কষে দেখি — 1.4 (একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ)

কষে দেখি — 1.4 (একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ)

1. (i) 4x²+(2x-1)(2x+1) = 4x(2x-1) -এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব কিনা বুঝে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 4x² + (2x – 1)(2x + 1) = 4x(2x – 1)
বা, 4x² + (2x)² – 1² = 8x² – 4x [যেহেতু (a-b)(a+b) = a² – b²]
বা, 4x² + 4x² – 1 = 8x² – 4x
বা, 8x² – 1 = 8x² – 4x
উভয়দিক থেকে 8x² বাদ দিলে পাই,
-1 = -4x
বা, 4x – 1 = 0
এটি একটি একঘাত বা রৈখিক সমীকরণ (ax + b = 0 আকারে), এটি কোনো দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।
উত্তর: শ্রীধর আচার্যের সূত্র শুধুমাত্র দ্বিঘাত সমীকরণের (ax² + bx + c = 0, a≠0) ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। তাই এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব নয়।

(ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি বুঝে লিখি।
উত্তর: শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা শুধুমাত্র একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের (অর্থাৎ ax² + bx + c = 0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 আকারের সমীকরণ) সমাধান করতে পারি।

(iii) 5x²+2x-7=0 এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে x = k ± 12 10 পাওয়া গেলে k-এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: 5x² + 2x – 7 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই: a = 5, b = 2, c = -7
শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুসারে,
x = -b ± √(b² – 4ac) 2a
= -2 ± √(2² – 4 × 5 × -7) 2 × 5
= -2 ± √(4 + 140) 10
= -2 ± √144 10 = -2 ± 12 10
প্রশ্নানুসারে, -2 ± 12 10 = k ± 12 10
তুলনা করে পাই, k = -2
উত্তর: k-এর মান হবে -2।

2. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি।
(i) 3x²+11x-4=0
সমাধান:
a = 3, b = 11, c = -4
নিরূপক (b² – 4ac) = (11)² – 4 × 3 × (-4) = 121 + 48 = 169 > 0 (বাস্তব বীজ আছে)
x = -11 ± √169 2 × 3 = -11 ± 13 6
হয় x = -11 + 13 6 = 2 6 = 1 3
অথবা x = -11 – 13 6 = -24 6 = -4
নির্ণেয় বীজদ্বয়: 1/3 এবং -4

(ii) (x-2)(x+4)+9=0
সমাধান:
সমীকরণটিকে সরল করি: x² + 4x – 2x – 8 + 9 = 0 ⇒ x² + 2x + 1 = 0
a = 1, b = 2, c = 1
নিরূপক = 2² – 4(1)(1) = 4 – 4 = 0 (বাস্তব ও সমান বীজ আছে)
x = -2 ± √0 2 × 1 = -2 2 = -1
নির্ণেয় বীজদ্বয়: -1 এবং -1

(iii) (4x-3)²-2(x+3)=0
সমাধান:
16x² – 24x + 9 – 2x – 6 = 0 ⇒ 16x² – 26x + 3 = 0
a = 16, b = -26, c = 3
নিরূপক = (-26)² – 4(16)(3) = 676 – 192 = 484 = (22)² > 0
x = -(-26) ± √484 2 × 16 = 26 ± 22 32
হয় x = 26 + 22 32 = 48 32 = 3 2
অথবা x = 26 – 22 32 = 4 32 = 1 8
নির্ণেয় বীজদ্বয়: 3/2 এবং 1/8

(iv) 3x²+2x-1=0
সমাধান:
a = 3, b = 2, c = -1
নিরূপক = 2² – 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 > 0
x = -2 ± √16 2 × 3 = -2 ± 4 6
হয় x = -2 + 4 6 = 2 6 = 1 3
অথবা x = -2 – 4 6 = -6 6 = -1
নির্ণেয় বীজদ্বয়: 1/3 এবং -1

(v) 3x²+2x+1=0
সমাধান:
a = 3, b = 2, c = 1
নিরূপক = 2² – 4(3)(1) = 4 – 12 = -8 < 0
যেহেতু নিরূপক ঋণাত্মক, তাই এই সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।

