WBBSE Class 8 Math Solution

Ganit Prabha VIII solution

কষে দেখি 8 সমাধান

সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম

WBBSE Class 8 Chapter 8 Solution

1. চন্দ্রা লাইন টানা খাতার পাতা নিল। দুটি লাইনের মাঝে একটি ছেদক টানল। এর ফলে 4 জোড়া অনুরূপ কোণ, 2 জোড়া একান্তর কোণ ও 2 জোড়া একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ তৈরি হলো। তাদের খুঁজে নাম দিই ও লিখি। চাঁদার সাহায্যে মেপে যাচাই করি যে (i) অনুরূপ কোণগুলি পরস্পর সমান, (ii) একান্তর কোণগুলি পরস্পর সমান ও (iii) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

সমাধান:
এটি একটি ব্যবহারিক (practical) কাজ। উপরের ডায়াগ্রামটির (কোণ 1 থেকে 8) সাহায্য নিয়ে আমরা নামগুলো লিখতে পারি:

4 জোড়া অনুরূপ কোণ:
1. ∠1 এবং ∠5
2. ∠2 এবং ∠6
3. ∠3 এবং ∠7
4. ∠4 এবং ∠8

2 জোড়া একান্তর কোণ:
1. ∠4 এবং ∠6
2. ∠3 এবং ∠5

2 জোড়া একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ:
1. ∠4 এবং ∠5
2. ∠3 এবং ∠6

(চাঁদা দিয়ে মেপে দেখলে প্রমাণিত হবে যে অনুরূপ ও একান্তর কোণগুলোর মান সমান এবং একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটির যোগফল 180°।)

2. পাশের ছবির কোণগুলি দেখি ও কোনগুলি অনুরূপ কোণ, কোনগুলি একান্তর কোণ ও কোনগুলি একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ লিখি।

সমাধান:
চিত্রে 1 থেকে 8 পর্যন্ত কোণ চিহ্নিত করা আছে। দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি তির্যক রেখা ছেদ করেছে।

অনুরূপ কোণ (Corresponding Angles): ছেদকের একই পাশে এবং সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একই অবস্থানে থাকা কোণ।
যথা: (∠1, ∠5), (∠2, ∠6), (∠3, ∠7), (∠4, ∠8)

একান্তর কোণ (Alternate Interior Angles): সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের ভেতরে এবং ছেদকের বিপরীত পাশে থাকা কোণ।
যথা: (∠3, ∠5), (∠4, ∠6)

একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ (Consecutive Interior Angles): সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের ভেতরে এবং ছেদকের একই পাশে থাকা কোণ।
যথা: (∠3, ∠6), (∠4, ∠5)

3. AB || CD হলে নীচের কোণগুলির মান লিখি—

(a) চিত্রে AB || CD এবং EF ছেদক। একটি কোণ 55°।
সমাধান:
চিত্রে 55° কোণটি এবং x কোণটি হলো একান্তর কোণ।
যেহেতু AB || CD, তাই একান্তর কোণ সমান হয়।
সুতরাং, x = 55°
আবার, y কোণটি হলো x কোণের বিপ্রতীপ কোণ। (অথবা 55° কোণের অনুরূপ কোণের বিপ্রতীপ)।
যেহেতু বিপ্রতীপ কোণ সমান হয়, তাই y = x = 55°

(b) চিত্রে AB || CD এবং EF ছেদক। একটি অন্তঃস্থ কোণ 68° দেওয়া আছে।
সমাধান:
x কোণটি হলো 68° কোণটির একান্তর কোণ।
যেহেতু AB || CD, তাই একান্তর কোণগুলি সমান হয়।
সুতরাং, x = 68°

(c) চিত্রে AB || CD এবং EF ছেদক। একটি কোণ 100° এবং অপর একটি বহিঃস্থ কোণ 99° দেওয়া আছে (সম্ভবত এটি অন্য কোনো দাগের, এখানে শুধু 100° ধরে x বের করতে হবে)।
সমাধান:
100° কোণটি এবং x কোণটি হলো একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ।
আমরা জানি, দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটির সমষ্টি 180° হয়।
সুতরাং, x + 100° = 180°
বা, x = 180° – 100°
বা, x = 80°

4. পাশের ছবির XY || PQ হলে 7 টি কোণের মান লিখি।

সমাধান:
চিত্রে XY || PQ এবং একটি ছেদক আছে। একটি কোণের মান 50° দেওয়া আছে।
ধরি, প্রদত্ত কোণটি হলো ∠1 = 50°।

1. বিপ্রতীপ কোণ: ∠3 = 50° (যেহেতু এটি 50° এর বিপ্রতীপ কোণ)
2. রৈখিক যুগল: ∠2 + 50° = 180° ⇒ ∠2 = 130°
3. বিপ্রতীপ কোণ: ∠4 = ∠2 = 130°

