কষে দেখি — 1.5 (একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ)

কষে দেখি — 1.5 (একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ)

1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি—
(i) 2x²+7x+3=0
সমাধান:
a = 2, b = 7, c = 3
নিরূপক = b² – 4ac = (7)² – 4(2)(3) = 49 – 24 = 25 > 0
উত্তর: বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

(ii) 3x²-2√6x+2=0
সমাধান:
a = 3, b = -2√6, c = 2
নিরূপক = (-2√6)² – 4(3)(2) = 24 – 24 = 0
উত্তর: বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান।

(iii) 2x²-7x+9=0
সমাধান:
a = 2, b = -7, c = 9
নিরূপক = (-7)² – 4(2)(9) = 49 – 72 = -23 < 0
উত্তর: কোনো বাস্তব বীজ নেই।

(iv) 2 5 x² – 2 3 x + 1 = 0
সমাধান:
a = 2 5 , b = – 2 3 , c = 1
নিরূপক = (- 2 3 )² – 4( 2 5 )(1) = 4 9 – 8 5 = 20 – 72 45 = – 52 45 < 0
উত্তর: কোনো বাস্তব বীজ নেই।

2. k-এর কোন মান/মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি—
(বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হওয়ার শর্ত: নিরূপক = 0)

(i) 49x²+kx+1=0
সমাধান:
b² – 4ac = k² – 4(49)(1) = 0
বা, k² – 196 = 0
বা, k² = 196 ⇒ k = ±14
উত্তর: k-এর মান 14 অথবা -14

(ii) 3x²-5x+2k=0
সমাধান:
(-5)² – 4(3)(2k) = 0
বা, 25 – 24k = 0
বা, 24k = 25 ⇒ k = 25 24
উত্তর: k-এর মান 25 24

(iii) 9x²-24x+k=0
সমাধান:
(-24)² – 4(9)(k) = 0
বা, 576 – 36k = 0
বা, 36k = 576 ⇒ k = 576 36 = 16
উত্তর: k-এর মান 16

(iv) 2x²+3x+k=0
সমাধান:
(3)² – 4(2)(k) = 0
বা, 9 – 8k = 0
বা, 8k = 9 ⇒ k = 9 8
উত্তর: k-এর মান 9 8

(v) x²-2(5+2k)x+3(7+10k)=0
সমাধান:
{-2(5+2k)}² – 4(1){3(7+10k)} = 0
বা, 4(25 + 20k + 4k²) – 12(7 + 10k) = 0
বা, 100 + 80k + 16k² – 84 – 120k = 0
বা, 16k² – 40k + 16 = 0
বা, 2k² – 5k + 2 = 0 (8 দিয়ে ভাগ করে)
বা, 2k² – 4k – k + 2 = 0
বা, 2k(k – 2) – 1(k – 2) = 0
বা, (k – 2)(2k – 1) = 0
হয় k = 2 অথবা k = 1 2
উত্তর: k-এর মান 2 অথবা 1/2

(vi) (3k+1)x²+2(k+1)x+k=0
সমাধান:
{2(k+1)}² – 4(3k+1)(k) = 0
বা, 4(k² + 2k + 1) – 4k(3k + 1) = 0
বা, 4k² + 8k + 4 – 12k² – 4k = 0
বা, -8k² + 4k + 4 = 0
বা, 2k² – k – 1 = 0 (-4 দিয়ে ভাগ করে)
বা, 2k² – 2k + k – 1 = 0
বা, 2k(k – 1) + 1(k – 1) = 0
বা, (k – 1)(2k + 1) = 0
হয় k = 1 অথবা k = – 1 2
উত্তর: k-এর মান 1 অথবা -1/2

3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—
(সূত্র: x² – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি)x + (বীজদ্বয়ের গুণফল) = 0)

(i) 4, 2
সমাধান:
সমষ্টি = 4 + 2 = 6
গুণফল = 4 × 2 = 8
সমীকরণ: x² – 6x + 8 = 0

(ii) -4, -3
সমাধান:
সমষ্টি = -4 – 3 = -7
গুণফল = (-4) × (-3) = 12
সমীকরণ: x² – (-7)x + 12 = 0 ⇒ x² + 7x + 12 = 0

(iii) -4, 3
সমাধান:
সমষ্টি = -4 + 3 = -1
গুণফল = (-4) × 3 = -12
সমীকরণ: x² – (-1)x + (-12) = 0 ⇒ x² + x – 12 = 0

(iv) 5, -3
সমাধান:
সমষ্টি = 5 + (-3) = 2
গুণফল = 5 × (-3) = -15
সমীকরণ: x² – 2x – 15 = 0

4. m-এর মান কত হলে, 4x²+4(3m-1)x+(m+7)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অনন্যোক হবে।
সমাধান:
ধরি, একটি বীজ = α, তাহলে অপর বীজটি = 1 α
আমরা জানি, বীজদ্বয়ের গুণফল = c a
α × 1 α = m + 7 4
বা, 1 = m + 7 4
বা, m + 7 = 4
বা, m = 4 – 7 = -3
উত্তর: m-এর মান -3 হবে।

