কষে দেখি — 18.2 (ষষ্ঠ শ্রেণি)
1. হিসাব করে দেখি শূন্য ছাড়া কোন ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা 12, 16, 20 ও 24 দ্বারা বিভাজ্য।
সমাধান:
প্রথমে 12, 16, 20 ও 24 -এর লসাগু (L.C.M) নির্ণয় করতে হবে।
12 = 2 × 2 × 3
16 = 2 × 2 × 2 × 2
20 = 2 × 2 × 5
24 = 2 × 2 × 2 × 3
∴ লসাগু = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 240
এখন 240 -কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাই,
240 = (2 × 2) × (2 × 2) × 3 × 5
এখানে দেখা যাচ্ছে 3 এবং 5 জোড়ায় নেই। সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে একে (3 × 5) বা 15 দিয়ে গুণ করতে হবে।
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা = 240 × 15 = 3600
উত্তর: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 3600।
2. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 98 এবং বড়ো সংখ্যাটি ছোটো সংখ্যাটির 2 গুণ। হিসাব করে দেখি সংখ্যা দুটি কী কী।
সমাধান:
ধরি, ছোটো সংখ্যাটি = x
তাহলে, বড়ো সংখ্যাটি = 2x
শর্তানুসারে,
x × 2x = 98
বা, 2x² = 98
বা, x² =
98
2
বা, x² = 49
বা, x = √49
বা, x = 7
∴ ছোটো সংখ্যাটি = 7
এবং বড়ো সংখ্যাটি = 7 × 2 = 14
উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো 7 এবং 14।
3. কোন ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গসংখ্যার একটি উৎপাদক 17।
সমাধান:
আমরা জানি, একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে তার মৌলিক উৎপাদকগুলিকে জোড়ায় জোড়ায় থাকতে হবে।
যেহেতু সংখ্যাটির একটি উৎপাদক 17, তাই সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ হতে হলে কমপক্ষে আরও একটি 17 উৎপাদক হিসেবে থাকতে হবে।
∴ ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হবে = 17 × 17 = 289
উত্তর: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হলো 289।
4. 10, 15, 20 ও 30 দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা শূন্য ছাড়া নির্ণয় করি। ওই সংখ্যাগুলি দিয়ে বিভাজ্য পরের পূর্ণবর্গ সংখ্যা কোনটি তা লিখি।
সমাধান:
প্রথমে 10, 15, 20 ও 30 -এর লসাগু নির্ণয় করতে হবে।
10 = 2 × 5
15 = 3 × 5
20 = 2 × 2 × 5
30 = 2 × 3 × 5
∴ লসাগু = 2 × 2 × 3 × 5 = 60
60 -এর উৎপাদক বিশ্লেষণ = (2 × 2) × 3 × 5
এখানে 3 এবং 5 জোড়ায় নেই। সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে (3 × 5) বা 15 দিয়ে গুণ করতে হবে।
∴ ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা = 60 × 15 = 900
পরের পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি পেতে হলে এই 900 -কে পরবর্তী ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা (অর্থাৎ 2² বা 4) দিয়ে গুণ করতে হবে।
∴ পরের পূর্ণবর্গ সংখ্যা = 900 × 4 = 3600
উত্তর: ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা 900 এবং পরের পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি 3600।
5. নীচের সংখ্যাগুলি হিসাব করে ঠিকমতো ঘরে লিখি।
20, 27, 50, 75, 100, 108, 144, 169, 180, 256
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
20 = 2 × 2 × 5 (পূর্ণবর্গ নয়, 5 দিয়ে গুণ করতে হবে)
27 = 3 × 3 × 3 (পূর্ণবর্গ নয়, 3 দিয়ে গুণ করতে হবে)
50 = 2 × 5 × 5 (পূর্ণবর্গ নয়, 2 দিয়ে গুণ করতে হবে)
75 = 3 × 5 × 5 (পূর্ণবর্গ নয়, 3 দিয়ে গুণ করতে হবে)
100 = 10 × 10 (পূর্ণবর্গ সংখ্যা)
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 (পূর্ণবর্গ নয়, 3 দিয়ে গুণ করতে হবে)
144 = 12 × 12 (পূর্ণবর্গ সংখ্যা)
169 = 13 × 13 (পূর্ণবর্গ সংখ্যা)
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 (পূর্ণবর্গ নয়, 5 দিয়ে গুণ করতে হবে)
256 = 16 × 16 (পূর্ণবর্গ সংখ্যা)
| পূর্ণবর্গ সংখ্যা | পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয় | ক্ষুদ্রতম কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করলে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে |
