কষে দেখি 5.3 | 5. অনুপাত ও সমানুপাত | WBBSE Class 10 Math Solution

কষে দেখি — 5.3 (অনুপাত ও সমানুপাত)

1. যদি a : b = c : d হয়, তবে দেখাই যে,
(i) a² + b² : a² – b² = ac + bd : ac – bd
(ii) (a² + ab + b²) : (a² – ab + b²) = (c² + cd + d²) : (c² – cd + d²)
(iii) √a² + c² : √b² + d² = (pa + qc) : (pb + qd)
সমাধান:
দেওয়া আছে, a : b = c : d
বা, a b = c d = k (ধরি, k ≠ 0 একটি ধ্রুবক)
∴ a = bk এবং c = dk

(i) বামপক্ষ = a² + b² : a² – b²
= a² + b² a² – b²
= (bk)² + b² (bk)² – b²
= b²k² + b² b²k² – b²
= b²(k² + 1) b²(k² – 1)
= k² + 1 k² – 1

ডানপক্ষ = ac + bd : ac – bd
= ac + bd ac – bd
= bk.dk + bd bk.dk – bd
= bdk² + bd bdk² – bd
= bd(k² + 1) bd(k² – 1)
= k² + 1 k² – 1
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(ii) বামপক্ষ = (a² + ab + b²) : (a² – ab + b²)
= a² + ab + b² a² – ab + b²
= (bk)² + (bk).b + b² (bk)² – (bk).b + b²
= b²k² + b²k + b² b²k² – b²k + b²
= b²(k² + k + 1) b²(k² – k + 1)
= k² + k + 1 k² – k + 1

ডানপক্ষ = (c² + cd + d²) : (c² – cd + d²)
= c² + cd + d² c² – cd + d²
= (dk)² + (dk).d + d² (dk)² – (dk).d + d²
= d²k² + d²k + d² d²k² – d²k + d²
= d²(k² + k + 1) d²(k² – k + 1)
= k² + k + 1 k² – k + 1
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(iii) বামপক্ষ = √a² + c² : √b² + d²
= √(a² + c²) √(b² + d²)
= √((bk)² + (dk)²) √(b² + d²)
= √(b²k² + d²k²) √(b² + d²)
= √(k²(b² + d²)) √(b² + d²)
= k√(b² + d²) √(b² + d²)
= k

ডানপক্ষ = (pa + qc) : (pb + qd)
= pa + qc pb + qd
= p(bk) + q(dk) pb + qd
= k(pb + qd) pb + qd
= k
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

2. যদি x : a = y : b = z : c হয়, তবে প্রমাণ করি যে,
(i) x³/a² + y³/b² + z³/c² = (x+y+z)³/(a+b+c)²
(ii) (x³+y³+z³)/(a³+b³+c³) = xyz/abc
(iii) (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)²
সমাধান:
দেওয়া আছে, x a = y b = z c = k (ধরি, k ≠ 0)
∴ x = ak, y = bk, z = ck

(i) বামপক্ষ = x³/a² + y³/b² + z³/c²
= (ak)³ a² + (bk)³ b² + (ck)³ c²
= a³k³ a² + b³k³ b² + c³k³ c²
= ak³ + bk³ + ck³
= k³(a + b + c)

ডানপক্ষ = (x+y+z)³/(a+b+c)²
= (ak + bk + ck)³ (a + b + c)²
= (k(a + b + c))³ (a + b + c)²
= k³(a + b + c)³ (a + b + c)²
= k³(a + b + c)
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(ii) বামপক্ষ = (x³+y³+z³)/(a³+b³+c³)
= (ak)³ + (bk)³ + (ck)³ a³ + b³ + c³
= a³k³ + b³k³ + c³k³ a³ + b³ + c³
= k³(a³ + b³ + c³) a³ + b³ + c³
= k³

ডানপক্ষ = xyz/abc
= ak.bk.ck abc
= k³abc abc
= k³
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(iii) বামপক্ষ = (a² + b² + c²)(x² + y² + z²)
= (a² + b² + c²)((ak)² + (bk)² + (ck)²)
= (a² + b² + c²)(a²k² + b²k² + c²k²)
= (a² + b² + c²).k²(a² + b² + c²)
= k²(a² + b² + c²)²

