কষে দেখি — 21 (ষষ্ঠ শ্রেণি)
1. নীচের কোন কোন ক্ষেত্রে অনুপাত তৈরি করা সম্ভব লিখি।
a) আমার বন্ধু জয়িতার ওজন ও জয়িতার উচ্চতা।
b) এ মাসে আমি কতদিন স্কুলে গেছি ও আমার বন্ধু জাহির কতদিন স্কুলে গেছে।
c) আমার কাছে কতটাকা ছিল ও কতটাকা খরচ করছি।
d) আমার বোতলে কত লিটার জল আছে ও সেই জলের তাপমাত্রা।
e) আমি আজ সারাদিনে কতক্ষণ খেলেছি ও আমার ভাই কতক্ষণ খেলেছে।
সমাধান:
আমরা জানি, অনুপাত শুধুমাত্র সমজাতীয় (একই একক বিশিষ্ট) রাশির মধ্যেই তৈরি করা সম্ভব।
a) ওজন এবং উচ্চতা ভিন্ন জাতীয় রাশি। তাই এদের অনুপাত তৈরি করা সম্ভব নয়।
b) দুটিই ‘দিন’ (সময়) বোঝাচ্ছে। তাই এদের অনুপাত তৈরি করা সম্ভব।
c) দুটিই ‘টাকা’ (অর্থ) বোঝাচ্ছে। তাই এদের অনুপাত তৈরি করা সম্ভব।
d) লিটার (আয়তন) এবং তাপমাত্রা ভিন্ন জাতীয় রাশি। তাই এদের অনুপাত তৈরি করা সম্ভব নয়।
e) দুটিই ‘সময়’ বোঝাচ্ছে। তাই এদের অনুপাত তৈরি করা সম্ভব।
2. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও গুরু অনুপাত না লঘু অনুপাত লিখি।
i) 10 কিগ্রা. ও 15 কিগ্রা. ii) 27 টি ও 18 টি
iii) 30 টাকা ও 22.50 টাকা iv) 4.9 লিটার ও 8.4 লিটার
v) 52 মিটার ও 78 মিটার vi) 1 ঘণ্টা 24 মিনিট ও 6 ঘণ্টা 18 মিনিট
সমাধান:
i) 10 কিগ্রা. : 15 কিগ্রা. = 10 : 15 = 2 : 3 (যেহেতু পূর্বপদ < উত্তরপদ, তাই এটি লঘু অনুপাত)
ii) 27 টি : 18 টি = 27 : 18 = 3 : 2 (যেহেতু পূর্বপদ > উত্তরপদ, তাই এটি গুরু অনুপাত)
iii) 30 টাকা : 22.50 টাকা = 30 : 22.50 = 3000 : 2250 = 300 : 225 = 12 : 9 = 4 : 3 (এটি গুরু অনুপাত)
iv) 4.9 লিটার : 8.4 লিটার = 4.9 : 8.4 = 49 : 84 = 7 : 12 (এটি লঘু অনুপাত)
v) 52 মিটার : 78 মিটার = 52 : 78 = 2 : 3 (26 দিয়ে কাটাকাটি করে) (এটি লঘু অনুপাত)
vi) 1 ঘণ্টা 24 মিনিট = (1 × 60 + 24) মিনিট = 84 মিনিট।
6 ঘণ্টা 18 মিনিট = (6 × 60 + 18) মিনিট = (360 + 18) মিনিট = 378 মিনিট।
অনুপাত = 84 : 378 = 14 : 63 = 2 : 9 (এটি লঘু অনুপাত)
3. 2 মিটার লম্বা বাঁশের দৈর্ঘ্যের 75 সেমি. দৈর্ঘ্যে লাল রং দিলাম। বাঁশের বাকি দৈর্ঘ্যে সাদা রং দিলাম।
i) বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য ও বাঁশে লাল রং দেওয়া দৈর্ঘ্যের অনুপাত লিখি।
ii) বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য ও বাঁশে সাদা রং দেওয়া দৈর্ঘ্যের অনুপাত লিখি।
iii) বাঁশে লাল রং দেওয়া দৈর্ঘ্য ও সাদা রং দেওয়া দৈর্ঘ্যের অনুপাত লিখি।
সমাধান:
বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য = 2 মিটার = 200 সেমি।
