কষে দেখি — 18.1 (ষষ্ঠ শ্রেণি)
1. নিসারের ফলের বাগান থেকে 441 টি কমলালেবু তোলা হয়েছে। অনেকগুলি ঝুড়িতে রাখা হবে। যতগুলি ঝুড়ি আছে প্রত্যেক ঝুড়িতে ততগুলি কমলালেবু রাখলে মোট কতগুলি ঝুড়িতে কমলালেবু রাখা হলো হিসাব করি।
সমাধান:
মোট কমলালেবুর সংখ্যা = 441 টি।
যেহেতু যতগুলি ঝুড়ি আছে, প্রত্যেক ঝুড়িতে ঠিক ততগুলি কমলালেবু রাখা হয়েছে,
তাই ঝুড়ির সংখ্যা হবে মোট কমলালেবুর সংখ্যার বর্গমূল।
∴ ঝুড়ির সংখ্যা = √441
আমরা জানি, 441 = 21 × 21
∴ √441 = 21
উত্তর: মোট 21 টি ঝুড়িতে কমলালেবু রাখা হলো।
2. আজ সকালে আমি আমার ঘরের বইয়ের আলমারিতে বই সাজিয়ে রাখলাম। আলমারিতে যতগুলি তাক ছিল প্রতি তাকে ততগুলি বই রাখলাম। কিন্তু আরও 5 টি বই আলমারির বাইরে থাকল। বইয়ের সংখ্যা 86 টি হলে আলমারির তাকের সংখ্যা কতছিল হিসাব করি।
সমাধান:
মোট বইয়ের সংখ্যা = 86 টি।
আলমারির বাইরে থাকল = 5 টি।
∴ আলমারির ভেতরে রাখা মোট বইয়ের সংখ্যা = (86 – 5) টি = 81 টি।
যেহেতু আলমারিতে যতগুলি তাক আছে, প্রতি তাকে ততগুলি বই রাখা হয়েছে,
তাই তাকের সংখ্যা হবে 81-এর বর্গমূল।
∴ তাকের সংখ্যা = √81
আমরা জানি, 81 = 9 × 9
∴ √81 = 9
উত্তর: আলমারির তাকের সংখ্যা ছিল 9 টি।
3. আজ খেলার মাঠে আমরা বর্গক্ষেত্রাকারে দাঁড়াব ঠিক করেছি। কিছুজন বর্গক্ষেত্রাকারে দাঁড়ানোর পরেও 4 জন বন্ধু মাঠের বাইরে দাঁড়িয়ে আছে। তারা এই বর্গক্ষেত্রাকারের মধ্যে দাঁড়ালে আর বর্গক্ষেত্রাকার থাকবে না। আজ আমাদের শ্রেণিতে উপস্থিত হয়েছে 40 জন। এই বর্গক্ষেত্রাকার সজ্জার প্রতি সারিতে কতজন দাঁড়িয়েছি হিসাব করি।
সমাধান:
মোট উপস্থিত ছাত্রসংখ্যা = 40 জন।
মাঠের বাইরে দাঁড়িয়ে আছে = 4 জন।
∴ বর্গক্ষেত্রাকারে দাঁড়ানো মোট ছাত্রসংখ্যা = (40 – 4) জন = 36 জন।
যেহেতু ছাত্রদের বর্গক্ষেত্রাকারে সাজানো হয়েছে, তাই প্রতি সারিতে ছাত্রসংখ্যা হবে 36-এর বর্গমূল।
∴ প্রতি সারিতে ছাত্রসংখ্যা = √36
আমরা জানি, 36 = 6 × 6
∴ √36 = 6
উত্তর: এই বর্গক্ষেত্রাকার সজ্জার প্রতি সারিতে 6 জন দাঁড়িয়েছি।
4. পাড়ার সুকান্ত স্মৃতি গ্রন্থাগারের সদস্যদের প্রত্যেক সদস্য সদস্যসংখ্যার সমান সংখ্যক টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট 729 টাকা চাঁদা উঠেছে। গ্রন্থাগারের সদস্য কতজন হিসাব করি।
সমাধান:
গ্রন্থাগারে মোট চাঁদা উঠেছে = 729 টাকা।
যেহেতু প্রত্যেক সদস্য সদস্যসংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দিয়েছে,
তাই সদস্য সংখ্যা হবে মোট চাঁদার পরিমাণের বর্গমূল।
∴ সদস্য সংখ্যা = √729
আমরা জানি, 729 = 27 × 27
∴ √729 = 27
উত্তর: গ্রন্থাগারের সদস্য সংখ্যা 27 জন।