ডানপক্ষ = (ax + by + cz)²
= (a(ak) + b(bk) + c(ck))²
= (a²k + b²k + c²k)²
= (k(a² + b² + c²))²
= k²(a² + b² + c²)²
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

3. যদি a : b = c : d = e : f হয়, তবে প্রমাণ করি যে,
(i) প্রত্যেকটি অনুপাত = (5a – 7c – 13e)/(5b – 7d – 13f)
(ii) (a² + c² + e²)(b² + d² + f²) = (ab + cd + ef)²
সমাধান:
দেওয়া আছে, a b = c d = e f = k (ধরি, k ≠ 0)
∴ a = bk, c = dk, e = fk

(i) ডানপক্ষ = (5a – 7c – 13e)/(5b – 7d – 13f)
= 5(bk) – 7(dk) – 13(fk) 5b – 7d – 13f
= k(5b – 7d – 13f) 5b – 7d – 13f
= k = প্রত্যেকটি অনুপাত (প্রমাণিত)।

(ii) বামপক্ষ = (a² + c² + e²)(b² + d² + f²)
= ((bk)² + (dk)² + (fk)²)(b² + d² + f²)
= (b²k² + d²k² + f²k²)(b² + d² + f²)
= k²(b² + d² + f²)(b² + d² + f²)
= k²(b² + d² + f²)²

ডানপক্ষ = (ab + cd + ef)²
= ((bk)b + (dk)d + (fk)f)²
= (b²k + d²k + f²k)²
= (k(b² + d² + f²))²
= k²(b² + d² + f²)²
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ করি যে,
(i) (a + b)² (b + c)² = a² + b² b² + c²
(ii) a²b²c² ( 1 a³ + 1 b³ + 1 c³ ) = a³ + b³ + c³
(iii) abc(a + b + c)³ (ab + bc + ca)³ = 1
সমাধান:
ধরি, a b = b c = k (যেখানে k ≠ 0)
∴ b = ck এবং a = bk = c(k)k = ck²

(i) বামপক্ষ = (a + b)² (b + c)²

= (ck² + ck)² (ck + c)²

= {ck(k + 1)}² {c(k + 1)}²

= c²k²(k + 1)² c²(k + 1)² = k²

ডানপক্ষ = a² + b² b² + c²

= (ck²)² + (ck)² (ck)² + c²

= c²k⁴ + c²k² c²k² + c²

= c²k²(k² + 1) c²(k² + 1) = k²
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(ii) বামপক্ষ = a²b²c² ( 1 a³ + 1 b³ + 1 c³ )

= (ck²)²(ck)²c² ( 1 (ck²)³ + 1 (ck)³ + 1 c³ )

= c²k⁴ · c²k² · c² ( 1 c³k⁶ + 1 c³k³ + 1 c³ )

= c⁶k⁶ ( 1 c³k⁶ + 1 c³k³ + 1 c³ )

= c⁶k⁶ c³k⁶ + c⁶k⁶ c³k³ + c⁶k⁶ c³

= c³ + c³k³ + c³k⁶
= c³ + (ck)³ + (ck²)³
= c³ + b³ + a³
= a³ + b³ + c³ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(iii) বামপক্ষ = abc(a + b + c)³ (ab + bc + ca)³

= (ck² · ck · c)(ck² + ck + c)³ (ck² · ck + ck · c + c · ck²)³

= c³k³ {c(k² + k + 1)}³ (c²k³ + c²k + c²k²)³

= c³k³ · c³(k² + k + 1)³ {c²k(k² + 1 + k)}³

= c⁶k³(k² + k + 1)³ (c²)³ k³ (k² + k + 1)³

= c⁶k³(k² + k + 1)³ c⁶k³(k² + k + 1)³ = 1 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

5. যদি a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হয়, তবে প্রমাণ করি যে,
(i) (a² + b² + c²)(b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)²
(ii) (b – c)² + (c – a)² + (b – d)² = (a – d)²
সমাধান:
যেহেতু a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী,
∴ a b = b c = c d = k (ধরি)
∴ c = dk
b = ck = dk.k = dk²
a = bk = dk².k = dk³

