WBBSE Class 7 Math Solution

Ganit Prabha VII solution

কষে দেখি 1.4 সমাধান (পূর্বপাঠের পুনারালোচনা)

অধ্যায়: 1

WBBSE Class 7 Chapter 1 Solution

5. বর্গমূল নির্ণয় করি :

(a) 5² × 8²
সমাধান:
বর্গমূল = √(5² × 8²)
= 5 × 8 = 40

(b) 4225
সমাধান:
4225 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
4225 = 5 × 845
= 5 × 5 × 169
= 5 × 5 × 13 × 13
অতএব, √4225 = √(5 × 5 × 13 × 13) = 5 × 13 = 65

(c) 10609
সমাধান:
10609 এর বর্গমূল ভাগ পদ্ধতিতে নির্ণয় করলে পাই:
√10609 = 103 (কারণ 103 × 103 = 10609)

(d) 108241
সমাধান:
108241 এর বর্গমূল ভাগ পদ্ধতিতে নির্ণয় করলে পাই:
√108241 = 329 (কারণ 329 × 329 = 108241)

(e) 186624
সমাধান:
186624 এর বর্গমূল ভাগ পদ্ধতিতে নির্ণয় করলে পাই:
√186624 = 432 (কারণ 432 × 432 = 186624)

(f) (24² + 10²)
সমাধান:
প্রথমে যোগফল নির্ণয় করি: 24² + 10² = 576 + 100 = 676
অতএব, বর্গমূল = √676 = 26 (কারণ 26 × 26 = 676)

6. 3000-এর নিকটতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা খুঁজি যা (a) 3000 থেকে বড়ো (b) 3000 থেকে ছোটো।

সমাধান:
প্রথমে 3000 এর বর্গমূল নির্ণয়ের চেষ্টা করি।
54² = 54 × 54 = 2916
55² = 55 × 55 = 3025
অতএব, 2916 < 3000 < 3025

(a) 3000 থেকে বড়ো নিকটতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 55 এর বর্গ = 3025
(b) 3000 থেকে ছোটো নিকটতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 54 এর বর্গ = 2916

7. 9545 থেকে কোন ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে হিসাব করে দেখি।

সমাধান:
9545 এর ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয় করার চেষ্টা করি।
97 × 97 = 9409
98 × 98 = 9604
এখানে, 9409 < 9545 < 9604
9545 থেকে ছোটো নিকটতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলো 9409।
অতএব, বিয়োগ করতে হবে = 9545 – 9409 = 136
উত্তর: 136 বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

8. 5050-এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে লিখি।

সমাধান:
5050 এর নিকটবর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যাগুলো দেখি।
71² = 71 × 71 = 5041
72² = 72 × 72 = 5184
এখানে, 5041 < 5050 < 5184
5050 এর সাথে যোগ করে পূর্ণবর্গ সংখ্যা পেতে হলে সেটি 5184 হতে হবে।
অতএব, যোগ করতে হবে = 5184 – 5050 = 134
উত্তর: 134 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

9. বারুইপুরের এক পেয়ারা বাগানে 1764টি পেয়ারাগাছ লাগানো হয়েছে। যতগুলি সারিতে পেয়ারাগাছ লাগানো হয়েছে প্রতি সারিতে ততগুলি পেয়ারাগাছ আছে। হিসাব করে দেখি প্রতি সারিতে কতগুলি পেয়ারাগাছ আছে।

সমাধান:
যেহেতু সারির সংখ্যা এবং প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা সমান, তাই মোট গাছের সংখ্যা হলো সারির সংখ্যার বর্গ।
ধরি, প্রতি সারিতে গাছ আছে x টি।
অতএব, মোট গাছ = x × x = x² টি।
শর্তানুসারে, x² = 1764
বা, x = √1764
1764 এর বর্গমূল নির্ণয় করি:
1764 = 4 × 441 = 2 × 2 × 21 × 21
√1764 = 2 × 21 = 42
উত্তর: প্রতি সারিতে 42 টি পেয়ারাগাছ আছে।

