1
x
)³ + 3(x)(
1
x
)(x –
1
x
)
= (2)³ + 3(2)
= 8 + 6 = 14
উত্তর: 14
(e) x +
1
x
= 5 হলে x³ +
1
x³
-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
x³ +
1
x³
= (x +
1
x
)³ – 3(x)(
1
x
)(x +
1
x
)
= (5)³ – 3(5)
= 125 – 15 = 110
উত্তর: 110
(f) x = y + z হলে x³ – y³ – z³ – 3xyz এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
x = y + z
বা, x – y – z = 0
বা, x + (-y) + (-z) = 0
আমরা জানি, a + b + c = 0 হলে, a³ + b³ + c³ – 3abc = 0 হয়।
এখানে a = x, b = -y, c = -z ধরলে,
(x)³ + (-y)³ + (-z)³ – 3(x)(-y)(-z) = 0
বা, x³ – y³ – z³ – 3xyz = 0
উত্তর: 0
(g) xy (x + y) = m হলে x³ + y³ + 3m =
m³
x³y³
প্রমাণ করার চেষ্টা করি
প্রমাণ:
দেওয়া আছে, xy(x + y) = m ⇒ x + y =
m
xy
উভয়পক্ষকে ঘন (cube) করে পাই:
(x + y)³ = (
m
xy
)³
বা, x³ + y³ + 3xy(x + y) =
m³
x³y³
বা, x³ + y³ + 3(m) =
m³
x³y³
[যেহেতু xy(x+y) = m]
বা, x³ + y³ + 3m =
m³
x³y³
(প্রমাণিত)
(h) 2x +
1
3x
= 4 হলে প্রমাণ করার চেষ্টা করি 27x³ +
1
8x³
= 189
প্রমাণ:
দেওয়া আছে, 2x +
1
3x
= 4
উভয়পক্ষকে
3
2
দিয়ে গুণ করে পাই:
3
2
(2x +
1
3x
) = 4 ×
3
2
বা, 3x +
1
2x
= 6
উভয়পক্ষকে ঘন (cube) করে পাই:
(3x +
1
2x
)³ = (6)³
বা, (3x)³ + (
1
2x
)³ + 3(3x)(
1
2x
)(3x +
1
2x
) = 216
বা, 27x³ +
1
8x³
+
9
2
(6) = 216
বা, 27x³ +
1
8x³
+ 27 = 216
বা, 27x³ +
1
8x³
= 216 – 27
বা, 27x³ +
1
8x³
= 189 (প্রমাণিত)
(i) 2a –
2
a
+ 1 = 0 হলে, a³ –
1
a³
+ 2 -এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
2a –
2
a
= -1 ⇒ 2(a –
1
a
) = -1 ⇒ a –
1
a
= –
1
2
এখন, a³ –
1
a³
= (a –
1
a
)³ + 3(a)(
1
a
)(a –
1
a
)
= (-
1
2
)³ + 3(-
1
2
)
= –
1
8
–
3
2
=
-1 – 12
8
= –
13
8
প্রদত্ত রাশি = a³ –
1
a³
+ 2 = –
13
8
+ 2 =
-13 + 16
8
=
3
8
উত্তর:
3
8
(j) a³ + b³ + c³ = 3abc হলে (a + b + c) -এর মান হিসাব করে লিখি (a ≠ b ≠ c)।
সমাধান:
আমরা জানি, a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)
যেহেতু a³ + b³ + c³ = 3abc, অর্থাৎ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0
সুতরাং, (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca) = 0
যেহেতু a ≠ b ≠ c, তাই (a² + b² + c² – ab – bc – ca) এর মান 0 হতে পারে না।
সুতরাং, (a + b + c) = 0
উত্তর: 0
(k) যদি m + n = 5 এবং mn = 6 হয় তবে (m² + n²)(m³ + n³) -এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
m² + n² = (m + n)² – 2mn = (5)² – 2(6) = 25 – 12 = 13
m³ + n³ = (m + n)³ – 3mn(m + n) = (5)³ – 3(6)(5) = 125 – 90 = 35
প্রদত্ত রাশি = (m² + n²)(m³ + n³) = 13 × 35 = 455
উত্তর: 455