লাল রং দেওয়া হয়েছে = 75 সেমি।
∴ সাদা রং দেওয়া হয়েছে = (200 – 75) সেমি = 125 সেমি।
i) বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য : লাল রং দেওয়া দৈর্ঘ্য = 200 : 75 = 8 : 3
ii) বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য : সাদা রং দেওয়া দৈর্ঘ্য = 200 : 125 = 8 : 5
iii) লাল রং দেওয়া দৈর্ঘ্য : সাদা রং দেওয়া দৈর্ঘ্য = 75 : 125 = 3 : 5
4. আমার ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 7 : 5। আমার ঘরের পরিসীমা ওই অনুপাতে কী কী হতে পারে তার চারটি লিখি।
সমাধান:
ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত = 7 : 5
ধরি, ঘরের দৈর্ঘ্য = 7x একক এবং প্রস্থ = 5x একক (যেখানে x একটি ধনাত্মক সংখ্যা)।
আমরা জানি, আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2 × (7x + 5x) = 2 × 12x = 24x একক।
পরিসীমা 24-এর যেকোনো গুণিতক হতে পারে। x-এর মান যথাক্রমে 1, 2, 3, 4 বসালে পরিসীমার সম্ভাব্য চারটি মান হবে:
1. 24 × 1 = 24 মিটার
2. 24 × 2 = 48 মিটার
3. 24 × 3 = 72 মিটার
4. 24 × 4 = 96 মিটার
5. আমার কাছে 26টি স্ট্যাম্প আছে। আমি ও মিতা 8 : 5 অনুপাতে স্ট্যাম্পগুলি ভাগ করে নেব। হিসাব করে দেখি আমি ও মিতা প্রত্যেকে কতগুলি করে স্ট্যাম্প নেব।
সমাধান:
মোট স্ট্যাম্পের সংখ্যা = 26 টি।
আমার ও মিতার স্ট্যাম্পের অনুপাত = 8 : 5
অনুপাতের পদগুলির সমষ্টি = 8 + 5 = 13
আমি স্ট্যাম্প পাব = 26 ×
8
13
= 2 × 8 = 16 টি।
মিতা স্ট্যাম্প পাবে = 26 ×
5
13
= 2 × 5 = 10 টি।
উত্তর: আমি 16 টি এবং মিতা 10 টি স্ট্যাম্প নেবে।
6. আমার পড়ার বই ও গল্পের বইয়ের অনুপাত 4 : 3; পড়ার বই 28টি হলে গল্পের বইয়ের সংখ্যা কত হিসাব করি ও মোট বই কত হিসাব করি।
সমাধান:
পড়ার বই : গল্পের বই = 4 : 3
দেওয়া আছে, পড়ার বইয়ের সংখ্যা = 28 টি।
শর্তানুসারে,
পড়ার বই
গল্পের বই
=
4
3
বা,
28
গল্পের বই
=
4
3
বা, 4 × গল্পের বই = 28 × 3 = 84
বা, গল্পের বই =
84
4
= 21 টি।
মোট বইয়ের সংখ্যা = (পড়ার বই + গল্পের বই) = (28 + 21) = 49 টি।
উত্তর: গল্পের বইয়ের সংখ্যা 21 টি এবং মোট বই 49 টি।
7. এক ধরনের গহনায় সোনা ও রূপো 4 : 7 অনুপাতে মেশানো আছে। এই রকম গহনার 357 মিলিগ্রাম রূপোর সাথে কত মিলিগ্রাম সোনা মেশানো হয়েছে হিসাব করি।
সমাধান:
সোনা : রূপো = 4 : 7
দেওয়া আছে, রূপোর পরিমাণ = 357 মিলিগ্রাম।
শর্তানুসারে,
সোনা
রূপো
=
4
7
বা,
সোনা
357
=
4
7
বা, সোনা = 357 ×
4
7
= 51 × 4 = 204 মিলিগ্রাম।