(vi) 10x²-x-3=0
সমাধান:
a = 10, b = -1, c = -3
নিরূপক = (-1)² – 4(10)(-3) = 1 + 120 = 121 = (11)² > 0
x = -(-1) ± √121 2 × 10 = 1 ± 11 20
হয় x = 1 + 11 20 = 12 20 = 3 5
অথবা x = 1 – 11 20 = -10 20 = – 1 2
নির্ণেয় বীজদ্বয়: 3/5 এবং -1/2

(vii) 10x²-x+3=0
সমাধান:
a = 10, b = -1, c = 3
নিরূপক = (-1)² – 4(10)(3) = 1 – 120 = -119 < 0
যেহেতু নিরূপক ঋণাত্মক, তাই এই সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ নেই।

(viii) 25x²-30x+7=0
সমাধান:
a = 25, b = -30, c = 7
নিরূপক = (-30)² – 4(25)(7) = 900 – 700 = 200 > 0
x = -(-30) ± √200 2 × 25 = 30 ± 10√2 50 = 10(3 ± √2) 50 = 3 ± √2 5
নির্ণেয় বীজদ্বয়: (3 + √2)/5 এবং (3 – √2)/5

(ix) (4x-2)²+6x=25
সমাধান:
16x² – 16x + 4 + 6x – 25 = 0 ⇒ 16x² – 10x – 21 = 0
a = 16, b = -10, c = -21
নিরূপক = (-10)² – 4(16)(-21) = 100 + 1344 = 1444 = (38)² > 0
x = -(-10) ± √1444 2 × 16 = 10 ± 38 32
হয় x = 10 + 38 32 = 48 32 = 3 2
অথবা x = 10 – 38 32 = -28 32 = – 7 8
নির্ণেয় বীজদ্বয়: 3/2 এবং -7/8

3. নিম্নলিখিত গাণিতিক সমস্যাগুলি একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করি।
(i) সাথি একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সেমি. বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্যের থেকে 2 সেমি. কম হয়, তবে সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য = x সেমি.
তাহলে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য = (2x + 6) সেমি.
এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = (2x + 6) – 2 = (2x + 4) সেমি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (ক্ষুদ্রতম বাহু)² + (তৃতীয় বাহু)² = (অতিভুজ)²
x² + (2x + 4)² = (2x + 6)²
বা, x² + 4x² + 16x + 16 = 4x² + 24x + 36
বা, x² + 16x – 24x + 16 – 36 = 0
বা, x² – 8x – 20 = 0
বা, x² – 10x + 2x – 20 = 0 (উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে)
বা, x(x – 10) + 2(x – 10) = 0
বা, (x – 10)(x + 2) = 0
হয় x = 10 অথবা x = -2
যেহেতু বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 10।
ক্ষুদ্রতম বাহু = 10 সেমি.
অতিভুজ = 2(10) + 6 = 26 সেমি.
তৃতীয় বাহু = 2(10) + 4 = 24 সেমি.
উত্তর: ত্রিভুজের বাহু তিনটি হলো 10 সেমি., 24 সেমি. এবং 26 সেমি.।

(ii) যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, এককের ঘরের অঙ্কটি = x
তাহলে দশকের ঘরের অঙ্কটি হবে = 2x
সংখ্যাটি হলো = 10 × (দশকের অঙ্ক) + এককের অঙ্ক = 10(2x) + x = 21x
শর্তানুসারে, সংখ্যাটিকে এককের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে 189 হয়।
21x × x = 189
বা, 21x² = 189
বা, x² = 9 ⇒ x = ±3
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক, তাই অঙ্কটিও ধনাত্মক হবে, অর্থাৎ x = 3।
উত্তর: এককের ঘরের অঙ্কটি হলো 3।