5. রঘুনাথপুর গ্রামের একটি পুকুর সংস্কার করতে যতজন লোক কাজে লেগেছিলেন, তারা ততদিন কাজ করে মোট 12375 টাকা পারিশ্রমিক পেলেন। প্রত্যেকের দৈনিক পারিশ্রমিক যদি 55 টাকা হয়, তবে কতজন এই কাজে যোগ দিয়েছিলেন হিসাব করি।
সমাধান:
পুকুর সংস্কারের মোট পারিশ্রমিক = 12375 টাকা।
প্রত্যেকের দৈনিক পারিশ্রমিক = 55 টাকা।
∴ মোট শ্রমিকের সংখ্যা এবং মোট কাজের দিনের গুণফল =
12375
55
= 225
বলা হয়েছে, যতজন লোক কাজে লেগেছিলেন, তারা ঠিক ততদিন কাজ করেছেন।
সুতরাং, শ্রমিকের সংখ্যা হবে 225-এর বর্গমূল।
∴ কাজে যোগ দেওয়া লোকের সংখ্যা = √225
আমরা জানি, 225 = 15 × 15
∴ √225 = 15
উত্তর: 15 জন এই কাজে যোগ দিয়েছিলেন।
6. এই বছরে আমাদের পাড়ার ক্লাব থেকে কিছু সদস্য গাদিয়াড়ায় বেড়াতে যাবে। খরচ হিসাবে প্রত্যেকের কাছ থেকে যতজন সদস্য তার 4 গুণ টাকা নেওয়া হয়েছে। মোট 4096 টাকা চাঁদা উঠেছে। কতজন সদস্য বেড়াতে যাবে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, ক্লাবের সদস্য সংখ্যা = x জন।
প্রত্যেকের কাছ থেকে চাঁদা নেওয়া হয়েছে সদস্য সংখ্যার 4 গুণ = 4x টাকা।
∴ মোট চাঁদা উঠেছে = x × 4x = 4x² টাকা।
শর্তানুসারে,
4x² = 4096
বা, x² =
4096
4
বা, x² = 1024
বা, x = √1024
আমরা জানি, 1024 = 32 × 32
∴ x = 32
উত্তর: 32 জন সদস্য বেড়াতে যাবে।
7. আজ শিশু দিবস। আমরা কিছু ছাত্রছাত্রী স্কুলের জন্য সব ছাত্রছাত্রীদের লজেন্স ও বিস্কুট ভাগ করে দিলাম। কিন্তু 800 টি লজেন্স এখনও পড়ে আছে। আমরা মোট যতজন আছি প্রত্যেকে তার দ্বিগুণ সংখ্যক লজেন্স নিয়ে 800 টি লজেন্স ভাগ করে নিলাম। হিসাব করে দেখি আমরা মোট কতজন 800 টি লজেন্স ভাগ করে নিলাম।
সমাধান:
ধরি, আমরা মোট ছাত্রছাত্রী আছি = x জন।
প্রত্যেকে লজেন্স নিয়েছে নিজেদের সংখ্যার দ্বিগুণ = 2x টি।
∴ মোট লজেন্স ভাগ করা হয়েছে = x × 2x = 2x² টি।
শর্তানুসারে,
2x² = 800
বা, x² =
800
2
বা, x² = 400
বা, x = √400
আমরা জানি, 400 = 20 × 20
∴ x = 20
উত্তর: আমরা মোট 20 জন ছাত্রছাত্রী 800 টি লজেন্স ভাগ করে নিলাম।
8. আঁটলা গ্রামের সফিকুলচাচা তার জমিতে লাগাবার জন্য 780 টি পেঁপের চারা এনেছেন। ঠিক করেছেন যে যতগুলি সারিতে চারা লাগাবেন, প্রতি সারিতে ঠিক ততগুলি করে চারা থাকবে। কিন্তু এভাবে চারা লাগাতে গিয়ে তিনি দেখলেন যে 4 টি চারা কম পড়ছে। সফিকুলচাচা কতগুলি সারিতে চারা লাগাবেন ঠিক করেছেন হিসাব করি।
সমাধান:
সফিকুলচাচা পেঁপের চারা এনেছেন = 780 টি।
বর্গাকারে (যতগুলি সারি, ততগুলি চারা) সাজাতে গিয়ে দেখা গেল 4 টি চারা কম পড়েছে।
অর্থাৎ, ওইভাবে সাজানোর জন্য মোট চারা প্রয়োজন ছিল = (780 + 4) টি = 784 টি।
যেহেতু যতগুলি সারি, প্রতি সারিতে ঠিক ততগুলি করে চারা থাকবে,
তাই সারির সংখ্যা হবে 784-এর বর্গমূল।
∴ সারির সংখ্যা = √784
আমরা জানি, 784 = 28 × 28
∴ √784 = 28
উত্তর: সফিকুলচাচা 28 টি সারিতে চারা লাগাবেন ঠিক করেছেন।