যেহেতু XY || PQ, তাই:
4. অনুরূপ কোণ: ∠5 = 50° (50° এর অনুরূপ)
5. অনুরূপ কোণ: ∠6 = ∠2 = 130°
6. অনুরূপ কোণ: ∠7 = ∠3 = 50°
7. অনুরূপ কোণ: ∠8 = ∠4 = 130°

উত্তর: কোণগুলোর মান হলো 50°, 130°, 50°, 130°, 50°, 130°, 50°।

5. নীচের AB ও CD সরলরেখা দুটি সমান্তরাল কিনা কোণের মান দেখে যুক্তি দিয়ে লিখি—

(i) চিত্রে ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটি হলো 125° এবং 30°।
যুক্তি: দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হলে ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটির সমষ্টি 180° হতে হবে।
এখানে, 125° + 30° = 155° (যা 180° নয়)।
উত্তর: AB এবং CD সমান্তরাল নয়।

(ii) চিত্রে একটি কোণ 120° এবং তার অনুরূপ অবস্থানে কোণ 60° দেওয়া আছে (একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ নয়)।
যুক্তি: 120° এর রৈখিক যুগল হলো 180° – 120° = 60°। এখন 60° কোণটি একান্তর কোণ হিসেবে নিচের 60° কোণের সমান হচ্ছে।
যেহেতু একান্তর কোণ সমান (60° = 60°), তাই সরলরেখা দুটি সমান্তরাল।
উত্তর: AB এবং CD সমান্তরাল।

(iii) চিত্রে একটি কোণ 75° এবং তার একান্তর অবস্থানে কোণ 95° দেওয়া আছে।
যুক্তি: দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হলে একান্তর কোণ সমান হতে হবে।
এখানে, 75° ≠ 95°।
উত্তর: AB এবং CD সমান্তরাল নয়।

6. চিত্রে AB || CD এবং ∠EGB = 50°; ∠AGE, ∠AGH, ∠BGH, ∠GHC, ∠GHD, ∠CHF এবং ∠DHF -এর পরিমাপ লিখি।

সমাধান:
দেওয়া আছে, AB || CD এবং EF ছেদক। ∠EGB = 50°।

• ∠AGE: ∠AGE এবং ∠EGB একটি রৈখিক যুগল।
∠AGE = 180° – 50° = 130°

• ∠AGH: ∠AGH এবং ∠EGB হলো বিপ্রতীপ কোণ।
∠AGH = ∠EGB = 50°

• ∠BGH: ∠BGH এবং ∠AGE হলো বিপ্রতীপ কোণ।
∠BGH = ∠AGE = 130°

যেহেতু AB || CD, তাই:
• ∠GHC: ∠GHC হলো ∠AGH এর একান্তর কোণ। (অথবা ∠EGB এর অনুরূপ কোণ)
∠GHC = ∠AGH = 50°

• ∠GHD: ∠GHD হলো ∠BGH এর একান্তর কোণ। (অথবা ∠AGE এর অনুরূপ কোণ)
∠GHD = ∠BGH = 130°

• ∠CHF: ∠CHF এবং ∠GHD হলো বিপ্রতীপ কোণ।
∠CHF = ∠GHD = 130°

• ∠DHF: ∠DHF এবং ∠GHC হলো বিপ্রতীপ কোণ।
∠DHF = ∠GHC = 50°

7. চিত্রে AB || CD ; ∠PQR -এর পরিমাপ লিখি।

সমাধান:
চিত্রে ∠APQ = 30° এবং ∠CQR = 40° দেওয়া আছে। Q বিন্দু দিয়ে AB এবং CD এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা XY কল্পনা করি।
তাহলে, XY || AB হওয়ায়, ∠PQX = ∠APQ = 30° (একান্তর কোণ)।
আবার, XY || CD হওয়ায়, ∠RQX = ∠CQR = 40° (একান্তর কোণ)।
সম্পূর্ণ কোণ ∠PQR = ∠PQX + ∠RQX = 30° + 40° = 70°।
উত্তর: ∠PQR এর পরিমাপ 70°।

8. চিত্রে PQ || RS, ∠BPQ = 40°, ∠BPR = 155° এবং ∠CRS = 70°; ΔAPR-এর কোণগুলির পরিমাপ লিখি।

সমাধান:
দেওয়া আছে, PQ || RS.
∠BPQ = 40°। যেহেতু PQ || RS, তাই P দিয়ে অতিক্রান্ত ছেদকের একান্তর কোণ হিসেবে ∠APR নির্ণয় করতে হবে।

১) ∠APR নির্ণয়:
একটি সরলরেখার উপর কোণগুলোর সমষ্টি 180°।
∠APR + ∠BPR = 180° (রৈখিক যুগল)
বা, ∠APR + 155° = 180°
বা, ∠APR = 25°

