গণিতপ্রকাশ - দশম শ্রেণি, অধ্যায়: ৮, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ

কষে দেখি — 8 (লম্ব বৃত্তাকার চোঙ)

1. পাশের চিত্রের ঘনবস্তুটি দেখি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর লিখি।
(i) ছবির ঘনবস্তুটির ______ টি তল।
উত্তর: ছবির ঘনবস্তুটির 3 টি তল (দুটি সমতল ও একটি বক্রতল)।

(ii) ছবির ঘনবস্তুটির ______ টি বক্রতল ও ______ টি সমতল।
উত্তর: ছবির ঘনবস্তুটির 1 টি বক্রতল ও 2 টি সমতল।

2. আমার বাড়ির 5টি ঘনবস্তুর নাম লিখি যাদের আকার লম্ব বৃত্তাকার চোঙ।
উত্তর: জলের পাইপ, টিউব লাইট, পেন্সিল (মুখ না ছাঁটা অবস্থায়), গোল থাম বা পিলার, গ্যাসের সিলিন্ডার।

3. স্টিলের পাতলা চাদর দিয়ে তৈরি ঢাকনাসমেত একটি ড্রামের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 28 সেমি.। ড্রামটি তৈরি করতে যদি 2816 বর্গ সেমি. চাদর লাগে, তবে ড্রামটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ড্রামের ব্যাস = 28 সেমি.
∴ ব্যাসার্ধ (r) = 28 / 2 = 14 সেমি.
ধরি, ড্রামের উচ্চতা = h সেমি.
ঢাকনাসমেত ড্রাম তৈরি করতে চাদর লাগে অর্থাৎ ড্রামের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2816 বর্গ সেমি.
আমরা জানি, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
শর্তানুসারে,
2 × 22 7 × 14 × (14 + h) = 2816
বা, 2 × 22 × 2 × (14 + h) = 2816
বা, 88(14 + h) = 2816
বা, 14 + h = 2816 / 88 = 32
বা, h = 32 – 14 = 18
উত্তর: ড্রামটির উচ্চতা 18 সেমি.।

4. একটি ঘরের বারান্দায় 5.6 ডেসিমি. ব্যাসের এবং 2.5 মিটার লম্বা দুটি লম্ব বৃত্তাকার পিলার ঢালাই করতে কত ঘন ডেসিমি. মশলা লাগবে হিসাব করে লিখি।
প্রতি বর্গ মিটার 125 টাকা হিসাবে পিলার দুটি প্লাস্টার করতে কত খরচ হবে হিসাব করি।
সমাধান:
পিলারের ব্যাস = 5.6 ডেসিমি.
∴ ব্যাসার্ধ (r) = 5.6 / 2 = 2.8 ডেসিমি.
পিলারের উচ্চতা বা দৈর্ঘ্য (h) = 2.5 মিটার = 25 ডেসিমি.
প্রথম অংশ (মশলার পরিমাণ):
দুটি পিলারের আয়তন = 2 × πr²h
= 2 × 22 7 × (2.8)² × 25
= 2 × 22 7 × 2.8 × 2.8 × 25
= 2 × 22 × 0.4 × 2.8 × 25
= 1232 ঘন ডেসিমি.
দ্বিতীয় অংশ (প্লাস্টার করার খরচ):
প্লাস্টার করতে হবে পিলারের বক্রতলে।
r = 2.8 ডেসিমি. = 0.28 মিটার
h = 2.5 মিটার
দুটি পিলারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2 × 2πrh
= 4 × 22 7 × 0.28 × 2.5
= 4 × 22 × 0.04 × 2.5
= 8.8 বর্গ মিটার
প্রতি বর্গ মিটার 125 টাকা হিসাবে খরচ হবে = 8.8 × 125 = 1100 টাকা।
উত্তর: 1232 ঘন ডেসিমি. মশলা লাগবে এবং প্লাস্টার করতে 1100 টাকা খরচ হবে।