9. আমি পিচবোর্ডের একটি বর্গাকার বাক্স তৈরি করেছি। তাতে অনেকগুলি বর্গাকার খোপ আছে অর্থাৎ খোপগুলিতে যতগুলি সারি আছে, প্রতি সারিতে ততগুলি খোপ আছে। আমার ভাই প্রতি খোপে 1 টি 5 টাকার মুদ্রা, 1 টি 2 টাকার মুদ্রা ও 1 টি 1 টাকার মুদ্রা রেখেছে। ভাই যদি মোট 1152 টাকা রেখে থাকে, তবে আমার তৈরি পিচবোর্ডের বাক্সের প্রতি সারিতে কতগুলি খোপ আছে হিসাব করি।
সমাধান:
প্রতি খোপে রাখা মোট টাকার পরিমাণ = (5 টাকার মুদ্রা + 2 টাকার মুদ্রা + 1 টাকার মুদ্রা)
= (5 + 2 + 1) টাকা = 8 টাকা।
বাক্সে রাখা মোট টাকার পরিমাণ = 1152 টাকা।
∴ বাক্সে মোট খোপের সংখ্যা =
1152
8
= 144 টি।
যেহেতু যতগুলি সারি আছে, প্রতি সারিতে ঠিক ততগুলি খোপ আছে,
তাই প্রতি সারিতে খোপের সংখ্যা হবে 144-এর বর্গমূল।
∴ প্রতি সারিতে খোপের সংখ্যা = √144
আমরা জানি, 144 = 12 × 12
∴ √144 = 12
উত্তর: পিচবোর্ডের বাক্সের প্রতি সারিতে 12 টি খোপ আছে।
10. মনে মনে হিসাব করি —
সমাধান:
(i) 7 -এর বর্গ = 7² = 49
(ii) 121 -এর বর্গমূল = √121 = 11
(iii) 9² = 9 × 9 = 81
(iv) √100 = 10
(v) √49 = 7
(vi) √144 = 12
(vii) √(3² × 2²) = √(9 × 4) = √36 = 6
(viii) √(5 × 7 × 5 × 7) = √(5² × 7²) = 5 × 7 = 35
(ix) √(13 × 13) = √169 = 13
11. উৎপাদকের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় করি —
(i) 169 (ii) 225 (iii) 4² + 3² (iv) 144 (v) 576 (vi) 15² + 20² (vii) 900
সমাধান:
(i) 169
169 = 13 × 13
∴ √169 = 13
(ii) 225
225 = 3 × 75 = 3 × 3 × 25 = 3 × 3 × 5 × 5
∴ √225 = √(3 × 3 × 5 × 5) = 3 × 5 = 15
(iii) 4² + 3²
4² + 3² = 16 + 9 = 25
25 = 5 × 5
∴ √(4² + 3²) = √25 = 5
(iv) 144
144 = 2 × 72 = 2 × 2 × 36 = 2 × 2 × 2 × 18 = 2 × 2 × 2 × 2 × 9 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
∴ √144 = √(2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3) = 2 × 2 × 3 = 12
(v) 576
576 = 2 × 288 = 2 × 2 × 144 = 2 × 2 × 2 × 72 = 2 × 2 × 2 × 2 × 36 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 18 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 9 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
∴ √576 = √(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24
(vi) 15² + 20²
15² + 20² = 225 + 400 = 625
625 = 5 × 125 = 5 × 5 × 25 = 5 × 5 × 5 × 5
∴ √(15² + 20²) = √625 = √(5 × 5 × 5 × 5) = 5 × 5 = 25
(vii) 900
900 = 2 × 450 = 2 × 2 × 225 = 2 × 2 × 3 × 75 = 2 × 2 × 3 × 3 × 25 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
∴ √900 = √(2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5) = 2 × 3 × 5 = 30