কষে দেখি — 9.1 (দ্বিঘাত করণী)
1. মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার গুণফল আকারে লিখি—
সমাধান:
(i) √175
= √(5 × 5 × 7)
= 5√7
(ii) 2√112
= 2 × √(4 × 4 × 7)
= 2 × 4√7
= 8√7
(iii) √108
= √(6 × 6 × 3)
= 6√3
(iv) √125
= √(5 × 5 × 5)
= 5√5
(v) 5√119
= 5 × √(7 × 17)
যেহেতু 119 এর কোনো পূর্ণবর্গ উৎপাদক নেই, তাই এটি আর সরল করা যাবে না।
= 5√119
2. প্রমাণ করি যে, √108 – √75 = √3
প্রমাণ:
বামপক্ষ (L.H.S) = √108 – √75
= √(36 × 3) – √(25 × 3)
= 6√3 – 5√3
= √3 = ডানপক্ষ (R.H.S)
(প্রমাণিত)
3. দেখাই যে, √98 + √8 – 2√32 = √2
প্রমাণ:
বামপক্ষ (L.H.S) = √98 + √8 – 2√32
= √(49 × 2) + √(4 × 2) – 2√(16 × 2)
= 7√2 + 2√2 – 2(4√2)
= 7√2 + 2√2 – 8√2
= 9√2 – 8√2
= √2 = ডানপক্ষ (R.H.S)
(প্রমাণিত)
4. দেখাই যে, 3√48 – 4√75 + √192 = 0
প্রমাণ:
বামপক্ষ (L.H.S) = 3√48 – 4√75 + √192
= 3√(16 × 3) – 4√(25 × 3) + √(64 × 3)
= 3(4√3) – 4(5√3) + 8√3
= 12√3 – 20√3 + 8√3
= (12√3 + 8√3) – 20√3
= 20√3 – 20√3
= 0 = ডানপক্ষ (R.H.S)
(প্রমাণিত)
5. সরলতম মান নির্ণয় করি :
√12 + √18 + √27 – √32
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = √12 + √18 + √27 – √32
= √(4 × 3) + √(9 × 2) + √(9 × 3) – √(16 × 2)
= 2√3 + 3√2 + 3√3 – 4√2
সদৃশ করণীগুলো একসাথে করে পাই:
= (2√3 + 3√3) + (3√2 – 4√2)
= 5√3 – √2
উত্তর: সরলতম মান 5√3 – √2।
6. (a) √5 + √3 -এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল 2√5 হবে, হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যা = 2√5 – (√5 + √3)
= 2√5 – √5 – √3
= √5 – √3
উত্তর: √5 – √3 যোগ করতে হবে।
(b) 7 – √3 -এর থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল 3 + √3 হবে, নির্ণয় করি।
সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যা = (7 – √3) – (3 + √3)
= 7 – √3 – 3 – √3
= (7 – 3) – √3 – √3
= 4 – 2√3
উত্তর: 4 – 2√3 বিয়োগ করতে হবে।
(c) 2 + √3, √3 + √5 এবং 2 + √7 -এর যোগফল লিখি।
সমাধান:
যোগফল = (2 + √3) + (√3 + √5) + (2 + √7)
= 2 + 2 + √3 + √3 + √5 + √7
= 4 + 2√3 + √5 + √7
উত্তর: যোগফল 4 + 2√3 + √5 + √7।
(d) (10 – √11) থেকে (-5 + 3√11) বিয়োগ করি ও বিয়োগফল লিখি।
সমাধান:
বিয়োগফল = (10 – √11) – (-5 + 3√11)
= 10 – √11 + 5 – 3√11
= (10 + 5) – √11 – 3√11
= 15 – 4√11
উত্তর: বিয়োগফল 15 – 4√11।
(e) (-5 + √7) এবং (√7 + √2) -এর যোগফল থেকে (5 + √2 + √7) বিয়োগ করে বিয়োগফল নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রথম দুটির যোগফল = (-5 + √7) + (√7 + √2)
= -5 + 2√7 + √2
এবার এই যোগফল থেকে (5 + √2 + √7) বিয়োগ করে পাই:
= (-5 + 2√7 + √2) – (5 + √2 + √7)
= -5 + 2√7 + √2 – 5 – √2 – √7
= (-5 – 5) + (√2 – √2) + (2√7 – √7)
= -10 + 0 + √7
= -10 + √7 (বা √7 – 10)
উত্তর: নির্ণেয় বিয়োগফল -10 + √7।
(f) দুটি দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের সমষ্টি মূলদ সংখ্যা।
সমাধান:
যেকোনো দুটি অনুবন্ধী করণী (Conjugate surds) যোগ করলে সমষ্টি একটি মূলদ সংখ্যা হয়।
যেমন, দুটি দ্বিঘাত করণী হলো: (2 + √3) এবং (2 – √3)।
যাচাই: এদের সমষ্টি = (2 + √3) + (2 – √3) = 2 + 2 = 4 (যা একটি মূলদ সংখ্যা)।
উত্তর: দুটি দ্বিঘাত করণী হলো (2 + √3) এবং (2 – √3)।