উত্তর: ওই গহনায় 204 মিলিগ্রাম সোনা মেশানো হয়েছে।
8. সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান সমান এবং প্রতিটি কোণের মান 60°।
∴ সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত = 60° : 60° : 60° = 1 : 1 : 1
উত্তর: সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 1।
9. সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত লিখি।
সমাধান:
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ বা 90° এবং অপর দুটি কোণ পরস্পর সমান।
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180° হওয়ায় বাকি দুটি কোণের প্রত্যেকটির মান =
180° – 90°
2
=
90°
2
= 45°।
কোণ তিনটি হলো: 90°, 45° এবং 45°।
∴ তিনটি কোণের অনুপাত = 90 : 45 : 45 = 2 : 1 : 1
উত্তর: সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 1 : 1।
10. 210 টাকা ফতেমা ও শাকিলের মধ্যে 3 : 4 অনুপাতে ভাগ করে দেওয়ার চেষ্টা করি। কাকে কত টাকা দেব হিসাব করি।
সমাধান:
মোট টাকার পরিমাণ = 210 টাকা।
ফতেমা ও শাকিলের টাকার অনুপাত = 3 : 4
অনুপাতের পদগুলির সমষ্টি = 3 + 4 = 7
ফতেমা পাবে = 210 ×
3
7
= 30 × 3 = 90 টাকা।
শাকিল পাবে = 210 ×
4
7
= 30 × 4 = 120 টাকা।
উত্তর: ফতেমাকে 90 টাকা এবং শাকিলকে 120 টাকা দেব।
11. মোহিত এক দোকান থেকে 18 টাকায় 6টা কলা কিনে আনল। কিন্তু রাজু অন্য দোকান থেকে 2ডজন কলা 72 টাকায় কিনল। অনুপাতে প্রকাশ করে দেখি কে কলা কিনতে বেশি টাকা দিয়েছে।
সমাধান:
মোহিতের কেনা কলার সংখ্যা = 6 টি এবং রাজুর কেনা কলার সংখ্যা = 2 ডজন = (2 × 12) = 24 টি।
∴ মোহিতের কলার সংখ্যা : রাজুর কলার সংখ্যা = 6 : 24 = 1 : 4
মোহিতের কলার দাম = 18 টাকা এবং রাজুর কলার দাম = 72 টাকা।
∴ মোহিতের কলার দাম : রাজুর কলার দাম = 18 : 72 = 1 : 4
যেহেতু, কলার সংখ্যার অনুপাত এবং কলার দামের অনুপাত সমান (1 : 4 = 1 : 4), তাই দুজনেই একই অনুপাতে (বা একই দামে) কলা কিনেছে।
উত্তর: দুজনেই কলা কিনতে সমান টাকা (প্রতি কলায়) দিয়েছে, কেউ বেশি টাকা দেয়নি।
12. আমাদের স্কুল থেকে আয়েশা ও কামালের বাড়ি যথাক্রমে 1 কিমি. ও 600 মিটার দূরে। আজ আয়েশা ও কামাল বাড়ি থেকে যথাক্রমে 20 মিনিটে ও 12 মিনিটে স্কুলে এসেছে। অনুপাতে প্রকাশ করে দেখি ওরা একই সময়ে না একজন আগে স্কুলে এসেছে।
সমাধান:
আয়েশার বাড়ি থেকে স্কুলের দূরত্ব = 1 কিমি = 1000 মিটার।
কামালের বাড়ি থেকে স্কুলের দূরত্ব = 600 মিটার।
∴ আয়েশা ও কামালের দূরত্বের অনুপাত = 1000 : 600 = 10 : 6 = 5 : 3