(i) বামপক্ষ = (a² + b² + c²)(b² + c² + d²)
= ((dk³)² + (dk²)² + (dk)²)((dk²)² + (dk)² + d²)
= (d²k⁶ + d²k⁴ + d²k²)(d²k⁴ + d²k² + d²)
= d²k²(k⁴ + k² + 1).d²(k⁴ + k² + 1)
= d⁴k²(k⁴ + k² + 1)²

ডানপক্ষ = (ab + bc + cd)²
= (dk³.dk² + dk².dk + dk.d)²
= (d²k⁵ + d²k³ + d²k)²
= (d²k(k⁴ + k² + 1))²
= d⁴k²(k⁴ + k² + 1)²
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(ii) বামপক্ষ = (b – c)² + (c – a)² + (b – d)²
= (dk² – dk)² + (dk – dk³)² + (dk² – d)²
= d²k²(k – 1)² + d²k²(1 – k²)² + d²(k² – 1)²
= d²k²(k² – 2k + 1) + d²k²(1 – 2k² + k⁴) + d²(k⁴ – 2k² + 1)
= d²(k⁴ – 2k³ + k² + k² – 2k⁴ + k⁶ + k⁴ – 2k² + 1)
= d²(k⁶ – 2k³ + 1)
= d²((k³)² – 2k³.1 + 1²)
= (d(k³ – 1))²
= (dk³ – d)²
= (a – d)²
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

6. (i) যদি m a = n b হয়, তবে দেখাই যে, (m² + n²)(a² + b²) = (am + bn)²
(ii) যদি a b = x y হয়, তবে দেখাই যে, (a + b)(a² + b²)x³ = (x + y)(x² + y²)a³
(iii) যদি x lm – n² = y mn – l² = z nl – m² হয়, তবে দেখাই যে, lx + my + nz = 0
(iv) যদি x b + c – a = y c + a – b = z a + b – c হয়, তবে দেখাই যে, (b – c)x + (c – a)y + (a – b)z = 0
(v) যদি x y = a + 2 a – 2 হয়, তবে দেখাই যে, x² – y² x² + y² = 4a a² + 4
(vi) x = 8ab a + b হলে, x + 4a x – 4a + x + 4b x – 4b -এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
(i) m a = n b = k (ধরি, k ≠ 0)
∴ m = ak, n = bk

বামপক্ষ = (m² + n²)(a² + b²)
= ((ak)² + (bk)²)(a² + b²)
= (a²k² + b²k²)(a² + b²)
= k²(a² + b²)(a² + b²)
= k²(a² + b²)²

ডানপক্ষ = (am + bn)²
= (a.ak + b.bk)²
= (a²k + b²k)²
= (k(a² + b²))²
= k²(a² + b²)²
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(ii) a b = x y
বা, a x = b y = k (ধরি)
∴ a = xk, b = yk

বামপক্ষ = (a + b)(a² + b²)x³
= (xk + yk)((xk)² + (yk)²)x³
= k(x + y).k²(x² + y²)x³
= k³(x + y)(x² + y²)x³

ডানপক্ষ = (x + y)(x² + y²)a³
= (x + y)(x² + y²)(xk)³
= (x + y)(x² + y²).x³k³
= k³(x + y)(x² + y²)x³
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(iii) ধরি, x lm – n² = y mn – l² = z nl – m² = k (যেখানে k ≠ 0)
∴ x = k(lm – n²), y = k(mn – l²), z = k(nl – m²)

বামপক্ষ = lx + my + nz
= l{k(lm – n²)} + m{k(mn – l²)} + n{k(nl – m²)}
= k { l(lm – n²) + m(mn – l²) + n(nl – m²) }
= k ( l²m – ln² + m²n – ml² + n²l – nm² )
= k × 0
= 0
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(iv) ধরি, x b + c – a = y c + a – b = z a + b – c = k (যেখানে k ≠ 0)
∴ x = k(b + c – a), y = k(c + a – b), z = k(a + b – c)

বামপক্ষ = (b – c)x + (c – a)y + (a – b)z
= (b – c){k(b + c – a)} + (c – a){k(c + a – b)} + (a – b){k(a + b – c)}
= k { (b – c)(b + c – a) + (c – a)(c + a – b) + (a – b)(a + b – c) }
= k { b² + bc – ab – bc – c² + ac + c² + ac – bc – ac – a² + ab + a² + ab – ac – ab – b² + bc }
= k { b² – c² – ab + ac + c² – a² – bc + ab + a² – b² – ac + bc }
= k × 0
= 0
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(v) দেওয়া আছে, x y = a + 2 a – 2

