WBBSE Class 8 Math Solution

Ganit Prabha VIII solution

কষে দেখি 7.1 সমাধান

বিপ্রতীপ কোণের ধারণা

WBBSE Class 8 Chapter 7 Solution

1. দুটি সরলরেখা PQ ও RS পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করলে যে বিপ্রতীপ কোণগুলি তৈরি হয় তাদের আঁকি ও নাম লিখি।

সমাধান:
(ছাত্রছাত্রীরা স্কেল ও পেনসিল দিয়ে PQ এবং RS দুটি সরলরেখা আঁকবে যারা O বিন্দুতে ছেদ করে। ঠিক উপরের ডায়াগ্রামটির মতো।)
দুটি সরলরেখা PQ ও RS পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করলে দুটি জোড়া বিপ্রতীপ কোণ তৈরি হয়।
যথা:
(১) ∠POR এবং ∠QOS (এরা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ)
(২) ∠POS এবং ∠QOR (এরা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ)

2. ছবি দেখি ও কোণগুলির মান লেখার চেষ্টা করি:

(a) এখানে ∠1 = 35° দেওয়া আছে।
সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সরলরেখা ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণগুলি সমান হয় এবং একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° হয় (রৈখিক যুগল)।
• ∠2 এবং ∠1 একটি রৈখিক যুগল তৈরি করে।
সুতরাং, ∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 35° = 145°
• ∠3 এবং ∠1 হলো বিপ্রতীপ কোণ।
সুতরাং, ∠3 = ∠1 = 35°
• ∠4 এবং ∠2 হলো বিপ্রতীপ কোণ।
সুতরাং, ∠4 = ∠2 = 145°

(b) এখানে ∠TOS = 20° এবং ∠ROQ = 60° দেওয়া আছে।
সমাধান:
চিত্রানুযায়ী, PQ এবং RS দুটি সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
• ∠ROP এবং ∠ROQ একটি রৈখিক যুগল।
সুতরাং, ∠ROP + ∠ROQ = 180° ⇒ ∠ROP = 180° – 60° = 120°
• ∠POS এবং ∠ROQ হলো বিপ্রতীপ কোণ।
সুতরাং, ∠POS = ∠ROQ = 60°।
চিত্রে ∠POS কোণটি ∠POT এবং ∠TOS এর সমষ্টি।
অর্থাৎ, ∠POT + ∠TOS = 60°
বা, ∠POT + 20° = 60°
বা, ∠POT = 40°
• ∠QOS এবং ∠ROP হলো বিপ্রতীপ কোণ।
সুতরাং, ∠QOS = ∠ROP = 120°

3. তীর্থ PQ ও XY দুটি সরলরেখা আঁকল যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। আমি চাঁদার সাহায্যে বিপ্রতীপ কোণগুলি মেপে দেখি।

সমাধান:
এটি একটি ব্যবহারিক কাজ। ছাত্রছাত্রীরা খাতায় দুটি সরলরেখা এঁকে তাদের ছেদবিন্দু O তে উৎপন্ন ৪টি কোণ চাঁদা দিয়ে মাপবে। মেপে দেখলে দেখা যাবে যে:
∠POX = ∠QOY (বিপ্রতীপ কোণ সমান)
∠POY = ∠QOX (বিপ্রতীপ কোণ সমান)

4. পাশের ছবি দেখি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর খোঁজার চেষ্টা করি:

সমাধান:
চিত্রে AB একটি সরলরেখা এবং CD তার ওপর লম্ব (অর্থাৎ ∠AOC = 90° এবং ∠BOC = 90°)। OM একটি রশ্মি।

(i) দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর পূরক কোণ।
যেহেতু ∠AOD = 90° (কারণ CD লম্ব AB), তাই ∠AOM এবং ∠MOD এর সমষ্টি 90°।
উত্তর: ∠AOM এবং ∠MOD

(ii) দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর সম্পূরক কোণ।
যেকোনো একটি সরলরেখার ওপর অবস্থিত দুটি সন্নিহিত কোণ সম্পূরক হয়।
উত্তর: ∠AOC এবং ∠BOC (অথবা ∠AOD এবং ∠BOD, অথবা ∠BOM এবং ∠AOM)

(iii) দুটি কোণের নাম লিখি যারা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
এই চিত্রে কোনো দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করে পূর্ণাঙ্গ ‘X’ আকৃতি তৈরি করেনি (M রশ্মিটি শুধু একদিকে আছে)। তাই এখানে প্রথাগত বিপ্রতীপ কোণের জোড়া নেই। তবে যদি AB এবং CD কে দুটি সম্পূর্ণ সরলরেখা ধরা হয়, তবে:
উত্তর: ∠AOC এবং ∠BOD (অথবা ∠BOC এবং ∠AOD)

5. দুটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে বিপ্রতীপকোণগুলির পরিমাপ সমান হবে — যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি।