5. 2.8 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের অন্তর্ব্যাসবিশিষ্ট এবং 7.5 ডেসিমি. লম্বা একটি জ্বালানি গ্যাস সিলিন্ডারে 15.015 কিগ্রা. গ্যাস থাকলে, প্রতি ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
সিলিন্ডারের অন্তর্ব্যাস = 2.8 ডেসিমি.
∴ অন্তর্ব্যাসার্ধ (r) = 2.8 / 2 = 1.4 ডেসিমি.
লম্বা বা উচ্চতা (h) = 7.5 ডেসিমি.
সিলিন্ডারের ভেতরের আয়তন = πr²h
= 22 7 × (1.4)² × 7.5
= 22 7 × 1.4 × 1.4 × 7.5
= 22 × 0.2 × 1.4 × 7.5 = 46.2 ঘন ডেসিমি.
46.2 ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন = 15.015 কিগ্রা.
∴ 1 ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন = 15.015 / 46.2 কিগ্রা.
= 0.325 কিগ্রা. = 325 গ্রাম।
উত্তর: প্রতি ঘন ডেসিমি. গ্যাসের ওজন 325 গ্রাম (বা 0.325 কিগ্রা.)।

6. সমান ব্যাস ও সমান উচ্চতাবিশিষ্ট তিনটি জারের প্রথমটির 2 3 অংশ, দ্বিতীয়টির 5 6 অংশ এবং তৃতীয়টির 7 9 অংশ লঘু সালফিউরিক অ্যাসিডে পূর্ণ ছিল। ওই তিনটি জারের অ্যাসিড যদি 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি জারে রাখা হয়, তবে জারে অ্যাসিডের উচ্চতা 4.1 ডেসিমি. হয়। প্রথম তিনটি জারের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 1.4 ডেসিমি. হলে, তাদের উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রথম তিনটি জারের ব্যাস = 1.4 ডেসিমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 1.4 / 2 = 0.7 ডেসিমি.
ধরি, প্রতিটি জারের উচ্চতা = h ডেসিমি.
প্রতিটি জারের মোট আয়তন = πr²h = π × (0.7)² × h = 0.49πh ঘন ডেসিমি.
তিনটি জারে মোট অ্যাসিডের পরিমাণ = ( 2 3 + 5 6 + 7 9 ) × 0.49πh
ভগ্নাংশগুলির ল.সা.গু = 18
= ( 12 + 15 + 14 18 ) × 0.49πh = 41 18 × 0.49πh ঘন ডেসিমি.

নতুন জারের ব্যাস = 2.1 ডেসিমি. ∴ ব্যাসার্ধ (R) = 2.1 / 2 = 1.05 ডেসিমি.
নতুন জারে অ্যাসিডের উচ্চতা (H) = 4.1 ডেসিমি.
নতুন জারে অ্যাসিডের আয়তন = πR²H = π × (1.05)² × 4.1

শর্তানুসারে,
41 18 × 0.49πh = π × (1.05)² × 4.1
বা, 41 18 × 0.49 × h = 1.05 × 1.05 × 4.1
বা, h = (1.05 × 1.05 × 4.1 × 18) / (41 × 0.49)
দশমিক তুলে দিয়ে পাই,
h = (105 × 105 × 41 × 18 × 100) / (41 × 49 × 10000)
= (105 × 105 × 18) / (49 × 100)
= (15 × 15 × 18) / 100 (কারণ 105/7 = 15, 49/7 = 7 এবং আবার 105/7 = 15)
= (225 × 18) / 100 = 4050 / 100 = 40.5 ডেসিমি.
উত্তর: প্রথম তিনটি জারের প্রতিটির উচ্চতা 40.5 ডেসিমি.।

7. একমুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গ সেমি.। পাত্রটির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি. হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ভূমির ব্যাস = 14 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 7 সেমি.
ধরি, পাত্রটির উচ্চতা = h সেমি.
যেহেতু পাত্রটির একমুখ খোলা, তাই তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = বক্রতলের ক্ষেত্রফল + ভূমির ক্ষেত্রফল = 2πrh + πr²
শর্তানুসারে,
2πrh + πr² = 2002
বা, πr(2h + r) = 2002
বা, 22 7 × 7 × (2h + 7) = 2002
বা, 22(2h + 7) = 2002
বা, 2h + 7 = 2002 / 22 = 91
বা, 2h = 91 – 7 = 84
বা, h = 42 সেমি.
পাত্রের আয়তন = πr²h = 22 7 × (7)² × 42 = 22 × 7 × 42 = 6468 ঘন সেমি.
আমরা জানি, 1000 ঘন সেমি = 1 লিটার।
∴ 6468 ঘন সেমি = 6468 / 1000 = 6.468 লিটার।
উত্তর: পাত্রটিতে 6.468 লিটার জল ধরবে।

8. যদি 14 সেমি. ব্যাসের পাইপযুক্ত একটি পাম্পসেট মিনিটে 2500 মিটার জল সেচ করতে পারে, তাহলে ওই পাম্পটি 1 ঘণ্টায় কত কিলো লিটার জলসেচ করবে, হিসাব করে লিখি। [1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমি.]
সমাধান:
পাইপের ব্যাস = 14 সেমি. = 1.4 ডেসিমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 0.7 ডেসিমি.
পাম্পটি মিনিটে 2500 মিটার জল সেচ করে, অর্থাৎ 1 মিনিটে পাইপ দিয়ে নির্গত জলের দৈর্ঘ্য (h) = 2500 মিটার = 25000 ডেসিমি.
1 মিনিটে নির্গত জলের আয়তন = πr²h
= 22 7 × (0.7)² × 25000
= 22 7 × 0.49 × 25000 = 22 × 0.07 × 25000 = 38500 ঘন ডেসিমি. = 38500 লিটার।
1 ঘণ্টায় (60 মিনিটে) নির্গত জলের পরিমাণ = 38500 × 60 = 2310000 লিটার。
আমরা জানি, 1000 লিটার = 1 কিলো লিটার।
∴ 2310000 লিটার = 2310000 / 1000 = 2310 কিলো লিটার।
উত্তর: পাম্পটি 1 ঘণ্টায় 2310 কিলো লিটার জলসেচ করবে।

9. 7 সেমি. ব্যাসের একটি লম্বা গ্যাসজারে কিছু জল আছে। ওই জলে যদি 5.6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 5 সেমি. লম্বা একটি নিরেট লোহার লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি টুকরো সম্পূর্ণ ডোবানো হয়, তবে জলতল কতটুকু উপরে উঠবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
লোহার টুকরোর (নিরেট চোঙের) ব্যাস = 5.6 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r₁) = 2.8 সেমি.
টুকরোটির উচ্চতা (h₁) = 5 সেমি.
টুকরোটির আয়তন = πr₁²h₁ = π × (2.8)² × 5 ঘন সেমি.
গ্যাসজারের ব্যাস = 7 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r₂) = 3.5 সেমি.
ধরি, টুকরোটি ডোবানোর ফলে জলতল h সেমি. উপরে উঠবে।
অপসারিত জলের আয়তন (যেই অংশটুকু উপরে উঠল) = লোহার টুকরোর আয়তন
πr₂²h = πr₁²h₁
বা, π × (3.5)² × h = π × (2.8)² × 5
উভয়দিক থেকে π বাদ দিয়ে পাই:
3.5 × 3.5 × h = 2.8 × 2.8 × 5
বা, h = (2.8 × 2.8 × 5) / (3.5 × 3.5)
দশমিক তুলে দিয়ে পাই,
h = (28 × 28 × 5) / (35 × 35) = (4 × 4 × 5) / (5 × 5) = 16 / 5 = 3.2 সেমি.
উত্তর: জলতল 3.2 সেমি. উপরে উঠবে।