২) ∠PAR নির্ণয়:
যেহেতু PQ || RS এবং AB ছেদক,
∠PAR = ∠BPQ = 40° (অনুরূপ কোণ)

৩) ∠PRA নির্ণয়:
ΔAPR এর তিন কোণের সমষ্টি 180°।
∠PRA + ∠PAR + ∠APR = 180°
বা, ∠PRA + 40° + 25° = 180°
বা, ∠PRA + 65° = 180°
বা, ∠PRA = 115°

উত্তর: ΔAPR-এর কোণগুলি হলো: ∠APR = 25°, ∠PAR = 40° এবং ∠PRA = 115°।

9. AB এবং CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখার ভিতর O যেকোনো একটি বিন্দু। OP ও OQ যথাক্রমে AB ও CD সরলরেখার উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে P, O, Q বিন্দু তিনটি সমরেখ।

প্রমাণ:
দেওয়া আছে, AB || CD।
O বিন্দু থেকে AB এর ওপর লম্ব OP এবং CD এর ওপর লম্ব OQ টানা হলো।
সুতরাং, ∠OPB = 90° এবং ∠OQD = 90°।

যেহেতু AB || CD এবং আমরা যদি PQ কে ছেদক হিসেবে কল্পনা করি,
তাহলে ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180° হওয়া উচিত (যদি তারা সমান্তরাল হয়)।
এখানে, ∠OPB + ∠OQD = 90° + 90° = 180°।
এটি তখনই সম্ভব যখন PQ একটি সরলরেখা হয় যা দুটি সমান্তরাল রেখাকে লম্বভাবে ছেদ করে।
অর্থাৎ, P, O, এবং Q বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
অতএব, P, O, Q বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমাণিত)

10. দুটি কোণের প্রতিজোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল। প্রমাণ করি যে, কোণদুটি সমান অথবা পরস্পর সম্পূরক।

প্রমাণ:
ধরি, দুটি কোণ ∠ABC এবং ∠DEF।
দেওয়া আছে, AB || DE এবং BC || EF।

ক্ষেত্র ১: যখন বাহুগুলি একই দিকে থাকে।
DE কে পিছনের দিকে বর্ধিত করলে তা BC কে ধরি G বিন্দুতে ছেদ করে।
যেহেতু AB || DE (বা DG) এবং BC ছেদক, তাই ∠ABC = ∠DGC (অনুরূপ কোণ)।
আবার, যেহেতু BC || EF এবং DG ছেদক, তাই ∠DGC = ∠DEF (অনুরূপ কোণ)।
অতএব, ∠ABC = ∠DEF (অর্থাৎ কোণদুটি সমান)।

ক্ষেত্র ২: যখন বাহুগুলি বিপরীত দিকে থাকে।
সেক্ষেত্রে, অনুরূপ কোণ ও রৈখিক যুগলের সম্পর্ক থেকে দেখানো যায় যে একটি কোণ অপরটির সম্পূরক হবে।
অর্থাৎ, ∠ABC + ∠DEF = 180°।
(প্রমাণিত)

11. ABCD সামান্তরিকের AC কর্ণ ∠BAD -কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। প্রমাণ করি যে AC কর্ণ ∠BCD -কেও সমদ্বিখণ্ডিত করে।

প্রমাণ:
ABCD একটি সামান্তরিক, তাই AB || DC এবং AD || BC।
দেওয়া আছে, AC কর্ণ ∠BAD কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, অর্থাৎ ∠DAC = ∠BAC।

যেহেতু AD || BC এবং AC ছেদক, তাই ∠DAC = ∠BCA (একান্তর কোণ)।
আবার, যেহেতু AB || DC এবং AC ছেদক, তাই ∠BAC = ∠DCA (একান্তর কোণ)।

যেহেতু ∠DAC = ∠BAC,
অতএব, ∠BCA = ∠DCA।
এর মানে হলো AC কর্ণ ∠BCD কোণটিকে সমান দুটি ভাগে ভাগ করেছে।
সুতরাং, AC কর্ণ ∠BCD -কেও সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)

12. প্রমাণ করি যে, সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, প্রতিটি কোণই সমকোণ।

প্রমাণ:
ধরি, ABCD একটি সামান্তরিক যার ∠A = 90°।
আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলি সমান হয়।
অতএব, ∠C = ∠A = 90°。

আবার, সামান্তরিকের দুটি সমান্তরাল রেখার (যেমন AD এবং BC) ছেদকের (AB) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি 180°।
অর্থাৎ, ∠A + ∠B = 180°।
যেহেতু ∠A = 90°,
তাই 90° + ∠B = 180° ⇒ ∠B = 90°。

বিপরীত কোণ হিসেবে ∠D = ∠B = 90°。
দেখা যাচ্ছে ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
সুতরাং, সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, প্রতিটি কোণই সমকোণ। (প্রমাণিত)