(iii) সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে 1 মি./সেকেন্ড বেশি। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অনিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌঁছায়। অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, অনিকের গতিবেগ = x মিটার/সেকেন্ড।
তাহলে সালমার গতিবেগ = (x + 1) মিটার/সেকেন্ড।
180 মিটার দৌড়াতে অনিকের সময় লাগে = 180 x সেকেন্ড।
180 মিটার দৌড়াতে সালমার সময় লাগে = 180 x + 1 সেকেন্ড।
শর্তানুসারে, অনিকের সময় সালমার থেকে 2 সেকেন্ড বেশি।
180 x – 180 x + 1 = 2
বা, 180 ( x + 1 – x x(x + 1) ) = 2
বা, 180 x² + x = 2
বা, 2x² + 2x = 180
বা, x² + x – 90 = 0
বা, x² + 10x – 9x – 90 = 0
বা, x(x + 10) – 9(x + 10) = 0
বা, (x + 10)(x – 9) = 0
হয় x = -10 অথবা x = 9
গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 9।
উত্তর: অনিকের গতিবেগ 9 মিটার/সেকেন্ড।

(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মি. কম প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ওই বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গ মিটার কম হলে বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য = x মিটার।
তাহলে এর ক্ষেত্রফল = x² বর্গ মিটার।
আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের দৈর্ঘ্য = (x + 5) মিটার এবং প্রস্থ = (x – 3) মিটার।
আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = (x + 5)(x – 3) বর্গ মিটার।
শর্তানুসারে,
(x + 5)(x – 3) = 2x² – 78
বা, x² + 5x – 3x – 15 = 2x² – 78
বা, x² + 2x – 15 = 2x² – 78
বা, x² – 2x – 63 = 0
বা, x² – 9x + 7x – 63 = 0
বা, x(x – 9) + 7(x – 9) = 0
বা, (x – 9)(x + 7) = 0
হয় x = 9 অথবা x = -7
বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 9।
উত্তর: বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য 9 মিটার।

(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350টি লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারাগাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে, প্রতিটি সারিতে সারির সংখ্যা থেকে 24টি করে বেশী গাছ লাগালে আরও 10টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, সারির সংখ্যা = x
প্রতিটি সারিতে চারাগাছের সংখ্যা = x + 24
তাহলে মোট লাগানো চারাগাছের সংখ্যা = x(x + 24)
শর্তানুসারে, মোট চারাগাছ = লাগানো চারাগাছ + 10
350 = x(x + 24) + 10
বা, x² + 24x + 10 – 350 = 0
বা, x² + 24x – 340 = 0
বা, x² + 34x – 10x – 340 = 0
বা, x(x + 34) – 10(x + 34) = 0
বা, (x + 34)(x – 10) = 0
হয় x = -34 অথবা x = 10
সারির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 10।
উত্তর: সারির সংখ্যা 10।

(vi) জোসেফ এবং কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের চেয়ে 5 মিনিট কম সময় নেয়। 6 ঘণ্টা কাজ করে জোসেফ, কুন্তলের চেয়ে 6টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই সময়ে কয়টি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, কুন্তল একটি জিনিস তৈরি করতে সময় নেয় = x মিনিট।
তাহলে জোসেফের সময় লাগে = (x – 5) মিনিট।
6 ঘণ্টা = 6 × 60 = 360 মিনিট।
360 মিনিটে কুন্তল জিনিস তৈরি করে = 360 x টি।
360 মিনিটে জোসেফ জিনিস তৈরি করে = 360 x – 5 টি।
শর্তানুসারে,
360 x – 5 – 360 x = 6
বা, 360 ( x – (x – 5) x(x – 5) ) = 6
বা, 360 × 5 x² – 5x = 6
বা, 1800 = 6(x² – 5x)
বা, x² – 5x = 300
বা, x² – 5x – 300 = 0
বা, x² – 20x + 15x – 300 = 0
বা, x(x – 20) + 15(x – 20) = 0
বা, (x – 20)(x + 15) = 0
হয় x = 20 অথবা x = -15
সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 20।
কুন্তল একটি জিনিস তৈরি করতে 20 মিনিট সময় নেয়।
সুতরাং, ওই সময়ে (360 মিনিটে) কুন্তল তৈরি করবে = 360 20 = 18 টি জিনিস।
উত্তর: কুন্তল ওই সময়ে 18 টি জিনিস তৈরি করে।