10. একটি লম্ব চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ মিটার এবং আয়তন 924 ঘন মিটার হলে, এই স্তম্ভের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধ = r মিটার এবং উচ্চতা = h মিটার।
শর্তানুসারে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল, 2πrh = 264 ……. (i)
আয়তন, πr²h = 924 ……. (ii)
(ii) নং সমীকরণকে (i) নং সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই:
^πr²h / _2πrh = ⁹²⁴ / ₂₆₄
বা, r / 2 = 3.5
বা, r = 2 × 3.5 = 7 মিটার。
∴ স্তম্ভের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2r = 2 × 7 = 14 মিটার।
এখন r = 7 মানটি (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
2 × 22 7 × 7 × h = 264
বা, 44h = 264
বা, h = 264 / 44 = 6 মিটার。
উত্তর: স্তম্ভের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 মিটার এবং উচ্চতা 6 মিটার।

11. 9 মিটার উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি ট্যাঙ্ক জলপূর্ণ আছে। 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি পাইপ দিয়ে মিনিটে 225 মিটার বেগে জল বের হয়, তাহলে 36 মিনিটে ট্যাঙ্কটির সমস্ত জল বেরিয়ে যায়। ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
পাইপের ব্যাস = 6 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 3 সেমি. = 0.03 মিটার.
জলের বেগ = 225 মিটার/মিনিট। অর্থাৎ 1 মিনিটে নির্গত জলের দৈর্ঘ্য (h) = 225 মিটার।
1 মিনিটে নির্গত জলের আয়তন = πr²h = π × (0.03)² × 225 ঘন মিটার।
36 মিনিটে নির্গত মোট জলের আয়তন = π × 0.0009 × 225 × 36 ঘন মিটার।
এই আয়তনটি হলো জলপূর্ণ ট্যাঙ্কের আয়তনের সমান।
ট্যাঙ্কের উচ্চতা (H) = 9 মিটার। ধরি, ট্যাঙ্কের ব্যাসার্ধ = R মিটার।
ট্যাঙ্কের আয়তন = πR²H = π × R² × 9
শর্তানুসারে,
π × R² × 9 = π × 0.0009 × 225 × 36
বা, 9R² = 0.0009 × 225 × 36
বা, R² = (0.0009 × 225 × 36) / 9
বা, R² = 0.0009 × 225 × 4 = 0.0009 × 900 = 0.81
বা, R = √0.81 = 0.9 মিটার = 9 ডেসিমি. বা 90 সেমি.
ট্যাঙ্কের ব্যাস = 2R = 2 × 0.9 = 1.8 মিটার。
উত্তর: ট্যাঙ্কটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 1.8 মিটার (বা 18 ডেসিমি. বা 180 সেমি.)।

12. সমান ঘনত্বের একটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গ ডেসিমি.। এক ঘন ডেসিমি. কাঠের ওজন 1.5 কিগ্রা. এবং গুঁড়িটির ওজন 9.24 কুইন্টাল হলে, গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
কাঠের গুঁড়ির মোট ওজন = 9.24 কুইন্টাল = 9.24 × 100 কিগ্রা. = 924 কিগ্রা.
1 ঘন ডেসিমি. কাঠের ওজন = 1.5 কিগ্রা.
∴ কাঠের গুঁড়ির আয়তন = 924 / 1.5 = 616 ঘন ডেসিমি.
ধরি, গুঁড়ির ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি. এবং উচ্চতা = h ডেসিমি.
শর্তানুসারে,
আয়তন, πr²h = 616 ……. (i)
বক্রতলের ক্ষেত্রফল, 2πrh = 440 ……. (ii)
(i) নং সমীকরণকে (ii) নং সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই:
^πr²h / _2πrh = ⁶¹⁶ / ₄₄₀
বা, r / 2 = 1.4
বা, r = 2 × 1.4 = 2.8 ডেসিমি.
∴ ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2r = 2 × 2.8 = 5.6 ডেসিমি.
এখন r = 2.8 মানটি (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
2 × 22 7 × 2.8 × h = 440
বা, 44 × 0.4 × h = 440
বা, 17.6h = 440
বা, h = 440 / 17.6 = 25 ডেসিমি.
উত্তর: গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5.6 ডেসিমি. এবং উচ্চতা 25 ডেসিমি.।