আয়েশার স্কুলে আসতে সময় লাগে = 20 মিনিট।
কামালের স্কুলে আসতে সময় লাগে = 12 মিনিট।
∴ আয়েশা ও কামালের সময়ের অনুপাত = 20 : 12 = 5 : 3
যেহেতু দূরত্বের অনুপাত এবং সময়ের অনুপাত সমান (5 : 3 = 5 : 3), তাই তাদের দুজনের হাঁটার বেগ সমান।
উত্তর: অনুপাতে প্রকাশ করে দেখলাম, দূরত্বের সাথে সময়ের অনুপাত সমান। অর্থাৎ তারা একই বেগে (একই সময়ে) স্কুলে এসেছে।
13. নীচের অনুপাতগুলির মধ্যে কোন কোন অনুপাতগুলি সমান হিসাব করি।
সমাধান:
i) 3 : 3 = 1 : 1 এবং 5 : 5 = 1 : 1 (অনুপাতগুলি সমান)
ii) 20 : 24 = 5 : 6 এবং 25 : 30 = 5 : 6 (অনুপাতগুলি সমান)
iii) 1 : 9 এবং 9 : 18 = 1 : 2 (অনুপাতগুলি সমান নয়)
iv) 28 : 21 = 4 : 3 এবং 20 : 15 = 4 : 3 (অনুপাতগুলি সমান)
v) 1.4 : 0.6 = 14 : 6 = 7 : 3 এবং 6.3 : 2.7 = 63 : 27 = 7 : 3 (অনুপাতগুলি সমান)
vi) 52 : 39 = 4 : 3 এবং 44 : 33 = 4 : 3 (অনুপাতগুলি সমান)
14. নীচের কোন সংখ্যাগুলি সমানুপাতে আছে দেখি।
সমাধান:
i) 9, 7, 36, 28:
প্রথম দুটি পদের অনুপাত = 9 : 7
শেষ দুটি পদের অনুপাত = 36 : 28 = 9 : 7
যেহেতু 9 : 7 = 36 : 28, তাই সংখ্যাগুলি সমানুপাতে আছে।
ii) 12, 30, 14, 70:
প্রথম দুটি পদের অনুপাত = 12 : 30 = 2 : 5
শেষ দুটি পদের অনুপাত = 14 : 70 = 1 : 5
যেহেতু অনুপাত সমান নয়, তাই সংখ্যাগুলি সমানুপাতে নেই।
iii) 24, 6, 108, 27:
প্রথম দুটি পদের অনুপাত = 24 : 6 = 4 : 1
শেষ দুটি পদের অনুপাত = 108 : 27 = 4 : 1
যেহেতু অনুপাত সমান, তাই সংখ্যাগুলি সমানুপাতে আছে।
iv)
1
2
, 1,
3
5
, 1
1
5
:
প্রথম দুটি পদের অনুপাত =
1
2
: 1 = 1 : 2
শেষ দুটি পদের অনুপাত =
3
5
:
6
5
= 3 : 6 = 1 : 2
যেহেতু অনুপাত সমান, তাই সংখ্যাগুলি সমানুপাতে আছে।
v) 72, 45, 70, 25:
প্রথম দুটি পদের অনুপাত = 72 : 45 = 8 : 5
শেষ দুটি পদের অনুপাত = 70 : 25 = 14 : 5
যেহেতু অনুপাত সমান নয়, তাই সংখ্যাগুলি সমানুপাতে নেই।
vi) [নিজে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বসাই]:
ধরি সংখ্যাগুলি হলো: 2, 3, 4, 6
এখানে, 2 : 3 এবং 4 : 6 = 2 : 3 (অনুপাত সমান)।
তাই 2, 3, 4, 6 সংখ্যাগুলি সমানুপাতে আছে।
15. নীচের সংখ্যাগুলি সমানুপাতে আছে কিনা দেখি এবং প্রত্যেক ক্ষেত্রে যতগুলি সমানুপাত তৈরি করা যায় তা করি।
সমাধান:
আমরা জানি, চারটি সংখ্যা সমানুপাতে থাকলে (প্রথম পদ × চতুর্থ পদ) = (দ্বিতীয় পদ × তৃতীয় পদ) হয়।
a) 60, 2, 10, 12
প্রান্তীয় পদ দুটির গুণফল = 60 × 2 = 120 এবং মধ্য পদ দুটির গুণফল = 10 × 12 = 120.