প্রমাণ:
ধরি, AB এবং CD দুটি সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
এর ফলে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়েছে:
(১) ∠AOC এবং ∠BOD
(২) ∠AOD এবং ∠BOC

প্রমাণ করতে হবে যে: ∠AOC = ∠BOD এবং ∠AOD = ∠BOC

যুক্তি:
AB সরলরেখার ওপর OD দণ্ডায়মান।
অতএব, ∠AOD + ∠BOD = 180° (রৈখিক যুগল) … (সমীকরণ ১)

আবার, CD সরলরেখার ওপর OA দণ্ডায়মান。
অতএব, ∠AOC + ∠AOD = 180° (রৈখিক যুগল) … (সমীকরণ ২)

(১) এবং (২) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:
∠AOD + ∠BOD = ∠AOC + ∠AOD
উভয়পক্ষ থেকে ∠AOD বাদ দিলে পাই,
∠BOD = ∠AOC (প্রথম জোড়া প্রমাণিত)

একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, ∠AOD = ∠BOC। (প্রমাণিত)

6. ∠AOD = 120° দেওয়া আছে। ∠BOD, ∠BOC এবং ∠AOC এর পরিমাপ লিখি।

সমাধান:
AB এবং CD সরলরেখাদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
দেওয়া আছে, ∠AOD = 120°।

• ∠AOD এবং ∠AOC একটি রৈখিক যুগল তৈরি করে (যেহেতু COD একটি সরলরেখা)।
অতএব, ∠AOC = 180° – ∠AOD = 180° – 120° = 60°

• ∠AOD এবং ∠BOD একটি রৈখিক যুগল তৈরি করে (যেহেতু AOB একটি সরলরেখা)।
অতএব, ∠BOD = 180° – ∠AOD = 180° – 120° = 60°

• ∠BOC এবং ∠AOD হলো বিপ্রতীপ কোণ।
অতএব, ∠BOC = ∠AOD = 120°

উত্তর: ∠BOD = 60°, ∠BOC = 120° এবং ∠AOC = 60°।

7. ∠POR ও ∠QOS -এর সমষ্টি 110°; ∠POS, ∠QOS, ∠QOR ও ∠POR -এর পরিমাপ লিখি।

সমাধান:
চিত্রে PQ এবং RS দুটি সরলরেখা O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
এখানে ∠POR এবং ∠QOS হলো বিপ্রতীপ কোণ।
আমরা জানি, বিপ্রতীপ কোণ সমান হয়। অর্থাৎ, ∠POR = ∠QOS।

দেওয়া আছে, ∠POR + ∠QOS = 110°
বা, 2∠POR = 110°
বা, ∠POR = 110° ÷ 2 = 55°
সুতরাং, ∠QOS = 55°

আবার, ∠POR এবং ∠POS একটি রৈখিক যুগল (যেহেতু ROS একটি সরলরেখা)।
অতএব, ∠POS = 180° – ∠POR = 180° – 55° = 125°

∠QOR এবং ∠POS হলো বিপ্রতীপ কোণ।
অতএব, ∠QOR = ∠POS = 125°

উত্তর: ∠POS = 125°, ∠QOS = 55°, ∠QOR = 125° এবং ∠POR = 55°।

8. OP, OQ, OR এবং OS সমবিন্দু। OP এবং OR একই সরলরেখায় অবস্থিত। P ও R বিন্দু O বিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত। ∠POQ = ∠ROS এবং ∠POS = ∠QOR। যদি ∠POQ = 50° হয় তবে ∠QOR, ∠ROS এবং ∠POS এর পরিমাপ লিখি।

সমাধান:
যেহেতু OP এবং OR একই সরলরেখায় এবং O বিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত, তাই POR একটি সরলরেখা।
দেওয়া আছে, ∠POQ = 50° এবং ∠POQ = ∠ROS।
সুতরাং, ∠ROS = 50°।

POR একটি সরলরেখা হওয়ায়, ∠POQ এবং ∠QOR একটি রৈখিক যুগল।
অতএব, ∠QOR = 180° – ∠POQ = 180° – 50° = 130°।

দেওয়া আছে, ∠POS = ∠QOR।
সুতরাং, ∠POS = 130°।

উত্তর: ∠QOR = 130°, ∠ROS = 50° এবং ∠POS = 130°।

9. চারটি রশ্মি একটি বিন্দুতে এমনভাবে মিলিত হয় যে বিপরীত দিকের কোণগুলি সমান। প্রমাণ করি যে ওই চারটি রশ্মি দ্বারা দুটি সরলরেখা তৈরি হয়।

প্রমাণ:
ধরি, O বিন্দুতে OA, OB, OC এবং OD চারটি রশ্মি এমনভাবে মিলিত হয়েছে যে বিপরীত কোণগুলি সমান।
অর্থাৎ, ∠AOB = ∠COD এবং ∠BOC = ∠DOA।

আমরা জানি, একটি বিন্দুর চারপাশের সমস্ত কোণের সমষ্টি 360°।
সুতরাং, ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOA = 360°