10. হোমিওপ্যাথি ওষুধ রাখার বাক্সে 1225টি শিশি রাখার ঘর আছে। ঘরগুলি এমনভাবে সাজানো আছে যে যতগুলি সারি আছে প্রতি সারিতে ততগুলি ঘর আছে। হিসাব করে দেখি বাক্সে কতগুলি সারি আছে।

সমাধান:
যেহেতু সারির সংখ্যা এবং প্রতি সারিতে ঘরের সংখ্যা সমান, তাই মোট ঘরের সংখ্যা হলো সারির সংখ্যার বর্গ।
ধরি, বাক্সে সারি আছে y টি।
অতএব, মোট ঘর = y × y = y² টি।
শর্তানুসারে, y² = 1225
বা, y = √1225
1225 এর বর্গমূল নির্ণয় করি:
1225 = 25 × 49 = 5 × 5 × 7 × 7
√1225 = 5 × 7 = 35
উত্তর: বাক্সে 35 টি সারি আছে।

11. তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার প্রথম ও দ্বিতীয়টির গুণফল 24, দ্বিতীয় ও তৃতীয়ের গুণফল 48 এবং প্রথম ও তৃতীয়ের গুণফল 32; সংখ্যা তিনটি কী কী তা হিসাব করে দেখি।

সমাধান:
ধরি, তিনটি সংখ্যা যথাক্রমে a, b এবং c।
শর্তানুসারে,
a × b = 24 — (১)
b × c = 48 — (২)
a × c = 32 — (৩)

সমীকরণ (১), (২) এবং (৩) গুণ করে পাই,
(ab) × (bc) × (ac) = 24 × 48 × 32
বা, a²b²c² = (8 × 3) × (16 × 3) × (16 × 2)
বা, (abc)² = 8 × 16 × 16 × 3 × 3 × 2
বা, (abc)² = 16 × 16 × 16 × 9
বা, (abc)² = 4096 × 9 = 36864
বা, abc = √36864 = 192 — (৪)

এখন,
c = (abc) ÷ (ab) = 192 ÷ 24 = 8
a = (abc) ÷ (bc) = 192 ÷ 48 = 4
b = (abc) ÷ (ac) = 192 ÷ 32 = 6
উত্তর: সংখ্যা তিনটি হলো 4, 6 এবং 8।

12. শিবাজি সঙ্ঘের ক্লাবে যতজন সদস্য আছে প্রত্যেকে সদস্য সংখ্যার পাঁচগুণ টাকা চাঁদা দিয়েছে। মোট 515205 টাকা চাঁদা উঠেছে। হিসাব করে দেখি ক্লাবের সদস্য সংখ্যা কত।

সমাধান:
ধরি, ক্লাবের সদস্য সংখ্যা = x জন।
প্রত্যেকে চাঁদা দিয়েছে = সদস্য সংখ্যার পাঁচগুণ = 5x টাকা।
মোট চাঁদা উঠেছে = (সদস্য সংখ্যা) × (প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ)
= x × 5x = 5x² টাকা।

শর্তানুসারে,
5x² = 515205
বা, x² = 515205 ÷ 5
বা, x² = 103041
বা, x = √103041
103041 এর বর্গমূল নির্ণয় করলে পাই, 321 (কারণ 321 × 321 = 103041)
অতএব, x = 321
উত্তর: ক্লাবের সদস্য সংখ্যা 321 জন।

13. দার্জিলিং-এর এক বাগানের মালিক মোট 1080টি কমলালেবু পেড়েছেন। সেই কমলালেবু কতকগুলি ঝুড়ি এনে তার প্রতিটিতে ঝুড়ির সংখ্যার সমান কমলালেবু রাখতে গিয়ে দেখেন 9টি কমলালেবু কম পড়ছে। তিনি কতগুলি ঝুড়ি এনেছিলেন হিসাব করে দেখি।

সমাধান:
ধরি, তিনি ঝুড়ি এনেছিলেন x টি।
প্রতিটি ঝুড়িতে কমলালেবু রাখতে হবে ঝুড়ির সংখ্যার সমান, অর্থাৎ x টি।
তাহলে, সবগুলো ঝুড়ি পূর্ণ করতে মোট কমলালেবু লাগবে = x × x = x² টি।

