1. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত মানগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই করে লিখি:

(i) x² + x + 1 = 0 ; 1 ও -1
সমাধান:
বামপক্ষে x = 1 বসালে পাই: 1² + 1 + 1 = 3 ≠ 0
বামপক্ষে x = -1 বসালে পাই: (-1)² + (-1) + 1 = 1 – 1 + 1 = 1 ≠ 0
উত্তর: 1 ও -1 প্রদত্ত সমীকরণের বীজ নয়।

---

(ii) 8x² + 7x = 0 ; 0 ও -2
সমাধান:
বামপক্ষে x = 0 বসালে পাই: 8(0)² + 7(0) = 0 = ডানপক্ষ
বামপক্ষে x = -2 বসালে পাই: 8(-2)² + 7(-2) = 8(4) – 14 = 32 – 14 = 18 ≠ 0
উত্তর: 0 সমীকরণটির একটি বীজ, কিন্তু -2 সমীকরণটির বীজ নয়।

---

(iii) x + 1 x = 13 6 ; 5 6 ও 4 3
সমাধান:
বামপক্ষে x = 5 6 বসালে পাই: 5 6 + 6 5 = 25 + 36 30 = 61 30 ≠ 13 6
বামপক্ষে x = 4 3 বসালে পাই: 4 3 + 3 4 = 16 + 9 12 = 25 12 ≠ 13 6
উত্তর: 5 6 ও 4 3 প্রদত্ত সমীকরণের বীজ নয়。

---

(iv) x² – √3x – 6 = 0 ; -√3 ও 2√3
সমাধান:
বামপক্ষে x = -√3 বসালে পাই: (-√3)² – √3(-√3) – 6 = 3 + 3 – 6 = 0
বামপক্ষে x = 2√3 বসালে পাই: (2√3)² – √3(2√3) – 6 = 12 – 6 – 6 = 0
উত্তর: -√3 ও 2√3 উভয়েই প্রদত্ত সমীকরণের বীজ।

2.

(i) k-এর কোন মানের জন্য 7x² + kx – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 2 3 হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
যেহেতু 2 3 সমীকরণটির একটি বীজ, তাই x = 2 3 বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।
7( 2 3 )² + k( 2 3 ) – 3 = 0
বা, 7( 4 9 ) + 2k 3 – 3 = 0
বা, 28 9 + 2k 3 – 3 = 0
বা, 28 + 6k – 27 9 = 0
বা, 6k + 1 = 0
বা, 6k = -1 ⇒ k = – 1 6
উত্তর: k-এর মান – 1 6 হবে।

---

(ii) k-এর কোন মানের জন্য x² + 3ax + k = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
যেহেতু -a সমীকরণটির একটি বীজ, তাই x = -a বসালে পাই:
(-a)² + 3a(-a) + k = 0
বা, a² – 3a² + k = 0
বা, -2a² + k = 0 ⇒ k = 2a²
উত্তর: k-এর মান 2a² হবে।

3. যদি ax² + 7x + b = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ 2 3 এবং -3 হয় তবে a ও b-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:
সমীকরণে x = 2 3 বসিয়ে পাই:
a( 4 9 ) + 7( 2 3 ) + b = 0
বা, 4a 9 + 14 3 + b = 0
বা, 4a + 42 + 9b = 0 ……(i) (পুরো সমীকরণকে 9 দিয়ে গুণ করে)

সমীকরণে x = -3 বসিয়ে পাই:
a(-3)² + 7(-3) + b = 0
বা, 9a – 21 + b = 0 ⇒ b = 21 – 9a ……(ii)

(ii) নং থেকে b এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই:
4a + 42 + 9(21 – 9a) = 0
বা, 4a + 42 + 189 – 81a = 0
বা, -77a + 231 = 0
বা, 77a = 231 ⇒ a = 3
এখন, b = 21 – 9(3) = 21 – 27 = -6
উত্তর: a = 3 এবং b = -6

4. সমাধান করি :

(i) 3y² – 20 = 160 – 2y²
সমাধান:
3y² + 2y² = 160 + 20
বা, 5y² = 180
বা, y² = 36
বা, y = ±6
নির্ণেয় সমাধান: y = 6, -6

---

(ii) (2x + 1)² + (x + 1)² = 6x + 47
সমাধান:
(4x² + 4x + 1) + (x² + 2x + 1) = 6x + 47
বা, 5x² + 6x + 2 = 6x + 47
বা, 5x² = 47 – 2
বা, 5x² = 45
বা, x² = 9 ⇒ x = ±3
নির্ণেয় সমাধান: x = 3, -3