যেহেতু 60 × 2 = 10 × 12, তাই সংখ্যাগুলি সমানুপাতে আছে।
তৈরি করা সমানুপাতগুলি হলো:
1. 60 : 10 :: 12 : 2
2. 60 : 12 :: 10 : 2
3. 2 : 10 :: 12 : 60
4. 2 : 12 :: 10 : 60
b) 4, 10, 6, 15
প্রান্তীয় পদ দুটির গুণফল = 4 × 15 = 60 এবং মধ্য পদ দুটির গুণফল = 10 × 6 = 60.
যেহেতু 4 × 15 = 10 × 6, তাই সংখ্যাগুলি সমানুপাতে আছে।
তৈরি করা সমানুপাতগুলি হলো:
1. 4 : 10 :: 6 : 15
2. 4 : 6 :: 10 : 15
3. 15 : 10 :: 6 : 4
4. 15 : 6 :: 10 : 4
c) 8, 9, 24, 2
যেকোনো দুটি করে সংখ্যার গুণফল যাচাই করলে দেখা যায় কোনোভাবেই দুটি গুণফল সমান হচ্ছে না (যেমন: 8×2=16 এবং 9×24=216)।
তাই সংখ্যাগুলি সমানুপাতে নেই।
d) 3, 5, 15, 25
প্রান্তীয় পদ দুটির গুণফল = 3 × 25 = 75 এবং মধ্য পদ দুটির গুণফল = 5 × 15 = 75.
যেহেতু 3 × 25 = 5 × 15, তাই সংখ্যাগুলি সমানুপাতে আছে।
তৈরি করা সমানুপাতগুলি হলো:
1. 3 : 5 :: 15 : 25
2. 3 : 15 :: 5 : 25
3. 25 : 5 :: 15 : 3
4. 25 : 15 :: 5 : 3
e) 45, 5, 75, 5
যেকোনো দুটি করে সংখ্যার গুণফল যাচাই করলে দেখা যায় কোনোভাবেই দুটি গুণফল সমান হচ্ছে না।
তাই সংখ্যাগুলি সমানুপাতে নেই।
f) 24, 4, 36, 6
প্রান্তীয় পদ দুটির গুণফল = 24 × 6 = 144 এবং মধ্য পদ দুটির গুণফল = 4 × 36 = 144.
যেহেতু 24 × 6 = 4 × 36, তাই সংখ্যাগুলি সমানুপাতে আছে।
তৈরি করা সমানুপাতগুলি হলো:
1. 24 : 4 :: 36 : 6
2. 24 : 36 :: 4 : 6
3. 6 : 4 :: 36 : 24
4. 6 : 36 :: 4 : 24
16. আমার বন্ধু প্রিয়ার উচ্চতা 160 সেমি. ও তার মায়ের উচ্চতা 170 সেমি.। আবার প্রিয়ার ওজন 40 কিগ্রা. এবং তার মায়ের ওজন 42.5 কিগ্রা.। তাদের উচ্চতার সাথে ওজন সমানুপাতে আছে কিনা হিসাব করি।
সমাধান:
প্রিয়া ও তার মায়ের উচ্চতার অনুপাত = 160 সেমি. : 170 সেমি. = 16 : 17
প্রিয়া ও তার মায়ের ওজনের অনুপাত = 40 কিগ্রা. : 42.5 কিগ্রা.
= 400 : 425 [উভয়পদকে 10 দিয়ে গুণ করে দশমিক তুলে]
= 16 : 17 [উভয়পদকে 25 দিয়ে ভাগ করে]
যেহেতু উচ্চতার অনুপাত এবং ওজনের অনুপাত সমান (16 : 17 = 16 : 17), তাই বলা যায়:
প্রিয়া ও তার মায়ের উচ্চতা এবং ওজন সমানুপাতে আছে।
উত্তর: হ্যাঁ, তাদের উচ্চতার সাথে ওজন সমানুপাতে আছে।