13. দুই মুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার লোহার পাইপের মুখের বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 30 সেমি., অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি. এবং পাইপটির দৈর্ঘ্য 14.7 মিটার। প্রতি বর্গ ডেসিমি. 2.25 টাকা হিসাবে ওই পাইপটির সমগ্রতলে আলকাতরার প্রলেপ দিতে কত খরচ হবে, হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
পাইপের বহির্ব্যাস = 30 সেমি. = 3 ডেসিমি. ∴ বহির্ব্যাসার্ধ (R) = 1.5 ডেসিমি.
পাইপের অন্তর্ব্যাস = 26 সেমি. = 2.6 ডেসিমি. ∴ অন্তর্ব্যাসার্ধ (r) = 1.3 ডেসিমি.
পাইপের দৈর্ঘ্য বা উচ্চতা (h) = 14.7 মিটার = 147 ডেসিমি.
যেহেতু পাইপটির দুই মুখ খোলা, তাই সমগ্রতলে আলকাতরা মাখাতে হবে বাইরের বক্রতলে, ভেতরের বক্রতলে এবং দুই প্রান্তের বৃত্তাকার রিং-এর অংশে।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πRh + 2πrh + 2π(R² – r²)
= 2π[ h(R + r) + (R² – r²) ]
= 2 × 22 7 × [ 147(1.5 + 1.3) + (1.5² – 1.3²) ]
= 44 7 × [ 147(2.8) + (2.25 – 1.69) ]
= 44 7 × [ 411.6 + 0.56 ]
= 44 7 × 412.16 = 44 × 58.88 = 2590.72 বর্গ ডেসিমি.
প্রতি বর্গ ডেসিমি. 2.25 টাকা হিসাবে মোট খরচ হবে = 2590.72 × 2.25 = 5829.12 টাকা।
উত্তর: আলকাতরার প্রলেপ দিতে 5829.12 টাকা খরচ হবে।

14. একটি দুই মুখ খোলা লোহার লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের উচ্চতা 2.8 মিটার। চোঙটির অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 4.6 ডেসিমি. এবং চোঙটি 84.48 ঘন ডেসিমি. লোহা দিয়ে তৈরি হলে, চোঙটির বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
চোঙের উচ্চতা (h) = 2.8 মিটার = 28 ডেসিমি.
অন্তর্ব্যাস = 4.6 ডেসিমি. ∴ অন্তর্ব্যাসার্ধ (r) = 2.3 ডেসিমি.
ধরি, বহির্ব্যাসার্ধ = R ডেসিমি.
ফাঁপা চোঙের আয়তন (লোহার পরিমাণ) = π(R² – r²)h
শর্তানুসারে,
22 7 × (R² – 2.3²) × 28 = 84.48
বা, 22 × 4 × (R² – 5.29) = 84.48
বা, 88(R² – 5.29) = 84.48
বা, R² – 5.29 = 84.48 / 88 = 0.96
বা, R² = 0.96 + 5.29 = 6.25
বা, R = √6.25 = 2.5 ডেসিমি.
বহির্ব্যাসার্ধ R = 2.5 ডেসিমি. হলে, বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2R = 2 × 2.5 = 5 ডেসিমি.
উত্তর: চোঙটির বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5 ডেসিমি.।

15. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা 6 গুণ হতো তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি বেশি হতো। চোঙটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, চোঙটির ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি.
প্রাথমিক উচ্চতা (h₁) = 2r ডেসিমি.
প্রাথমিক আয়তন (V₁) = πr²(2r) = 2πr³ ঘন ডেসিমি.
যদি উচ্চতা 6 গুণ হতো, তবে নতুন উচ্চতা (h₂) = 6r ডেসিমি.
সেক্ষেত্রে নতুন আয়তন (V₂) = πr²(6r) = 6πr³ ঘন ডেসিমি.
আয়তনের পার্থক্য = 6πr³ – 2πr³ = 4πr³ ঘন ডেসিমি.
শর্তানুসারে,
4πr³ = 539
বা, 4 × 22 7 × r³ = 539
বা, 88 7 × r³ = 539
বা, r³ = (539 × 7) / 88 = 3773 / 88 = 343 / 8 (11 দিয়ে কেটে)
বা, r = ∛(343 / 8) = 7 / 2 = 3.5 ডেসিমি.
চোঙটির উচ্চতা = 2r = 2 × 3.5 = 7 ডেসিমি.
উত্তর: চোঙটির উচ্চতা 7 ডেসিমি.।