---

(iii) (x – 7)(x – 9) = 195
সমাধান:
x² – 9x – 7x + 63 = 195
বা, x² – 16x + 63 – 195 = 0
বা, x² – 16x – 132 = 0
বা, x² – 22x + 6x – 132 = 0
বা, x(x – 22) + 6(x – 22) = 0
বা, (x – 22)(x + 6) = 0
হয় x – 22 = 0 ⇒ x = 22
অথবা x + 6 = 0 ⇒ x = -6
নির্ণেয় সমাধান: x = 22, -6

---

(iv) 3x – 24 x = x 3 , x ≠ 0
সমাধান:
3x² – 24 x = x 3
বা, 9x² – 72 = x² (কোণাকুণি গুণ করে)
বা, 8x² = 72
বা, x² = 9 ⇒ x = ±3
নির্ণেয় সমাধান: x = 3, -3

---

(v) x 3 + 3 x = 15 x , x ≠ 0
সমাধান:
x 3 = 15 x – 3 x
বা, x 3 = 12 x
বা, x² = 36 ⇒ x = ±6
নির্ণেয় সমাধান: x = 6, -6

---

(vi) 10x – 1 x = 3 , x ≠ 0
সমাধান:
10x² – 1 x = 3
বা, 10x² – 1 = 3x
বা, 10x² – 3x – 1 = 0
বা, 10x² – 5x + 2x – 1 = 0
বা, 5x(2x – 1) + 1(2x – 1) = 0
বা, (2x – 1)(5x + 1) = 0
হয় 2x – 1 = 0 ⇒ x = 1 2
অথবা 5x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 5
নির্ণেয় সমাধান: x = 1 2 , – 1 5

---

(vii) 2 x² – 5 x + 2 = 0 , x ≠ 0
সমাধান:
2 – 5x + 2x² x² = 0
বা, 2x² – 5x + 2 = 0
বা, 2x² – 4x – x + 2 = 0
বা, 2x(x – 2) – 1(x – 2) = 0
বা, (x – 2)(2x – 1) = 0
হয় x – 2 = 0 ⇒ x = 2
অথবা 2x – 1 = 0 ⇒ x = 1 2
নির্ণেয় সমাধান: x = 2, 1 2

---

(viii) x – 2 x + 2 + 6 ( x – 2 x – 6 ) = 1 , x ≠ -2, 6
সমাধান:
(x – 2) [ 1 x + 2 + 6 x – 6 ] = 1
বা, (x – 2) [ x – 6 + 6(x + 2) (x + 2)(x – 6) ] = 1
বা, (x – 2) [ x – 6 + 6x + 12 x² – 4x – 12 ] = 1
বা, (x – 2) [ 7x + 6 x² – 4x – 12 ] = 1
বা, 7x² – 14x + 6x – 12 = x² – 4x – 12
বা, 7x² – 8x – 12 = x² – 4x – 12
বা, 6x² – 4x = 0
বা, 2x(3x – 2) = 0
হয় x = 0
অথবা 3x – 2 = 0 ⇒ x = 2 3
নির্ণেয় সমাধান: x = 0, 2 3

---

(ix) 1 x – 3 – 1 x + 5 = 1 6 , x ≠ 3, -5
সমাধান:
(x + 5) – (x – 3) (x – 3)(x + 5) = 1 6
বা, x + 5 – x + 3 x² + 2x – 15 = 1 6
বা, 8 x² + 2x – 15 = 1 6
বা, x² + 2x – 15 = 48
বা, x² + 2x – 63 = 0
বা, x² + 9x – 7x – 63 = 0
বা, x(x + 9) – 7(x + 9) = 0
বা, (x + 9)(x – 7) = 0
হয় x = -9 অথবা x = 7
নির্ণেয় সমাধান: x = 7, -9

---

(x) x x + 1 + x + 1 x = 2 1 12 , x ≠ 0, -1
সমাধান:
ধরি, x x + 1 = a। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
a + 1 a = 25 12
বা, a² + 1 a = 25 12
বা, 12a² – 25a + 12 = 0
বা, 12a² – 16a – 9a + 12 = 0
বা, 4a(3a – 4) – 3(3a – 4) = 0
বা, (3a – 4)(4a – 3) = 0
হয় a = 4 3 অথবা a = 3 4
যখন a = 4 3 , তখন x x + 1 = 4 3 ⇒ 4x + 4 = 3x ⇒ x = -4
যখন a = 3 4 , তখন x x + 1 = 3 4 ⇒ 4x = 3x + 3 ⇒ x = 3
নির্ণেয় সমাধান: x = 3, -4