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
x² y² = (a + 2)² (a – 2)²

যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া (Componendo and Dividendo) প্রয়োগ করে পাই,
x² + y² x² – y² = (a + 2)² + (a – 2)² (a + 2)² – (a – 2)²

আমরা জানি, (a+b)² + (a-b)² = 2(a² + b²) এবং (a+b)² – (a-b)² = 4ab
সুতরাং,
x² + y² x² – y² = 2(a² + 2²) 4 × a × 2

বা, x² + y² x² – y² = 2(a² + 4) 8a

বা, x² + y² x² – y² = a² + 4 4a

উভয়পক্ষকে উলটে দিয়ে পাই,
x² – y² x² + y² = 4a a² + 4
(প্রমাণিত)।

(vi) দেওয়া আছে, x = 8ab a + b

বা, x 4a = 2b a + b [উভয়পক্ষকে 4a দ্বারা ভাগ করে]

যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই,
x + 4a x – 4a = 2b + a + b 2b – (a + b)

বা, x + 4a x – 4a = a + 3b b – a ……… (i)

আবার, x = 8ab a + b

বা, x 4b = 2a a + b [উভয়পক্ষকে 4b দ্বারা ভাগ করে]

যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই,
x + 4b x – 4b = 2a + a + b 2a – (a + b)

বা, x + 4b x – 4b = 3a + b a – b ……… (ii)

এখন, (i) এবং (ii) যোগ করে পাই,
x + 4a x – 4a + x + 4b x – 4b
= a + 3b b – a + 3a + b a – b

= -(a + 3b) a – b + 3a + b a – b

= -a – 3b + 3a + b a – b

= 2a – 2b a – b

= 2(a – b) a – b

= 2

উত্তর: নির্ণেয় মান 2।

7. (i) যদি a 3 = b 4 = c 7 হয়, তবে দেখাই যে, a + b + c c = 2
(ii) যদি a q – r = b r – p = c p – q হয়, তবে দেখাই যে, a + b + c = 0 = pa + qb + rc
(iii) যদি ax + by a = bx – ay b হয়, তবে দেখাই যে প্রতিটি অনুপাত x-এর সমান।
সমাধান:
(i) ধরি, a 3 = b 4 = c 7 = k (যেখানে k ≠ 0)
∴ a = 3k, b = 4k, c = 7k

বামপক্ষ = a + b + c c

= 3k + 4k + 7k 7k

= 14k 7k = 2 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(ii) ধরি, a q – r = b r – p = c p – q = k (যেখানে k ≠ 0)
∴ a = k(q – r), b = k(r – p), c = k(p – q)

প্রথম অংশ = a + b + c
= k(q – r) + k(r – p) + k(p – q)
= k(q – r + r – p + p – q)
= k × 0 = 0

দ্বিতীয় অংশ = pa + qb + rc
= p{k(q – r)} + q{k(r – p)} + r{k(p – q)}
= k(pq – pr) + k(qr – pq) + k(pr – qr)
= k(pq – pr + qr – pq + pr – qr)
= k × 0 = 0
অতএব, a + b + c = 0 = pa + qb + rc (প্রমাণিত)।

(iii) প্রদত্ত,
ax + by a = bx – ay b

বা, a(ax + by) a · a = b(bx – ay) b · b [লব ও হরকে যথাক্রমে a ও b দ্বারা গুণ করে]

বা, a²x + aby a² = b²x – aby b²

সংযোজন প্রক্রিয়া (Addendo) প্রয়োগ করে পাই,
প্রতিটি অনুপাত = a²x + aby + b²x – aby a² + b²

= a²x + b²x a² + b²

= x(a² + b²) a² + b² = x
অতএব, প্রতিটি অনুপাত x-এর সমান (প্রমাণিত)।

8. (i) যদি a + b b + c = c + d d + a হয়, তবে প্রমাণ করি যে, c = a অথবা a + b + c + d = 0
(ii) যদি x b + c = y c + a = z a + b হয়, দেখাই যে a y + z – x = b z + x – y = c x + y – z
(iii) যদি x + y 3a – b = y + z 3b – c = z + x 3c – a হয়, তবে দেখাই যে x + y + z a + b + c = ax + by + cz a² + b² + c²
সমাধান:
(i) প্রদত্ত,
a + b b + c = c + d d + a