16. ফায়ার ব্রিগেডের কোনো একটি দল একটি জলভর্তি লম্ব বৃত্তাকার ট্যাঙ্কারের জল 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের তিনটি হোস পাইপ দিয়ে মিনিটে 420 মিটার বেগে ঢেলে 40 মিনিটে আগুন নেভাল। যদি ট্যাঙ্কারটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 6 মিটার হয়, তবে (i) আগুন নেভাতে কত জল খরচ হয়েছে এবং (ii) ট্যাঙ্কারে আর কত জল রয়েছে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ট্যাঙ্কারের মোট জলের আয়তন:
ট্যাঙ্কারের ব্যাস = 2.8 মিটার = 28 ডেসিমি. ∴ ব্যাসার্ধ (R) = 14 ডেসিমি.
উচ্চতা বা দৈর্ঘ্য (H) = 6 মিটার = 60 ডেসিমি.
ট্যাঙ্কারের আয়তন = πR²H = 22 7 × (14)² × 60 = 22 7 × 196 × 60 = 22 × 28 × 60 = 36960 ঘন ডেসিমি. বা লিটার।

খরচ হওয়া জলের পরিমাণ:
প্রতিটি হোস পাইপের ব্যাস = 2 সেমি. = 0.2 ডেসিমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 0.1 ডেসিমি.
জলের বেগ = 420 মিটার/মিনিট = 4200 ডেসিমি./মিনিট (h)
1 টি পাইপ দিয়ে 1 মিনিটে নির্গত জলের আয়তন = πr²h = 22 7 × (0.1)² × 4200 = 22 7 × 0.01 × 4200 = 22 7 × 42 = 132 লিটার।
3 টি পাইপ দিয়ে 1 মিনিটে নির্গত জল = 3 × 132 = 396 লিটার।
40 মিনিটে নির্গত মোট জল (আগুন নেভাতে খরচ) = 396 × 40 = 15840 লিটার。

অবশিষ্ট জলের পরিমাণ:
ট্যাঙ্কারে জল বাকি আছে = 36960 – 15840 = 21120 লিটার。
উত্তর: (i) আগুন নেভাতে 15840 লিটার জল খরচ হয়েছে এবং (ii) ট্যাঙ্কারে আর 21120 লিটার জল রয়েছে।

17. 17.5 সেমি. ব্যাসের 4টি লম্ব বৃত্তাকার ঢালাই পিলারের চারিপাশে 3.5 সেমি. পুরু বালি-সিমেন্টের প্লাস্টার করতে হবে।
(i) প্রতিটি পিলার যদি 3 মিটার লম্বা হয়, তবে কত ঘন ডেসিমি মশলা লাগবে হিসাব করে লিখি।
(ii) প্লাস্টারের মশলা তৈরি করতে যদি 4:1 অনুপাতে বালি ও সিমেন্ট মেশাতে হয়, তবে কত ঘন ডেসিমি. সিমেন্টের প্রয়োজন, হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
পিলারের ব্যাস = 17.5 সেমি. = 1.75 ডেসিমি. ∴ পিলারের অন্তর্ব্যাসার্ধ (r) = 1.75 / 2 = 0.875 ডেসিমি.
প্লাস্টার 3.5 সেমি. (0.35 ডেসিমি.) পুরু। ∴ প্লাস্টারসহ বহির্ব্যাসার্ধ (R) = 0.875 + 0.35 = 1.225 ডেসিমি.
উচ্চতা (h) = 3 মিটার = 30 ডেসিমি.
(i) 4টি পিলারে প্রয়োজনীয় মশলার আয়তন:
1টি পিলারে মশলার আয়তন (ফাঁপা চোঙের আয়তন) = π(R² – r²)h = π(R+r)(R-r)h
= 22 7 × (1.225 + 0.875) × (1.225 – 0.875) × 30
= 22 7 × 2.1 × 0.35 × 30 = 22 × 0.3 × 0.35 × 30 = 69.3 ঘন ডেসিমি.
4টি পিলারে মোট মশলা লাগবে = 4 × 69.3 = 277.2 ঘন ডেসিমি.