তার কাছে কমলালেবু আছে 1080 টি, কিন্তু তাতে 9 টি কম পড়ছে।
এর মানে হলো, সবগুলো ঝুড়ি পূর্ণ করতে তার মোট কমলালেবু দরকার ছিল = 1080 + 9 = 1089 টি।
শর্তানুসারে,
x² = 1089
বা, x = √1089
1089 এর বর্গমূল নির্ণয় করলে পাই, 33 (কারণ 33 × 33 = 1089)
অতএব, x = 33
উত্তর: তিনি 33 টি ঝুড়ি এনেছিলেন।

14. বকুলতলার একটি পুকুর সংস্কার করতে পঞ্চায়েত যতজন লোক নিযুক্ত করেছিলেন তারা ততদিন কাজ করে মোট 12375 টাকা পেয়েছেন। প্রত্যেকে দৈনিক যদি 55 টাকা পান, তবে কতজন লোক কাজ করেছিলেন হিসাব করে দেখি।

সমাধান:
ধরি, লোক নিযুক্ত করা হয়েছিল y জন।
তারা কাজ করেছেন = y দিন।
1 জন লোক 1 দিনে পান = 55 টাকা।
তাহলে, y জন লোক 1 দিনে পাবেন = 55y টাকা।
y জন লোক y দিনে মোট পাবেন = 55y × y = 55y² টাকা।

শর্তানুসারে,
55y² = 12375
বা, y² = 12375 ÷ 55
বা, y² = 225
বা, y = √225
বা, y = 15
উত্তর: 15 জন লোক কাজ করেছিলেন।

15. চার অঙ্কের কোন বৃহত্তম পূর্ণবর্গ সংখ্যা 12, 18 ও 30 দ্বারা বিভাজ্য হিসাব করে দেখি।

সমাধান:
প্রথমে 12, 18 এবং 30 এর ল.সা.গু নির্ণয় করি।
12 = 2 × 2 × 3
18 = 2 × 3 × 3
30 = 2 × 3 × 5
ল.সা.গু = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180
180 কে পূর্ণবর্গ করতে হলে 5 দিয়ে গুণ করতে হবে, কারণ 180 = 2² × 3² × 5 (এখানে 5 এর কোনো জোড়া নেই)।
অতএব, ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 180 × 5 = 900।

এখন, 900 এর গুণিতক পূর্ণবর্গ সংখ্যাগুলো দেখি:
900 × 1² = 900
900 × 2² = 900 × 4 = 3600
900 × 3² = 900 × 9 = 8100
900 × 4² = 900 × 16 = 14400 (এটি 5 অঙ্কের হয়ে যায়)
অতএব, চার অঙ্কের বৃহত্তম পূর্ণবর্গ সংখ্যা যা 12, 18 ও 30 দ্বারা বিভাজ্য তা হলো 8100।
উত্তর: চার অঙ্কের বৃহত্তম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 8100।

16. পাঁচ অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা 8, 15, 20 ও 25 দ্বারা বিভাজ্য হিসাব করে দেখি।

সমাধান:
প্রথমে 8, 15, 20 এবং 25 এর ল.সা.গু নির্ণয় করি।
8 = 2 × 2 × 2
15 = 3 × 5
20 = 2 × 2 × 5
25 = 5 × 5
ল.সা.গু = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 600
600 কে পূর্ণবর্গ করতে হলে (2 × 3) অর্থাৎ 6 দিয়ে গুণ করতে হবে, কারণ 600 = 2² × 2 × 3 × 5² (এখানে 2 এবং 3 এর জোড়া নেই)।
অতএব, 8, 15, 20 ও 25 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 600 × 6 = 3600।

আমাদের 5 অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দরকার। 3600 এর পূর্ণবর্গ গুণিতকগুলো দেখি:
3600 × 1² = 3600 (4 অঙ্ক)
3600 × 2² = 3600 × 4 = 14400 (5 অঙ্ক)
যেহেতু 14400 হলো 5 অঙ্কের, তাই এটিই সেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
উত্তর: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 14400।