বা, a + b c + d = b + c d + a [একান্তর প্রক্রিয়ায়]

উভয়পক্ষে 1 যোগ করে পাই,
a + b c + d + 1 = b + c d + a + 1

বা, a + b + c + d c + d = a + b + c + d d + a

বা, a + b + c + d c + d – a + b + c + d d + a = 0

বা, (a + b + c + d) ( 1 c + d – 1 d + a ) = 0

হয়, a + b + c + d = 0
অথবা,
1 c + d – 1 d + a = 0

বা, 1 c + d = 1 d + a

বা, c + d = d + a
বা, c = a
অতএব, c = a অথবা a + b + c + d = 0 (প্রমাণিত)।

(ii) ধরি, x b + c = y c + a = z a + b = k (যেখানে k ≠ 0)
∴ x = k(b + c), y = k(c + a), z = k(a + b)

প্রথম অনুপাত = a y + z – x

= a k(c + a) + k(a + b) – k(b + c)

= a k(c + a + a + b – b – c)

= a k(2a) = 1 2k

দ্বিতীয় অনুপাত = b z + x – y

= b k(a + b) + k(b + c) – k(c + a)

= b k(a + b + b + c – c – a)

= b k(2b) = 1 2k

তৃতীয় অনুপাত = c x + y – z

= c k(b + c) + k(c + a) – k(a + b)

= c k(b + c + c + a – a – b)

= c k(2c) = 1 2k
যেহেতু প্রতিটি অনুপাতের মান 1 2k , তাই a y + z – x = b z + x – y = c x + y – z (প্রমাণিত)।

(iii) ধরি, x + y 3a – b = y + z 3b – c = z + x 3c – a = k (যেখানে k ≠ 0)
∴ x + y = k(3a – b) ………(1)
y + z = k(3b – c) ………(2)
z + x = k(3c – a) ………(3)

সমীকরণ (1), (2) ও (3) যোগ করে পাই,
2(x + y + z) = k(3a – b + 3b – c + 3c – a)
বা, 2(x + y + z) = k(2a + 2b + 2c)
বা, 2(x + y + z) = 2k(a + b + c)
বা, x + y + z = k(a + b + c) ………(4)

এখন, সমীকরণ (4) থেকে (2) বিয়োগ করে পাই:
x = k(a + b + c) – k(3b – c) = k(a + b + c – 3b + c) = k(a – 2b + 2c)
সমীকরণ (4) থেকে (3) বিয়োগ করে পাই:
y = k(a + b + c) – k(3c – a) = k(a + b + c – 3c + a) = k(2a + b – 2c)
সমীকরণ (4) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই:
z = k(a + b + c) – k(3a – b) = k(a + b + c – 3a + b) = k(-2a + 2b + c)

ডানপক্ষ = ax + by + cz a² + b² + c²

= a{k(a – 2b + 2c)} + b{k(2a + b – 2c)} + c{k(-2a + 2b + c)} a² + b² + c²

= k(a² – 2ab + 2ac + 2ab + b² – 2bc – 2ac + 2bc + c²) a² + b² + c²

= k(a² + b² + c²) a² + b² + c² = k

বামপক্ষ = x + y + z a + b + c

= k(a + b + c) a + b + c = k
অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

9. (i) যদি 3x + 4y 3u + 4v = 3x – 4y 3u – 4v হয়, তবে দেখাই যে, x y = u v
(ii) (a + b + c + d) : (a + b – c – d) = (a – b + c – d) : (a – b – c + d) হলে প্রমাণ করি যে, a : b = c : d
সমাধান:
(i) দেওয়া আছে, 3x + 4y 3u + 4v = 3x – 4y 3u – 4v

বা, 3x + 4y 3x – 4y = 3u + 4v 3u – 4v [একান্তর প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে]

যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই,
(3x + 4y) + (3x – 4y) (3x + 4y) – (3x – 4y) = (3u + 4v) + (3u – 4v) (3u + 4v) – (3u – 4v)

