কষে দেখি — 1.1 (একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ)

কষে দেখি — 1.1 (একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ)

1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
সমাধান:
(i) x² – 7x + 2: এটি একটি একচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা এবং চলের (x) সর্বোচ্চ ঘাত 2। তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(ii) 7x⁵ – x(x + 2) = 7x⁵ – x² – 2x: এখানে চলের সর্বোচ্চ ঘাত 5। তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
(iii) 2x(x + 5) + 1 = 2x² + 10x + 1: চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2। তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।
(iv) 2x – 1: চলের সর্বোচ্চ ঘাত 1। তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয় (এটি রৈখিক)।

2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax² + bx + c = 0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি।
সমাধান:
(i) x – 1 + 1x = 6 (x ≠ 0)
বা, x² – x + 1x = 6
বা, x² – x + 1 = 6x
বা, x² – 7x + 1 = 0
এটি ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় (যেখানে a=1, b=-7, c=1)।

(ii) x + 3x = x² (x ≠ 0)
বা, x² + 3x = x²
বা, x² + 3 = x³
বা, x³ – x² – 3 = 0
এটি ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় না (এটি ত্রিঘাত সমীকরণ)।

(iii) x² – 6√x + 2 = 0
এখানে চলের ঘাত 1/2 (ভগ্নাংশ), তাই এটি বহুপদী সংখ্যামালাই নয়। সুতরাং এটি ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় না।

(iv) (x – 2)² = x² – 4x + 4
বা, x² – 4x + 4 = x² – 4x + 4
বা, 0 = 0
এটি একটি অভেদ, দ্বিঘাত সমীকরণ নয়। তাই এটি ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায় না।

3. x⁶ – x³ – 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন্ ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
সমীকরণটি হলো: x⁶ – x³ – 2 = 0
বা, (x³)² – (x³) – 2 = 0
যদি আমরা x³ = y ধরি, তবে সমীকরণটি দাঁড়ায় y² – y – 2 = 0, যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
সুতরাং, সমীকরণটি x³ -এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

4. (i) (a – 2)x² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি a-এর কোন্ মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
কোনো সমীকরণ দ্বিঘাত সমীকরণ হতে হলে x²-এর সহগ শূন্য হওয়া যাবে না (a ≠ 0 নিয়মানুসারে)।
এখানে x²-এর সহগ হলো (a – 2)।
যদি a – 2 = 0 হয়, তবে সমীকরণটি দ্বিঘাত থাকবে না।
∴ a = 2
উত্তর: a-এর মান 2 হলে সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।

(ii) x4 – x = 13x (x ≠ 0, x ≠ 4) -কে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x-এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
x4 – x = 13x
বা, 3x² = 4 – x (কোণাকুণি গুণ করে)
বা, 3x² + x – 4 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করলে পাই, x-এর সহগ (b) = 1।
উত্তর: x-এর সহগ হবে 1।

(iii) 3x² + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2 -কে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি।
সমাধান:
3x² + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2
বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 3x + 4x + 12 + 2
বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 7x + 14
বা, 3x² – x² + 7x – 7x + 23 – 14 = 0
বা, 2x² + 0.x + 9 = 0
উত্তর: নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো 2x² + 9 = 0 (বা 2x² + 0.x + 9 = 0)।

(iv) (x + 2)³ = x(x² – 1) সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x², x ও x⁰-এর সহগ লিখি।
সমাধান:
(x + 2)³ = x(x² – 1)
বা, x³ + 3.x².2 + 3.x.2² + 2³ = x³ – x [ (a+b)³ এর সূত্র প্রয়োগ করে ]
বা, x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ – x
বা, 6x² + 12x + x + 8 = 0
বা, 6x² + 13x + 8 = 0
এটি হলো নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ।
এখানে, x² এর সহগ = 6
x এর সহগ = 13
x⁰ এর সহগ (ধ্রুবক পদ) = 8

5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
সমাধান:
ধরি, একটি অংশ = x
তাহলে অপর অংশটি হবে = 42 – x
শর্তানুসারে, একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান।
∴ x² = 42 – x
বা, x² + x – 42 = 0 (এটিই নির্ণেয় সমীকরণ)।

(ii) দুটি ক্রমিক ধণাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143
সমাধান:
ধরি, একটি ধণাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা = 2x – 1
তাহলে তার পরবর্তী ক্রমিক অযুগ্ম সংখ্যাটি হবে = (2x – 1) + 2 = 2x + 1
(যেখানে x একটি ধণাত্মক পূর্ণসংখ্যা)
শর্তানুসারে, (2x – 1)(2x + 1) = 143
বা, (2x)² – 1² = 143
বা, 4x² – 1 = 143
বা, 4x² – 144 = 0
বা, x² – 36 = 0
(অথবা, যদি সংখ্যা দুটিকে সরাসরি x এবং x+2 ধরা হয়, তবে সমীকরণটি হবে: x(x+2) = 143 বা x² + 2x – 143 = 0)

(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
সমাধান:
ধরি, একটি সংখ্যা = x
তাহলে তার পরবর্তী ক্রমিক সংখ্যাটি হবে = x + 1
শর্তানুসারে, x² + (x + 1)² = 313
বা, x² + x² + 2x + 1 = 313
বা, 2x² + 2x + 1 – 313 = 0
বা, 2x² + 2x – 312 = 0
বা, x² + x – 156 = 0 (2 দিয়ে ভাগ করে)