(vii) স্থিরজলে একটি নৌকার গতিবেগ 8 কিমি/ঘণ্টা। নৌকাটি 5 ঘণ্টায় স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি. গেলে, স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, স্রোতের বেগ = x কিমি./ঘণ্টা।
নৌকার বেগ = 8 কিমি./ঘণ্টা।
স্রোতের অনুকূলে বেগ = (8 + x) কিমি./ঘণ্টা।
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = (8 – x) কিমি./ঘণ্টা।
শর্তানুসারে,
15 8 + x + 22 8 – x = 5
বা, 15(8 – x) + 22(8 + x) (8 + x)(8 – x) = 5
বা, 120 – 15x + 176 + 22x 64 – x² = 5
বা, 296 + 7x = 5(64 – x²)
বা, 296 + 7x = 320 – 5x²
বা, 5x² + 7x + 296 – 320 = 0
বা, 5x² + 7x – 24 = 0
বা, 5x² + 15x – 8x – 24 = 0
বা, 5x(x + 3) – 8(x + 3) = 0
বা, (x + 3)(5x – 8) = 0
হয় x = -3 অথবা 5x = 8 ⇒ x = 8 5 = 1.6
স্রোতের বেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 1.6।
উত্তর: স্রোতের বেগ ছিল 1.6 কিমি./ঘণ্টা।

(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘন্টায় 15 কিমি. বেশি বেগে যায়। একইসঙ্গে একটি স্টেশন থেকে ছেড়ে 180 কিমি. দূরে অন্য একটি স্টেশনে সুপারফাস্ট ট্রেনটি 1 ঘণ্টা আগে পৌঁছাল। সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় কত কিমি. ছিল নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ = x কিমি./ঘণ্টা।
তাহলে সুপারফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ = (x + 15) কিমি./ঘণ্টা।
180 কিমি যেতে এক্সপ্রেস ট্রেনের সময় লাগে = 180 x ঘণ্টা।
180 কিমি যেতে সুপারফাস্ট ট্রেনের সময় লাগে = 180 x + 15 ঘণ্টা।
শর্তানুসারে,
180 x – 180 x + 15 = 1
বা, 180 ( x + 15 – x x(x + 15) ) = 1
বা, 180 × 15 = x² + 15x
বা, x² + 15x – 2700 = 0
বা, x² + 60x – 45x – 2700 = 0
বা, x(x + 60) – 45(x + 60) = 0
বা, (x + 60)(x – 45) = 0
হয় x = -60 অথবা x = 45
গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 45।
সুপারফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ = 45 + 15 = 60 কিমি./ঘণ্টা।
উত্তর: সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ছিল 60 কিমি./ঘণ্টা।

(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল প্রতি কিগ্রা. মাছের যা দাম, ডালের দাম তা থেকে প্রতি কিগ্রা. 20 টাকা কম এবং চালের দাম প্রতি কিগ্রা. 40 টাকা কম। রেহানা 240 টাকার মাছ ও 240 টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমাণ মাছ ও ডাল পেল তা 280 টাকায় চাল কেনার পরিমাণের সমান। রেহানা প্রতি কিগ্রা. মাছ কী দামে কিনেছিল হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, প্রতি কিগ্রা মাছের দাম = x টাকা।
তাহলে ডালের দাম = (x – 20) টাকা/কিগ্রা.
এবং চালের দাম = (x – 40) টাকা/কিগ্রা.
240 টাকায় মাছ পাওয়া যায় = 240 x কিগ্রা.
240 টাকায় ডাল পাওয়া যায় = 240 x – 20 কিগ্রা.
280 টাকায় চাল পাওয়া যায় = 280 x – 40 কিগ্রা.
শর্তানুসারে,
240 x + 240 x – 20 = 280 x – 40
উভয়দিককে 40 দিয়ে ভাগ করে পাই:
6 x + 6 x – 20 = 7 x – 40
বা, 6(x – 20) + 6x x(x – 20) = 7 x – 40
বা, 12x – 120 x² – 20x = 7 x – 40
কোণাকুণি গুণ করে:
(12x – 120)(x – 40) = 7(x² – 20x)
বা, 12x² – 480x – 120x + 4800 = 7x² – 140x
বা, 12x² – 600x + 4800 = 7x² – 140x
বা, 5x² – 460x + 4800 = 0
বা, x² – 92x + 960 = 0 (5 দিয়ে ভাগ করে)
বা, x² – 80x – 12x + 960 = 0
বা, x(x – 80) – 12(x – 80) = 0
বা, (x – 80)(x – 12) = 0
হয় x = 80 অথবা x = 12
যদি x = 12 হয়, তবে চালের দাম (12 – 40) বা ঋণাত্মক হয়ে যাবে, যা সম্ভব নয়।
সুতরাং, x = 80।
উত্তর: রেহানা প্রতি কিগ্রা. মাছ 80 টাকায় কিনেছিল।

