গণিতপ্রকাশ - দশম শ্রেণি, অধ্যায়: ১২, গোলক

কষে দেখি — 12 (গোলক)

1. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 10.5 সেমি.
আমরা জানি, গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr²
= 4 × 22 7 × (10.5)²
= 4 × 22 7 × 10.5 × 10.5
= 4 × 22 × 1.5 × 10.5
= 88 × 15.75 = 1386 বর্গ সেমি.
উত্তর: গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1386 বর্গ সেমি.।

2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি. 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বল তৈরি করতে মোট খরচ = 431.20 টাকা
প্রতি বর্গ সেমি. খরচ = 17.50 টাকা
∴ বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 431.20 17.50 = 4312 175 = 24.64 বর্গ সেমি.
ধরি, বলটির ব্যাসার্ধ = r সেমি.
শর্তানুসারে,
4πr² = 24.64
বা, 4 × 22 7 × r² = 24.64
বা, r² = 24.64 × 7 4 × 22 = 172.48 88 = 1.96
বা, r = √1.96 = 1.4 সেমি.
∴ বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2r = 2 × 1.4 = 2.8 সেমি.
উত্তর: বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 সেমি.।

3. স্কুলে সটপুট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 7 সেমি.
∴ ব্যাসার্ধ (r) = 7 2 সেমি. = 3.5 সেমি.
বলটিতে লোহার পরিমাণ (অর্থাৎ আয়তন) = 4 3 πr³
= 4 3 × 22 7 × 7 2 × 7 2 × 7 2
= 11 × 7 × 7 3 = 539 3 = 179 2 3 ঘন সেমি.
উত্তর: বলটিতে 179 2 3 ঘন সেমি. লোহা আছে।

4. 28 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
আর্কিমিডিসের সূত্র অনুযায়ী, কোনো বস্তু জলে সম্পূর্ণ নিমজ্জিত করলে তার সমআয়তন জল অপসারিত করে।
নিরেট গোলকের ব্যাস = 28 সেমি.
∴ ব্যাসার্ধ (r) = 28 / 2 = 14 সেমি.
অপসারিত জলের পরিমাণ = গোলকের আয়তন = 4 3 πr³
= 4 3 × 22 7 × 14 × 14 × 14
= 88 × 2 × 196 3 = 34496 3 = 11498 2 3 ঘন সেমি.
উত্তর: গোলকটি 11498 2 3 ঘন সেমি. জল অপসারিত করবে।

5. কোনো গোলাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. থেকে 21 সেমি. হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
বেলুনটির পূর্বের ব্যাসার্ধ (r₁) = 7 সেমি.
বেলুনটির পরের ব্যাসার্ধ (r₂) = 21 সেমি.
পূর্বের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (S₁) = 4π(r₁)²
পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (S₂) = 4π(r₂)²
অনুপাত (S₁ : S₂) = 4π(7)² : 4π(21)²
= 7² : 21² = 49 : 441
= 1 : 9 (49 দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 9।

6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে 127 2 7 বর্গ সেমি. পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, অর্ধগোলাকৃতি বাটিটির ব্যাসার্ধ = r সেমি.
বাটিটি ফাঁপা (যেহেতু এটি একটি বাটি), তাই পাত লেগেছে এর বক্রতলে।
অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr²
শর্তানুসারে,
2πr² = 127 2 7
বা, 2 × 22 7 × r² = 891 7
উভয়দিক থেকে 7 বাদ দিয়ে পাই:
44r² = 891
বা, r² = 891 44 = 81 4 (11 দিয়ে কেটে)
বা, r = √( 81 4 ) = 9 2 = 4.5 সেমি.
∴ বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2r = 2 × 4.5 = 9 সেমি.
উত্তর: বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 সেমি.।

7. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি.। ওই গোলাটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং ওই লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।
সমাধান:
গোলার ব্যাসার্ধ (r) = 2.1 সেমি.
প্রথম অংশ (আয়তন বা লোহার পরিমাণ):
গোলকটিতে লোহা আছে = 4 3 πr³
= 4 3 × 22 7 × (2.1)³
= 88 21 × 2.1 × 2.1 × 2.1
= 88 × 0.1 × 2.1 × 2.1 = 8.8 × 4.41 = 38.808 ঘন সেমি.
দ্বিতীয় অংশ (বক্রতলের ক্ষেত্রফল):
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr²
= 4 × 22 7 × (2.1)²
= 88 7 × 2.1 × 2.1
= 88 × 0.3 × 2.1 = 26.4 × 2.1 = 55.44 বর্গ সেমি.
উত্তর: গোলাটিতে 38.808 ঘন সেমি. লোহা আছে এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 55.44 বর্গ সেমি.।

8. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বড়ো গোলকের ব্যাস = 14 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (R) = 7 সেমি.
বড়ো গোলকের আয়তন = 4 3 π(7)³ ঘন সেমি.
ছোটো গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি.
একটি ছোটো গোলকের আয়তন = 4 3 π(3.5)³ ঘন সেমি.
নির্ণেয় ছোটো গোলকের সংখ্যা = বড়ো গোলকের আয়তন ছোটো গোলকের আয়তন
= (4/3)π(7)³ (4/3)π(3.5)³ = ( 7 3.5 )³ = 2³ = 8
উত্তর: 8 টি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে।

9. 3 সেমি., 4 সেমি. ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
তিনটি ছোটো গোলকের মোট আয়তন = নতুন বড়ো গোলকের আয়তন।
ধরি, নতুন বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধ = R সেমি.
শর্তানুসারে,
4 3 πR³ = 4 3 π(3)³ + 4 3 π(4)³ + 4 3 π(5)³
বা, 4 3 πR³ = 4 3 π(3³ + 4³ + 5³)
উভয়দিক থেকে 4 3 π বাদ দিয়ে পাই:
R³ = 27 + 64 + 125
বা, R³ = 216
বা, R = ∛216 = 6
উত্তর: বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।

10. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি.। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাস = 42 ডেসিমি.
∴ ব্যাসার্ধ (r) = 42 / 2 = 21 ডেসিমি. = 2.1 মিটার।
গম্বুজের উপরিতলের ক্ষেত্রফল (অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল) = 2πr²
= 2 × 22 7 × (2.1)²
= 2 × 22 7 × 2.1 × 2.1
= 44 × 0.3 × 2.1 = 13.2 × 2.1 = 27.72 বর্গ মিটার।
প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে রং করতে খরচ হবে = 27.72 × 35 = 970.20 টাকা।
উত্তর: গম্বুজটি রং করতে 970.20 টাকা খরচ পড়বে।

11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি. এবং 17.5 সেমি.। গোলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রথম গোলকের ব্যাস = 21 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r₁) = 21 / 2 = 10.5 সেমি.
দ্বিতীয় গোলকের ব্যাস = 17.5 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r₂) = 17.5 / 2 = 8.75 সেমি.
ফাঁপা গোলক তৈরি করতে যে পাত লাগে তা হলো গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (4πr²)।
পাতের অনুপাত = 4π(r₁)² : 4π(r₂)² = (r₁)² : (r₂)²
= (10.5)² : (8.75)²
= 21 2 ² : 35 4 ²
= 441 4 : 1225 16
উভয়দিকে 16 দিয়ে গুণ করে পাই:
= 441 × 4 : 1225
= 1764 : 1225
উভয়কে 49 দিয়ে ভাগ করে পাই:
= 36 : 25
উত্তর: ধাতুর পাতের অনুপাত 36 : 25।

12. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, আগের গোলকের ব্যাসার্ধ = R এবং নতুন (অবশিষ্ট) গোলকের ব্যাসার্ধ = r
শর্তানুসারে, নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 1 2 × আগের গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
4πr² = 1 2 (4πR²)
বা, r² = R² 2 ⇒ R² = 2r² ⇒ R = r√2
আগের গোলকের আয়তন (V₁) = 4 3 πR³ = 4 3 π(r√2)³ = 4 3 πr³(2√2)
অবশিষ্ট গোলকের আয়তন (V₂) = 4 3 πr³
কেটে নেওয়া অংশের আয়তন = V₁ – V₂ = 4 3 πr³(2√2) – 4 3 πr³ = 4 3 πr³(2√2 – 1)
অনুপাত (কেটে নেওয়া অংশ : অবশিষ্ট অংশ) = 4 3 πr³(2√2 – 1) : 4 3 πr³
= (2√2 – 1) : 1
উত্তর: কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত (2√2 – 1) : 1।

13. 14 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
সমাধান:
ভূগোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 14 সেমি.
ভূগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πR² = 4 × 22 7 × (14)²
= 4 × 22 7 × 196 = 88 × 28 = 2464 বর্গ সেমি.
প্রতিটি বৃত্তাকার ছিদ্রের ব্যাসার্ধ (r) = 0.7 সেমি.
দুটি ছিদ্রের মোট ক্ষেত্রফল = 2 × πr² = 2 × 22 7 × (0.7)²
= 2 × 22 7 × 0.49 = 44 × 0.07 = 3.08 বর্গ সেমি.
গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল = সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল – দুটি ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
= 2464 – 3.08 = 2460.92 বর্গ সেমি.
উত্তর: ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল 2460.92 বর্গ সেমি.।

14. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বড়ো গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 8 সেমি.
বড়ো গোলকের আয়তন = 4 3 πR³ = 4 3 π(8)³ ঘন সেমি.
ছোটো গুলির ব্যাসার্ধ (r) = 1 সেমি.
একটি ছোটো গুলির আয়তন = 4 3 πr³ = 4 3 π(1)³ ঘন সেমি.
নির্ণেয় গুলির সংখ্যা = বড়ো গোলকের আয়তন ছোটো গুলির আয়তন = (4/3)π(8)³ (4/3)π(1)³ = 8³ = 512
উত্তর: 512 টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে।

15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
সমাধান: আয়তন = 4 3 π(2r)³ = 4 3 π(8r³) = 32πr³ 3 ঘন একক
উত্তর: (a) 32πr³ 3 ঘন একক

(ii) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 1:8 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
সমাধান: V₁/V₂ = 1/8 ⇒ (r₁/r₂)³ = 1/8 ⇒ r₁/r₂ = 1/2। বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত (r₁/r₂)² = (1/2)² = 1/4 = 1:4
উত্তর: (b) 1:4

(iii) 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
সমাধান: নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr² = 3π(7)² = 3 × 49 × π = 147π বর্গ সেমি.
উত্তর: (c) 147π বর্গ সেমি.

(iv) দুটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16:9 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত
সমাধান: S₁/S₂ = 16/9 ⇒ (r₁/r₂)² = 16/9 ⇒ r₁/r₂ = 4/3। আয়তনের অনুপাত (r₁/r₂)³ = (4/3)³ = 64/27 = 64:27
উত্তর: (a) 64:27

(v) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও 3 গুণ আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
সমাধান: 4πr² = 3 × 4 3 πr³ ⇒ 4πr² = 4πr³ ⇒ r = 1
উত্তর: (a) 1 একক

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুণ হবে।
সমাধান: ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে আয়তন 2³ = 8 গুণ হবে।
উত্তর: মিথ্যা

(ii) দুটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4:9 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে 2:3।
সমাধান: S₁/S₂ = 4/9 ⇒ (r₁/r₂)² = 4/9 ⇒ r₁/r₂ = 2/3।
উত্তর: সত্য

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একটি তলবিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম ________।
উত্তর: গোলক

(ii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা ________।
উত্তর: 1

(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2r একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ________ πr² বর্গ একক।
সমাধান: 3π(2r)² = 3π(4r²) = 12πr²
উত্তর: 12

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:
ধরি, ব্যাসার্ধ = r
শর্তানুসারে, 2 3 πr³ = 3πr²
বা, 2 3 r = 3 (উভয়দিকে πr² দিয়ে ভাগ করে)
বা, r = 9 2 = 4.5
উত্তর: ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4.5 একক।

(ii) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়েই 12 সেমি.। গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধান:
চোঙের ব্যাস = 12 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 6 সেমি.। উচ্চতা (h) = 12 সেমি.
চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 2π(6)(12) = 144π বর্গ সেমি.
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = R
শর্তানুসারে, গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 144π
বা, 4πR² = 144π
বা, R² = 144 / 4 = 36
বা, R = 6
উত্তর: গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।

(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধান:
ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r₁ এবং গোলকের ব্যাসার্ধ = r₂
শর্তানুসারে, 3πr₁² = 4πr₂²
বা, r₁² / r₂² = 4 / 3
বা, r₁ / r₂ = 2 / √3
উত্তর: অনুপাত 2 : √3।

(iv) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = S এবং আয়তন = V হলে, S³ V² -এর মান কত তা লিখি। (π -এর মান না বসিয়ে)
সমাধান:
ধরি, ব্যাসার্ধ = r।
S = 4πr² এবং V = 4 3 πr³
S³ V² = (4πr²)³ ((4/3)πr³)²
= 64π³r⁶ (16/9)π²r⁶
= 64π³ × 9 16π² = 4 × 9 × π = 36π
উত্তর: মান হবে 36π।

(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি।
সমাধান:
ধরি, প্রাথমিক ব্যাসার্ধ = r। প্রাথমিক ক্ষেত্রফল S₁ = 4πr²
নতুন ব্যাসার্ধ r’ = r + 50% of r = r + r/2 = 1.5r
নতুন ক্ষেত্রফল S₂ = 4π(1.5r)² = 4π(2.25r²) = 2.25 × 4πr² = 2.25 S₁
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = S₂ – S₁ = 2.25 S₁ – S₁ = 1.25 S₁
শতকরা বৃদ্ধি = (1.25 S₁ / S₁) × 100% = 1.25 × 100% = 125%
উত্তর: বক্রতলের ক্ষেত্রফল 125% বৃদ্ধি পায়।

Related Posts