5. (b-c)x²+(c-a)x+(a-b)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, 2b=a+c
প্রমাণ:
বীজদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত, নিরূপক = 0
(c – a)² – 4(b – c)(a – b) = 0
বা, c² – 2ac + a² – 4(ab – b² – ac + bc) = 0
বা, c² – 2ac + a² – 4ab + 4b² + 4ac – 4bc = 0
বা, a² + 4b² + c² – 4ab – 4bc + 2ac = 0
বা, (a)² + (-2b)² + (c)² + 2(a)(-2b) + 2(-2b)(c) + 2(a)(c) = 0
বা, (a – 2b + c)² = 0
বা, a – 2b + c = 0
বা, a + c = 2b
(প্রমাণিত)

6. (a²+b²)x²-2(ac+bd)x+(c²+d²)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, a b = c d
প্রমাণ:
বীজদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত, নিরূপক = 0
{-2(ac + bd)}² – 4(a² + b²)(c² + d²) = 0
বা, 4(a²c² + 2abcd + b²d²) – 4(a²c² + a²d² + b²c² + b²d²) = 0
বা, 4a²c² + 8abcd + 4b²d² – 4a²c² – 4a²d² – 4b²c² – 4b²d² = 0
বা, -4a²d² + 8abcd – 4b²c² = 0
বা, a²d² – 2abcd + b²c² = 0 (-4 দিয়ে ভাগ করে)
বা, (ad – bc)² = 0
বা, ad – bc = 0
বা, ad = bc
বা, a b = c d
(প্রমাণিত)

7. প্রমাণ করি যে, 2(a²+b²)x²+2(a+b)x+1=0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি a≠b হয়।
প্রমাণ:
সমীকরণটির নিরূপক = {2(a+b)}² – 4 × 2(a²+b²) × 1
= 4(a² + 2ab + b²) – 8a² – 8b²
= 4a² + 8ab + 4b² – 8a² – 8b²
= -4a² + 8ab – 4b²
= -4(a² – 2ab + b²)
= -4(a – b)²
যেহেতু a ≠ b, তাই (a – b)² সর্বদা ধনাত্মক (> 0)।
সুতরাং, -4(a – b)² সর্বদা ঋণাত্মক (< 0) হবে।
যেহেতু নিরূপক ঋণাত্মক, তাই সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না।
(প্রমাণিত)

8. 5x²+2x-3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে, মান নির্ণয় করি:
সমাধান:
বীজদ্বয়ের সমষ্টি (α + β) = – b a = – 2 5
বীজদ্বয়ের গুণফল (αβ) = c a = – 3 5

(i) α² + β²
= (α + β)² – 2αβ
= (- 2 5 )² – 2(- 3 5 )
= 4 25 + 6 5
= 4 + 30 25 = 34 25

(ii) α³ + β³
= (α + β)³ – 3αβ(α + β)
= (- 2 5 )³ – 3(- 3 5 )(- 2 5 )
= – 8 125 – 18 25
= -8 – 90 125 = – 98 125

(iii) 1 α + 1 β
= α + β αβ
= -2/5 -3/5 = 2 3

(iv) α² β + β² α
= α³ + β³ αβ
= -98/125 -3/5
= 98 125 × 5 3 = 98 75

9. ax²+bx+c=0 সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, 2b²=9ac.
প্রমাণ:
ধরি, একটি বীজ = α
তাহলে অপর বীজটি = 2α
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + 2α = 3α
শর্তানুসারে, 3α = – b a ⇒ α = – b 3a ……(i)
বীজদ্বয়ের গুণফল = α × 2α = 2α²
শর্তানুসারে, 2α² = c a ……(ii)
(i) নং থেকে α এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই:
2(- b 3a )² = c a
বা, 2( b² 9a² ) = c a
বা, 2b² 9a² = c a
উভয়দিককে ‘a’ দিয়ে গুণ করে পাই (যেহেতু a ≠ 0),
2b² 9a = c
বা, 2b² = 9ac
(প্রমাণিত)

10. যে সমীকরণের বীজগুলি x²+px+1=0 সমীকরণের বীজগুলির অনন্যোক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।
সমাধান:
ধরি, x²+px+1=0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β।
তাহলে α + β = -p
এবং αβ = 1
নতুন সমীকরণের বীজদ্বয় হবে 1 α এবং 1 β ।
নতুন বীজদ্বয়ের সমষ্টি = 1 α + 1 β = α + β αβ = -p 1 = -p
নতুন বীজদ্বয়ের গুণফল = 1 α × 1 β = 1 αβ = 1 1 = 1
নতুন সমীকরণটি হবে: x² – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি)x + (বীজদ্বয়ের গুণফল) = 0
বা, x² – (-p)x + 1 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² + px + 1 = 0।