10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা
উত্তর: (b) দুটি
(ii) ax²+bx+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে
উত্তর: (c) a ≠ 0
(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত
উত্তর: (b) 2
(iv) 4(5x²-7x+2) = 5(4x²-6x+3) সমীকরণটি
সমাধান: 20x² – 28x + 8 = 20x² – 30x + 15 ⇒ 2x – 7 = 0। এটি একটি রৈখিক সমীকরণ।
উত্তর: (a) রৈখিক
(v) x² x = 6 সমীকরণটির বীজ/বীজদ্বয়
সমাধান: যেহেতু হরে x আছে, তাই x ≠ 0। কাটাকাটি করলে পাই x = 6।
উত্তর: (b) 6

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) (x-3)² = x²-6x+9 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
উত্তর: মিথ্যা (এটি একটি অভেদ, কারণ বামপক্ষকে ভাঙলে ডানপক্ষের সমান হয়, যা x-এর যেকোনো মানের জন্য সত্য)।
(ii) x²=25 সমীকরণটির একটি মাত্র বীজ 5
উত্তর: মিথ্যা (এর দুটি বীজ আছে: 5 এবং -5)।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) যদি ax²+bx+c=0 সমীকরণটির a=0 এবং b≠0 হয়, তবে সমীকরণটি একটি __________ সমীকরণ।
উত্তর: রৈখিক
(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো __________।
উত্তর: (x-1)(x-1) = 0 ⇒ x² – 2x + 1 = 0
(iii) x²=6x সমীকরণটির বীজদ্বয় __________ ও __________।
উত্তর: x² – 6x = 0 ⇒ x(x – 6) = 0। বীজদ্বয় হলো 0 ও 6।

11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) x²+ax+3=0 সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, a-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
সমীকরণে x = 1 বসিয়ে পাই:
1² + a(1) + 3 = 0
বা, 1 + a + 3 = 0
বা, a + 4 = 0 ⇒ a = -4
উত্তর: a-এর মান -4।

(ii) x²-(2+b)x+6=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণে বীজদ্বয়ের গুণফল = ধ্রুবক পদ x² এর সহগ = 6 1 = 6
একটি বীজ 2, ধরি অপর বীজটি = α
2 × α = 6 ⇒ α = 3
উত্তর: অপর বীজটির মান 3।

(iii) 2x²+kx+4=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
সমাধান:
বীজদ্বয়ের গুণফল = 4 2 = 2
একটি বীজ 2, ধরি অপর বীজটি = α
2 × α = 2 ⇒ α = 1
উত্তর: অপর বীজটির মান 1।

(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অনন্যকের অন্তর 9 20 ; সমীকরণটি লিখি।
সমাধান:
ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি = x (যেখানে x < 1)।
তাহলে এর অনন্যক হবে = 1 x (যেহেতু x প্রকৃত ভগ্নাংশ, 1 x এর মান x এর চেয়ে বড়ো হবে)।
শর্তানুসারে,
1 x – x = 9 20 (এটিই নির্ণেয় সমীকরণ)।

(v) ax²+bx+35=0 সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, a এবং b-এর মান লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, বীজদ্বয়ের গুণফল = c a
(-5) × (-7) = 35 a
বা, 35 = 35 a ⇒ a = 1

আবার, বীজদ্বয়ের যোগফল = – b a
(-5) + (-7) = – b 1 (যেহেতু a = 1)
বা, -12 = -b ⇒ b = 12
উত্তর: a = 1 এবং b = 12।