বা, 3x + 4y + 3x – 4y 3x + 4y – 3x + 4y = 3u + 4v + 3u – 4v 3u + 4v – 3u + 4v

বা, 6x 8y = 6u 8v

উভয়পক্ষকে 8 6 দ্বারা গুণ করে পাই,
x y = u v (প্রমাণিত)।

(ii) দেওয়া আছে, a + b + c + d a + b – c – d = a – b + c – d a – b – c + d

যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই,
(a + b + c + d) + (a + b – c – d) (a + b + c + d) – (a + b – c – d) = (a – b + c – d) + (a – b – c + d) (a – b + c – d) – (a – b – c + d)

বা, a + b + c + d + a + b – c – d a + b + c + d – a – b + c + d = a – b + c – d + a – b – c + d a – b + c – d – a + b + c – d

বা, 2(a + b) 2(c + d) = 2(a – b) 2(c – d)

বা, a + b c + d = a – b c – d

একান্তর প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই,
a + b a – b = c + d c – d

আবার, যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই,
a + b + a – b a + b – a + b = c + d + c – d c + d – c + d

বা, 2a 2b = 2c 2d

বা, a b = c d
অর্থাৎ, a : b = c : d (প্রমাণিত)।

10. (i) a² b + c = b² c + a = c² a + b = 1 হলে, দেখাই যে 1 1 + a + 1 1 + b + 1 1 + c = 1
(ii) x² by + cz = y² cz + ax = z² ax + by = 1 হলে, দেখাই যে a a + x + b b + y + c c + z = 1
সমাধান:
(i) দেওয়া আছে, a² = b + c, b² = c + a, c² = a + b

প্রথম অংশে, 1 1 + a = 1 × a (1 + a) × a = a a + a²
a² এর মান বসিয়ে পাই, a a + b + c

দ্বিতীয় অংশে, 1 1 + b = b b + b² = b b + c + a = b a + b + c

তৃতীয় অংশে, 1 1 + c = c c + c² = c c + a + b = c a + b + c

বামপক্ষ = a a + b + c + b a + b + c + c a + b + c

= a + b + c a + b + c = 1 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

(ii) দেওয়া আছে, x² = by + cz, y² = cz + ax, z² = ax + by

প্রথম অংশে, a a + x = a × x (a + x) × x = ax ax + x²
x² এর মান বসিয়ে পাই, ax ax + by + cz

দ্বিতীয় অংশে, b b + y = b × y (b + y) × y = by by + y² = by ax + by + cz

তৃতীয় অংশে, c c + z = c × z (c + z) × z = cz cz + z² = cz ax + by + cz

বামপক্ষ = ax ax + by + cz + by ax + by + cz + cz ax + by + cz

= ax + by + cz ax + by + cz = 1 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

11. (i) x xa + yb + zc = y ya + zb + xc = z za + xb + yc এবং x + y + z ≠ 0 হলে, দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত 1 a + b + c -এর সমান।
(ii) x² – yz a = y² – zx b = z² – xy c হলে, প্রমাণ করি যে, (a + b + c)(x + y + z) = ax + by + cz
সমাধান:
(i) সংযোজন প্রক্রিয়া (Addendo) প্রয়োগ করে পাই,
প্রতিটি অনুপাত = x + y + z (xa + yb + zc) + (ya + zb + xc) + (za + xb + yc)

= x + y + z a(x + y + z) + b(x + y + z) + c(x + y + z)

= x + y + z (a + b + c)(x + y + z)

যেহেতু x + y + z ≠ 0, তাই লব ও হর থেকে (x + y + z) ভাগ করে পাই,
প্রতিটি অনুপাত = 1 a + b + c (প্রমাণিত)।

(ii) ধরি, x² – yz a = y² – zx b = z² – xy c = 1 k (যেখানে k ≠ 0)

∴ a = k(x² – yz), b = k(y² – zx), c = k(z² – xy)

বামপক্ষ = (a + b + c)(x + y + z)
= {k(x² – yz) + k(y² – zx) + k(z² – xy)}(x + y + z)
= k(x² + y² + z² – xy – yz – zx)(x + y + z)
= k(x³ + y³ + z³ – 3xyz)

ডানপক্ষ = ax + by + cz
= k(x² – yz)x + k(y² – zx)y + k(z² – xy)z
= k(x³ – xyz + y³ – xyz + z³ – xyz)
= k(x³ + y³ + z³ – 3xyz)

অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।