---

(xi) ax + b a + bx = cx + d c + dx [a ≠ b, c ≠ d], x ≠ – a b , – c d
সমাধান:
কোণাকুণি গুণ করে পাই:
(ax + b)(c + dx) = (cx + d)(a + bx)
বা, acx + adx² + bc + bdx = acx + bcx² + ad + bdx
উভয়দিক থেকে acx এবং bdx বাদ দিলে পাই:
adx² + bc = bcx² + ad
বা, adx² – bcx² = ad – bc
বা, x²(ad – bc) = (ad – bc)
যেহেতু a ≠ b এবং c ≠ d, তাই x² = 1 ⇒ x = ±1
নির্ণেয় সমাধান: x = 1, -1

---

(xii) (2x + 1) + 3 2x + 1 = 4 , x ≠ – 1 2
সমাধান:
ধরি, 2x + 1 = a। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
a + 3 a = 4
বা, a² + 3 a = 4
বা, a² – 4a + 3 = 0
বা, a² – 3a – a + 3 = 0
বা, a(a – 3) – 1(a – 3) = 0 ⇒ (a – 3)(a – 1) = 0
হয় a = 3 অথবা a = 1
যখন 2x + 1 = 3 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
যখন 2x + 1 = 1 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0
নির্ণেয় সমাধান: x = 1, 0

---

(xiii) x + 1 2 + 2 x + 1 = x + 1 3 + 3 x + 1 – 5 6 , x ≠ -1
সমাধান:
ধরি, x + 1 = a। সমীকরণটি দাঁড়ায়:
a 2 + 2 a = a 3 + 3 a – 5 6
বা, a 2 – a 3 = 3 a – 2 a – 5 6
বা, 3a – 2a 6 = 1 a – 5 6
বা, a 6 + 5 6 = 1 a
বা, a + 5 6 = 1 a
বা, a² + 5a = 6
বা, a² + 5a – 6 = 0 ⇒ (a + 6)(a – 1) = 0
হয় a = -6 অথবা a = 1
যখন x + 1 = -6 ⇒ x = -7
যখন x + 1 = 1 ⇒ x = 0
নির্ণেয় সমাধান: x = 0, -7

---

(xiv) 12x + 17 3x + 1 – 2x + 15 x + 7 = 3 1 5 , x ≠ – 1 3 , -7
সমাধান:
(12x + 17)(x + 7) – (2x + 15)(3x + 1) (3x + 1)(x + 7) = 16 5
বা, (12x² + 84x + 17x + 119) – (6x² + 2x + 45x + 15) 3x² + 21x + x + 7 = 16 5
বা, (12x² + 101x + 119) – (6x² + 47x + 15) 3x² + 22x + 7 = 16 5
বা, 6x² + 54x + 104 3x² + 22x + 7 = 16 5
লব থেকে 2 কমন নিয়ে এবং উভয়দিক 2 দ্বারা ভাগ করে পাই:
3x² + 27x + 52 3x² + 22x + 7 = 8 5
কোণাকুণি গুণ করে:
15x² + 135x + 260 = 24x² + 176x + 56
বা, 24x² – 15x² + 176x – 135x + 56 – 260 = 0
বা, 9x² + 41x – 204 = 0
বা, 9x² + 68x – 27x – 204 = 0
বা, x(9x + 68) – 3(9x + 68) = 0
বা, (x – 3)(9x + 68) = 0
হয় x – 3 = 0 ⇒ x = 3
অথবা 9x + 68 = 0 ⇒ x = – 68 9 = -7 5 9
নির্ণেয় সমাধান: x = 3, -7 5 9

---

(xv) x + 3 x – 3 + 6 ( x – 3 x + 3 ) = 5 , x ≠ 3, -3
সমাধান:
ধরি, x + 3 x – 3 = a। সমীকরণটি দাঁড়ায়:
a + 6 a = 5
বা, a² – 5a + 6 = 0
বা, (a – 3)(a – 2) = 0
হয় a = 3 অথবা a = 2
যখন x + 3 x – 3 = 3 ⇒ 3x – 9 = x + 3 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6
যখন x + 3 x – 3 = 2 ⇒ 2x – 6 = x + 3 ⇒ x = 9
নির্ণেয় সমাধান: x = 6, 9