6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
সমাধান:
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার।
তাহলে দৈর্ঘ্য হবে = (x + 3) মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ²)
শর্তানুসারে, √((x + 3)² + x²) = 15
উভয়দিকে বর্গ করে পাই,
(x + 3)² + x² = 15²
বা, x² + 6x + 9 + x² = 225
বা, 2x² + 6x + 9 – 225 = 0
বা, 2x² + 6x – 216 = 0
বা, x² + 3x – 108 = 0 (2 দিয়ে ভাগ করে)

(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা. চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
সমাধান:
ধরি, তিনি প্রথমে 80 টাকায় x কিগ্রা. চিনি কিনেছিলেন।
তাহলে প্রথমে প্রতি কিগ্রা. চিনির দাম ছিল = 80x টাকা।
পরে তিনি 80 টাকায় (x + 4) কিগ্রা. চিনি পেলে,
তখন প্রতি কিগ্রা. চিনির দাম হতো = 80x + 4 টাকা।
শর্তানুসারে, 80x – 80x + 4 = 1
বা, 80 (1x – 1x + 4) = 1
বা, 80 (x + 4 – xx(x + 4)) = 1
বা, 80 × 4x² + 4x = 1
বা, x² + 4x = 320
বা, x² + 4x – 320 = 0

(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির প্রথমে গতিবেগ ছিল ঘণ্টায় x কিমি.।
তাহলে 300 কিমি. যেতে সময় লাগত = 300x ঘণ্টা।
গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে, নতুন গতিবেগ হবে = (x + 5) কিমি./ঘণ্টা।
তখন 300 কিমি. যেতে সময় লাগবে = 300x + 5 ঘণ্টা।
শর্তানুসারে, 300x – 300x + 5 = 2
বা, 300 (x + 5 – xx(x + 5)) = 2
বা, 300 × 5x² + 5x = 2
বা, 1500 = 2(x² + 5x)
বা, 750 = x² + 5x
বা, x² + 5x – 750 = 0

(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো।
সমাধান:
ধরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = x টাকা।
তাঁর শতকরা লাভ = x%
∴ মোট লাভ = x এর x% = x × x100 = x²100 টাকা।
আমরা জানি, বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ
শর্তানুসারে, x + x²100 = 336
বা, 100x + x²100 = 336
বা, x² + 100x = 33600
বা, x² + 100x – 33600 = 0

(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
সমাধান:
ধরি, স্থির জলে নৌকার বেগ = x কিমি./ঘণ্টা।
স্রোতের বেগ = 2 কিমি./ঘণ্টা।
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (x + 2) কিমি./ঘণ্টা।
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (x – 2) কিমি./ঘণ্টা।
21 কিমি. অনুকূলে যেতে সময় লাগে = 21x + 2 ঘণ্টা।
21 কিমি. প্রতিকূলে ফিরে আসতে সময় লাগে = 21x – 2 ঘণ্টা।
শর্তানুসারে, 21x + 2 + 21x – 2 = 10
বা, 21 (x – 2 + x + 2(x + 2)(x – 2)) = 10
বা, 21 × 2xx² – 4 = 10
বা, 42x = 10(x² – 4)
বা, 42x = 10x² – 40
বা, 10x² – 42x – 40 = 0
বা, 5x² – 21x – 20 = 0 (2 দিয়ে ভাগ করে)

(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে।
সমাধান:
ধরি, সম্পূর্ণ কাজ পরিষ্কার করতে মহিমের সময় লাগে = x ঘণ্টা।
তাহলে মজিদের সময় লাগবে = (x + 3) ঘণ্টা।
মহিম 1 ঘণ্টায় করে কাজটির 1x অংশ।
মজিদ 1 ঘণ্টায় করে কাজটির 1x + 3 অংশ。
তারা দুজনে একসঙ্গে 1 ঘণ্টায় করে = 1x + 1x + 3 অংশ。
যেহেতু তারা একত্রে 2 ঘণ্টায় কাজটি শেষ করে, তাই তারা 1 ঘণ্টায় করবে কাজটির 12 অংশ。
শর্তানুসারে, 1x + 1x + 3 = 12
বা, x + 3 + xx(x + 3) = 12
বা, 2x + 3x² + 3x = 12
বা, x² + 3x = 4x + 6 (কোণাকুণি গুণ করে)
বা, x² + 3x – 4x – 6 = 0
বা, x² – x – 6 = 0

(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
সমাধান:
ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি = x
তাহলে একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে = x + 6
সংখ্যাটি হবে = 10 × (দশক অঙ্ক) + 1 × (একক অঙ্ক)
= 10x + (x + 6) = 11x + 6
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = x(x + 6) = x² + 6x
শর্তানুসারে, অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = সংখ্যাটি – 12
x² + 6x = (11x + 6) – 12
বা, x² + 6x = 11x – 6
বা, x² + 6x – 11x + 6 = 0
বা, x² – 5x + 6 = 0

(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।
সমাধান:
ধরি, রাস্তাটি চারদিকে x মিটার চওড়া।
খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য = 45 মিটার এবং প্রস্থ = 40 মিটার।
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = 45 + 2x মিটার।
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = 40 + 2x মিটার。
রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (45 + 2x)(40 + 2x) বর্গ মিটার।
শুধু মাঠের ক্ষেত্রফল = 45 × 40 = 1800 বর্গ মিটার।
রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল) – (মাঠের ক্ষেত্রফল)
শর্তানুসারে, (45 + 2x)(40 + 2x) – 1800 = 450
বা, 1800 + 90x + 80x + 4x² – 1800 = 450
বা, 4x² + 170x – 450 = 0
বা, 2x² + 85x – 225 = 0 (2 দিয়ে ভাগ করে)