(ii) সিমেন্টের পরিমাণ:
বালি ও সিমেন্টের অনুপাত = 4 : 1
সিমেন্টের আনুপাতিক ভাগহার = 1 4+1 = 1 5
∴ সিমেন্ট লাগবে = 277.2 × 1 5 = 55.44 ঘন ডেসিমি.
উত্তর: (i) 277.2 ঘন ডেসিমি. মশলা লাগবে এবং (ii) 55.44 ঘন ডেসিমি. সিমেন্টের প্রয়োজন।

18. একটি লম্ব বৃত্তাকার ফাঁপা চোঙের বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি. এবং অন্তর্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 সেমি.। চোঙটির উচ্চতা 36 সেমি.। চোঙটিকে গলিয়ে 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট এবং 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের কতগুলি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে হিসাব করি।
সমাধান:
ফাঁপা চোঙের বহির্ব্যাস = 16 সেমি. ∴ R = 8 সেমি.
ফাঁপা চোঙের অন্তর্ব্যাস = 12 সেমি. ∴ r = 6 সেমি.
উচ্চতা (h) = 36 সেমি.
ফাঁপা চোঙের (লোহার) আয়তন = π(R² – r²)h = π(8² – 6²) × 36 = π(64 – 36) × 36 = π × 28 × 36 ঘন সেমি.

নতুন নিরেট চোঙের ব্যাস = 2 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r₁) = 1 সেমি.
উচ্চতা (h₁) = 6 সেমি.
একটি নিরেট চোঙের আয়তন = πr₁²h₁ = π × (1)² × 6 = 6π ঘন সেমি.
নিরেট চোঙের সংখ্যা = ফাঁপা চোঙের আয়তন একটি নিরেট চোঙের আয়তন
= π × 28 × 36 6π = 28 × 6 = 168 টি
উত্তর: 168 টি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে।

19. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
সমাধান: বক্রতলের ক্ষেত্রফল 2πrh এর সমানুপাতিক। অনুপাত = (2 × 5) : (3 × 3) = 10 : 9
উত্তর: (c) 10:9

(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত
সমাধান: আয়তন πr²h এর সমানুপাতিক। অনুপাত = (2² × 5) : (3² × 3) = (4 × 5) : (9 × 3) = 20 : 27
উত্তর: (b) 20:27

(iii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের আয়তন সমান এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 1:2 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত
সমাধান: r₁²h₁ = r₂²h₂ ⇒ r₁²/r₂² = h₂/h₁ = 2/1 ⇒ r₁/r₂ = √2/1
উত্তর: (b) √2 : 1

(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ হলে, চোঙটির আয়তন হবে পূর্বের চোঙের আয়তনের
সমাধান: নতুন আয়তন = π(r/2)²(2h) = π(r²/4)(2h) = (πr²h) / 2 = পূর্বের আয়তনের অর্ধেক।
উত্তর: (c) অর্ধেক

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করা হলে, বক্রতলের ক্ষেত্রফল পূর্বের চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের
সমাধান: নতুন বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2π(2r)(h/2) = 2πrh = পূর্বের সমান।
উত্তর: (a) সমান

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) একটি লম্ব চোঙাকৃতি ড্রামের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং উচ্চতা h সেমি.। ড্রামের অর্ধেক জলপূর্ণ থাকলে, জলের আয়তন হবে πr²h ঘন সেমি.।
সমাধান: ড্রামের মোট আয়তন πr²h। অর্ধেক জলের আয়তন হবে 1 2 πr²h।
উত্তর: মিথ্যা