---

(xvi) 1 a + b + x = 1 a + 1 b + 1 x , x ≠ 0, -(a+b)
সমাধান:
1 a + b + x – 1 x = 1 a + 1 b
বা, x – (a + b + x) x(a + b + x) = b + a ab
বা, – (a + b) x(a + b + x) = a + b ab
উভয়দিক থেকে (a+b) বাদ দিয়ে পাই:
-1 x² + ax + bx = 1 ab
বা, x² + ax + bx = -ab
বা, x² + ax + bx + ab = 0
বা, x(x + a) + b(x + a) = 0
বা, (x + a)(x + b) = 0
নির্ণেয় সমাধান: x = -a, -b

---

(xvii) ( x + a x – a )² – 5( x + a x – a ) + 6 = 0 , x ≠ a
সমাধান:
ধরি, x + a x – a = y। সমীকরণটি দাঁড়ায়:
y² – 5y + 6 = 0
বা, (y – 3)(y – 2) = 0
হয় y = 3 অথবা y = 2
যখন x + a x – a = 3 ⇒ 3x – 3a = x + a ⇒ 2x = 4a ⇒ x = 2a
যখন x + a x – a = 2 ⇒ 2x – 2a = x + a ⇒ x = 3a
নির্ণেয় সমাধান: x = 2a, 3a

---

(xviii) 1 x – 1 x + b = 1 a – 1 a + b , x ≠ 0, -b
সমাধান:
x + b – x x(x + b) = a + b – a a(a + b)
বা, b x² + bx = b a² + ab
উভয়দিক থেকে b বাদ দিয়ে:
x² + bx = a² + ab
বা, x² – a² + bx – ab = 0
বা, (x – a)(x + a) + b(x – a) = 0
বা, (x – a)(x + a + b) = 0
হয় x – a = 0 ⇒ x = a
অথবা x + a + b = 0 ⇒ x = -(a + b)
নির্ণেয় সমাধান: x = a, -(a + b)

---

(xix) 1 (x – 1)(x – 2) + 1 (x – 2)(x – 3) + 1 (x – 3)(x – 4) = 1 6 , x ≠ 1, 2, 3, 4
সমাধান:
প্রতিটি ভগ্নাংশকে ভেঙে লিখলে পাই:
( 1 x – 2 – 1 x – 1 ) + ( 1 x – 3 – 1 x – 2 ) + ( 1 x – 4 – 1 x – 3 ) = 1 6
বা, 1 x – 4 – 1 x – 1 = 1 6
বা, x – 1 – (x – 4) (x – 4)(x – 1) = 1 6
বা, 3 x² – 5x + 4 = 1 6
বা, x² – 5x + 4 = 18
বা, x² – 5x – 14 = 0
বা, (x – 7)(x + 2) = 0
নির্ণেয় সমাধান: x = 7, -2

---

(xx) a x – a + b x – b = 2c x – c , x ≠ a, b, c
সমাধান:
a x – a – c x – c + b x – b – c x – c = 0
বা, ax – ac – cx + ac (x – a)(x – c) + bx – bc – cx + bc (x – b)(x – c) = 0
বা, x(a – c) (x – a)(x – c) + x(b – c) (x – b)(x – c) = 0
বা, x [ a – c (x – a)(x – c) + b – c (x – b)(x – c) ] = 0
হয় x = 0
অথবা, a – c x – a + b – c x – b = 0 (উভয়দিককে (x – c) দিয়ে গুণ করে)
বা, (a – c)(x – b) + (b – c)(x – a) = 0
বা, ax – ab – cx + bc + bx – ab – cx + ac = 0
বা, x(a + b – 2c) = 2ab – ac – bc
বা, x = 2ab – c(a + b) a + b – 2c
নির্ণেয় সমাধান: x = 0, 2ab – c(a + b) a + b – 2c

---

(xxi) x² – (√3 + 2)x + 2√3 = 0
সমাধান:
x² – √3x – 2x + 2√3 = 0
বা, x(x – √3) – 2(x – √3) = 0
বা, (x – √3)(x – 2) = 0
হয় x – √3 = 0 ⇒ x = √3
অথবা x – 2 = 0 ⇒ x = 2
নির্ণেয় সমাধান: x = √3, 2