11. x²+x+1=0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, সমীকরণটির বীজদ্বয় α এবং β।
তাহলে α + β = -1
এবং αβ = 1
নতুন সমীকরণের বীজদ্বয় হবে α² এবং β²।
নতুন বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α² + β² = (α + β)² – 2αβ
= (-1)² – 2(1) = 1 – 2 = -1
নতুন বীজদ্বয়ের গুণফল = α² × β² = (αβ)² = (1)² = 1
নতুন সমীকরণটি হবে: x² – (α² + β²)x + α²β² = 0
বা, x² – (-1)x + 1 = 0
উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণটি হলো x² + x + 1 = 0।

12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) x²-6x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি
সমাধান: বীজদ্বয়ের সমষ্টি = – b a = – -6 1 = 6
উত্তর: (c) 6

(ii) x²-3x+k=10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল -2 হলে, k-এর মান
সমাধান: সমীকরণটি হলো x² – 3x + (k – 10) = 0
বীজদ্বয়ের গুণফল = c/a = k – 10 1 = k – 10
শর্তানুসারে, k – 10 = -2 ⇒ k = 8
উত্তর: (c) 8

(iii) ax²+bx+c=0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b²-4ac হবে
সমাধান: বাস্তব ও অসমান বীজের শর্ত হলো নিরূপক > 0
উত্তর: (a) >0

(iv) ax²+bx+c=0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে
সমাধান: বীজদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত, b² – 4ac = 0 ⇒ 4ac = b² ⇒ c = b² 4a
উত্তর: (d) c = b² 4a

(v) 3x²+8x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, ( 1 α + 1 β ) -এর মান
সমাধান: α + β = -8/3, αβ = 2/3
1 α + 1 β = α + β αβ = -8/3 2/3 = -4
উত্তর: (c) -4

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) x²+x+1=0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।
সমাধান: নিরূপক = 1² – 4(1)(1) = -3 < 0। তাই বাস্তব বীজ নেই।
উত্তর: মিথ্যা

(ii) x²-x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।
সমাধান: নিরূপক = (-1)² – 4(1)(2) = 1 – 8 = -7 < 0। তাই বাস্তব বীজ নেই।
উত্তর: সত্য

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) 7x²-12x+18=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত _________
সমাধান: সমষ্টি = 12/7, গুণফল = 18/7। অনুপাত = 12/7 : 18/7 = 12 : 18 = 2 : 3
উত্তর: 2 : 3

(ii) ax²+bx+c=0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অনন্যোক হলে, c= _________
সমাধান: বীজদ্বয় পরস্পর অনন্যোক হলে গুণফল 1 হবে। c/a = 1 ⇒ c = a
উত্তর: a

(iii) ax²+bx+c=0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অনন্যোক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে, a+c= _________
সমাধান: বীজদ্বয় α এবং -1/α হলে, গুণফল = α × (-1/α) = -1। c/a = -1 ⇒ c = -a ⇒ a + c = 0
উত্তর: 0

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।
সমাধান: সমীকরণটি হলো x² – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি)x + (বীজদ্বয়ের গুণফল) = 0
উত্তর: x² – 14x + 24 = 0

(ii) kx²+2x+3k=0 (k≠0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k-এর মান লিখি।
সমাধান:
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = – 2 k
বীজদ্বয়ের গুণফল = 3k k = 3
শর্তানুসারে, – 2 k = 3 ⇒ 3k = -2 ⇒ k = – 2 3
উত্তর: k = -2/3

(iii) x²-22x+105=0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, (α-β)-এর মান লিখি।
সমাধান:
α + β = 22
αβ = 105
আমরা জানি, (α – β)² = (α + β)² – 4αβ
= (22)² – 4(105) = 484 – 420 = 64
α – β = ±√64 = ±8
উত্তর: α – β এর মান ±8

(iv) x²-x=k(2x-1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k-এর মান লিখি।
সমাধান:
x² – x = 2kx – k
বা, x² – x – 2kx + k = 0
বা, x² – (1 + 2k)x + k = 0
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = – -(1 + 2k) 1 = 1 + 2k
শর্তানুসারে, 1 + 2k = 0 ⇒ 2k = -1 ⇒ k = – 1 2
উত্তর: k = -1/2

(v) x²+bx+12=0 এবং x²+bx+q=0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q-এর মান লিখি।
সমাধান:
যেহেতু 2 প্রথম সমীকরণের বীজ, তাই 2² + b(2) + 12 = 0
বা, 4 + 2b + 12 = 0
বা, 2b + 16 = 0 ⇒ 2b = -16 ⇒ b = -8
আবার 2 দ্বিতীয় সমীকরণেরও বীজ, তাই 2² + b(2) + q = 0
বা, 4 + (-8)(2) + q = 0
বা, 4 – 16 + q = 0
বা, -12 + q = 0 ⇒ q = 12
উত্তর: q = 12