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 একক হলে, চোঙটির যে-কোনো উচ্চতার জন্য চোঙটির আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হবে।
সমাধান: আয়তন = π(2)²h = 4πh। বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2π(2)h = 4πh। উভয়েই সমান।
উত্তর: সত্য

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একটি আয়তক্ষেত্রাকার কাগজের দৈর্ঘ্য l একক এবং প্রস্থ b একক। আয়তক্ষেত্রাকার কাগজটিকে মুড়ে একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো যার পরিধি কাগজটির দৈর্ঘ্যের সমান। চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল _______ বর্গ একক।
উত্তর: lb (কাগজটির ক্ষেত্রফলই চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে)।

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 সেমি. এবং উচ্চতা 4 সেমি. হলে, চোঙটির ভিতর সর্বাপেক্ষা লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য _______ সেমি.।
সমাধান: দণ্ডের দৈর্ঘ্য = চোঙের কর্ণ = √(ব্যাস² + উচ্চতা²) = √(3² + 4²) = √25 = 5
উত্তর: 5

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে, চোঙটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য _______ একক।
সমাধান: πr²h = 2πrh ⇒ r = 2। ব্যাস = 2r = 4
উত্তর: 4

20. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ মিটার এবং আয়তন 924 ঘন মিটার হলে, স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত লিখি।
সমাধান:
বক্রতলের ক্ষেত্রফল, 2πrh = 264
আয়তন, πr²h = 924
আয়তনকে বক্রতলের ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করে পাই:
(πr²h) / (2πrh) = 924 / 264
বা, r / 2 = 3.5 ⇒ r = 7
উত্তর: ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 মিটার।

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল c বর্গ একক, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং আয়তন V ঘন একক হলে, cr V -এর মান কত তা লিখি।
সমাধান:
c = 2πrh, V = πr²h
cr V = (2πrh) × r πr²h = 2πr²h πr²h = 2
উত্তর: মান হবে 2।

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 14 সেমি. এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গ সেমি. হলে, চোঙটির আয়তন কত তা লিখি।
সমাধান:
h = 14, 2πrh = 264 ⇒ 2 × 22 7 × r × 14 = 264 ⇒ 88r = 264 ⇒ r = 3
আয়তন = πr²h = 22 7 × 3² × 14 = 22 × 9 × 2 = 396 ঘন সেমি.
উত্তর: আয়তন 396 ঘন সেমি.।

(iv) দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1:2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধান:
h₁ : h₂ = 1 : 2
ভূমির পরিধির অনুপাত 2πr₁ : 2πr₂ = 3 : 4 ⇒ r₁ : r₂ = 3 : 4
আয়তনের অনুপাত V₁ : V₂ = πr₁²h₁ : πr₂²h₂ = (r₁/r₂)² × (h₁/h₂) = (3/4)² × (1/2) = 9 16 × 1 2 = 9 : 32
উত্তর: আয়তনের অনুপাত 9 : 32।

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস করা হলো এবং উচ্চতা 50% বৃদ্ধি করা হলো। চোঙটির আয়তনের শতকরা কত পরিবর্তন হবে তা লিখি।
সমাধান:
ধরি, প্রাথমিক ব্যাসার্ধ = r, উচ্চতা = h। প্রাথমিক আয়তন V₁ = πr²h
নতুন ব্যাসার্ধ r’ = r – 50% of r = r/2
নতুন উচ্চতা h’ = h + 50% of h = 3h/2
নতুন আয়তন V₂ = π(r’)²h’ = π(r/2)²(3h/2) = π(r²/4)(3h/2) = 3 8 πr²h
আয়তন হ্রাস পেয়েছে। হ্রাসের পরিমাণ = V₁ – V₂ = πr²h – 3 8 πr²h = 5 8 πr²h
শতকরা পরিবর্তন = (হ্রাস / প্রাথমিক আয়তন) × 100% = ( 5 8 ) × 100% = 62.5%
উত্তর: আয়তন 62.5% হ্রাস পাবে।

Related Posts