যেহেতু বিপরীত কোণগুলি সমান, তাই মান বসিয়ে পাই:
∠AOB + ∠BOC + ∠AOB + ∠BOC = 360°
বা, 2(∠AOB + ∠BOC) = 360°
বা, ∠AOB + ∠BOC = 180°

যেহেতু দুটি সন্নিহিত কোণ ∠AOB এবং ∠BOC এর সমষ্টি 180°, তাই এদের বহিঃস্থ বাহু OA এবং OC একই সরলরেখায় অবস্থিত। অর্থাৎ AC একটি সরলরেখা।
একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে BD একটি সরলরেখা।
সুতরাং প্রমাণিত হলো যে ওই চারটি রশ্মি দ্বারা দুটি সরলরেখা তৈরি হয়।

10. একটি কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক ও বহিঃসমদ্বিখণ্ডক পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত—প্রমাণ করি।

প্রমাণ:
ধরি, AB একটি সরলরেখার ওপর O বিন্দুতে OC রশ্মি দণ্ডায়মান।
এর ফলে দুটি সন্নিহিত কোণ ∠AOC এবং ∠BOC উৎপন্ন হলো যারা রৈখিক যুগল গঠন করে।
অর্থাৎ, ∠AOC + ∠BOC = 180°。

ধরি, OX হলো ∠AOC এর সমদ্বিখণ্ডক এবং OY হলো ∠BOC এর সমদ্বিখণ্ডক।
সুতরাং, ∠COX = ½∠AOC এবং ∠COY = ½∠BOC。

এখন, অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক ও বহিঃসমদ্বিখণ্ডকের মধ্যবর্তী কোণ হলো ∠XOY।
∠XOY = ∠COX + ∠COY
= ½∠AOC + ½∠BOC
= ½(∠AOC + ∠BOC)
= ½ × 180°
= 90°

যেহেতু কোণটি 90°, তাই প্রমাণিত হলো যে অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক ও বহিঃসমদ্বিখণ্ডক পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত।

11. দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি চার সমকোণ—প্রমাণ করি।

প্রমাণ:
ধরি, AB এবং CD সরলরেখাদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
ফলে 4টি কোণ উৎপন্ন হয়েছে: ∠AOC, ∠COB, ∠BOD, ∠DOA।
AB সরলরেখার ওপর OC দণ্ডায়মান। তাই, ∠AOC + ∠COB = 180° (2 সমকোণ)।
আবার, AB সরলরেখার ওপর OD দণ্ডায়মান। তাই, ∠AOD + ∠DOB = 180° (2 সমকোণ)।
এই দুটি সমীকরণ যোগ করলে পাই:
∠AOC + ∠COB + ∠AOD + ∠DOB = 180° + 180° = 360° = 4 সমকোণ। (প্রমাণিত)

12. PQR ত্রিভুজের ∠PQR = ∠PRQ; QR বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয় তাদের মান সমান—প্রমাণ করি।

প্রমাণ:
ধরি, QR বাহুকে Q এর দিকে S পর্যন্ত এবং R এর দিকে T পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।
ফলে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হলো: ∠PQS এবং ∠PRT।
SQR একটি সরলরেখা হওয়ায়, ∠PQS + ∠PQR = 180° ⇒ ∠PQS = 180° – ∠PQR。
একইভাবে, QRT একটি সরলরেখা হওয়ায়, ∠PRT + ∠PRQ = 180° ⇒ ∠PRT = 180° – ∠PRQ。
দেওয়া আছে, ∠PQR = ∠PRQ।
অতএব, 180° – ∠PQR = 180° – ∠PRQ
সুতরাং, ∠PQS = ∠PRT। (প্রমাণিত)

13. দুটি সরলরেখা পরস্পরকে একটি বিন্দুতে ছেদ করায় যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর দুটি লম্ব সরলরেখা — প্রমাণ করি।

প্রমাণ:
ধরি, AB এবং CD সরলরেখাদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
বিপ্রতীপ কোণগুলি হলো ∠AOC, ∠BOD এবং ∠BOC, ∠AOD।
∠AOC এবং ∠BOD সমান। এদের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বিপরীত দিকে থাকায় তারা একটি সরলরেখা (ধরি XY) গঠন করে।
একইভাবে ∠BOC এবং ∠AOD এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় আরেকটি সরলরেখা (ধরি PQ) গঠন করে।
প্রশ্ন 10 এর প্রমাণ অনুযায়ী, একটি রৈখিক যুগলের (যেমন ∠AOC এবং ∠BOC) সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় (OX এবং OP) পরস্পরের ওপর লম্ব হয় (90°)।
যেহেতু XY এবং PQ সরলরেখা দুটি যথাক্রমে ওই সমদ্বিখণ্ডকগুলিকে ধারণ করে, তাই XY এবং PQ পরস্পর লম্ব সরলরেখা। (প্রমাণিত)