|---|---|---|
|
100 144 169 256 |
20 27 50 75 108 180 |
20 কে 5 দিয়ে 27 কে 3 দিয়ে 50 কে 2 দিয়ে 75 কে 3 দিয়ে 108 কে 3 দিয়ে 180 কে 5 দিয়ে |
6. এবছরে নেতাজির জন্মদিবসে আমাদের শারীরশিক্ষার শিক্ষক উপস্থিত ছাত্রদের 18, 24 ও 27 সারিতে দাঁড় করিয়ে কুচকাওয়াজ করিয়েছেন। এক সময়ে তাদের নিরেট বর্গক্ষেত্রাকারেও সাজিয়েছেন। ওইদিন আমরা কমপক্ষে কতজন বিদ্যালয়ে গিয়েছিলাম হিসাব করি।
সমাধান:
যেহেতু ছাত্রদের নিরেট বর্গক্ষেত্রাকারে সাজানো হয়েছে এবং 18, 24 ও 27 সারিতেও দাঁড় করানো গেছে, তাই ছাত্রসংখ্যা হবে 18, 24 ও 27 এর লসাগু দিয়ে বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
18 = 2 × 3 × 3
24 = 2 × 2 × 2 × 3
27 = 3 × 3 × 3
∴ লসাগু = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 216
এখন, 216 = (2 × 2) × 2 × (3 × 3) × 3
এখানে দেখা যাচ্ছে 2 এবং 3 জোড়ায় নেই। সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে (2 × 3) বা 6 দিয়ে গুণ করতে হবে।
∴ কমপক্ষে ছাত্রসংখ্যা = 216 × 6 = 1296 জন।
উত্তর: ওইদিন কমপক্ষে 1296 জন ছাত্র বিদ্যালয়ে গিয়েছিল।
7. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 147; বড়ো সংখ্যাটি ছোটো সংখ্যার 3 গুণ। সংখ্যা দুটি কী কী হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, ছোটো সংখ্যাটি = x
তাহলে, বড়ো সংখ্যাটি = 3x
শর্তানুসারে,
x × 3x = 147
বা, 3x² = 147
বা, x² =
147
3
বা, x² = 49
বা, x = √49
বা, x = 7
∴ ছোটো সংখ্যাটি = 7
এবং বড়ো সংখ্যাটি = 7 × 3 = 21
উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো 7 এবং 21।
8. মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজাই:
√36 + √25, √49 + √9, √25 + √100, √4 + √16
সমাধান:
প্রথমে মানগুলি নির্ণয় করি:
√36 + √25 = 6 + 5 = 11
√49 + √9 = 7 + 3 = 10
√25 + √100 = 5 + 10 = 15
√4 + √16 = 2 + 4 = 6
মানগুলিকে ঊর্ধ্বক্রমে (ছোটো থেকে বড়ো) সাজালে পাই:
6 < 10 < 11 < 15
উত্তর: ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই —
√4 + √16, √49 + √9, √36 + √25, √25 + √100
9. তিনটি ধনাত্মক সংখ্যার প্রথম ও দ্বিতীয়টির গুণফল 24; দ্বিতীয় ও তৃতীয়টির গুণফল 48; এবং প্রথম ও তৃতীয়টির গুণফল 32; সংখ্যা তিনটি কী কী হবে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা তিনটি হলো ক, খ এবং গ।
শর্তানুসারে,
ক × খ = 24 …… (i)
খ × গ = 48 …… (ii)
ক × গ = 32 …… (iii)
এখন (i), (ii) এবং (iii) গুণ করে পাই,
(ক × খ) × (খ × গ) × (ক × গ) = 24 × 48 × 32
বা, ক² × খ² × গ² = 36864
বা, (ক × খ × গ)² = 36864
বা, ক × খ × গ = √36864 = 192
∴ তিনটি সংখ্যার গুণফল (ক × খ × গ) = 192
এখন,
তৃতীয় সংখ্যা (গ) =
ক × খ × গ
ক × খ
=
192
24
= 8
প্রথম সংখ্যা (ক) =
ক × খ × গ
খ × গ
=
192
48
= 4
দ্বিতীয় সংখ্যা (খ) =
ক × খ × গ
ক × গ
=
192
32
= 6
উত্তর: সংখ্যা তিনটি হলো 4, 6 এবং 8।
10. প্রজাতন্ত্র দিবসে শারীর শিক্ষার শিক্ষক মহাশয় সমস্ত ছাত্রছাত্রীদের নিয়ে বিভিন্ন সময়ে 12, 15 ও 20 সারিতে দাঁড় করিয়ে নানা কুচকাওয়াজ করান। একসময় ছাত্রছাত্রীদের নিরেট বর্গক্ষেত্রাকার করেও সাজান। ওই দিন কমপক্ষে কতজন ছাত্রছাত্রী বিদ্যালয়ে উপস্থিত ছিল হিসাব করি।
সমাধান:
ছাত্রছাত্রীদের 12, 15 ও 20 সারিতে দাঁড় করানো যায় এবং নিরেট বর্গক্ষেত্রাকারেও সাজানো যায়।
তাই ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা হবে 12, 15 ও 20 এর লসাগু দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
12 = 2 × 2 × 3
15 = 3 × 5
20 = 2 × 2 × 5
∴ লসাগু = 2 × 2 × 3 × 5 = 60
60 -এর উৎপাদক বিশ্লেষণ = (2 × 2) × 3 × 5
এখানে 3 এবং 5 জোড়ায় নেই। সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে (3 × 5) বা 15 দিয়ে গুণ করতে হবে।
∴ কমপক্ষে ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা = 60 × 15 = 900 জন।
উত্তর: ওই দিন কমপক্ষে 900 জন ছাত্রছাত্রী বিদ্যালয়ে উপস্থিত ছিল।