1. আমি একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি.। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
(Part of WBBSE Class 10 Math Chapter 16 Solution)
শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ (r) = 15 সেমি.
তির্যক উচ্চতা (l) = 24 সেমি.

শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= 227 × 15 × 24 বর্গ সেমি.
= 79207 বর্গ সেমি. = 113137 বর্গ সেমি.

শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = πr(r + l)
= 227 × 15 × (15 + 24) বর্গ সেমি.
= 227 × 15 × 39 বর্গ সেমি.
= 128707 বর্গ সেমি. = 183847 বর্গ সেমি.

উত্তর: পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 113137 বর্গ সেমি. এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 183847 বর্গ সেমি.।

2. শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করি যখন,
(i) ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা 2.4 মিটার,
(ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 মিটার।

সমাধান:
(i) দেওয়া আছে, ভূমির ক্ষেত্রফল = 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা (h) = 2.4 মিটার।
আমরা জানি, শঙ্কুর আয়তন = 13 × ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
= 13 × 1.54 × 2.4 ঘন মিটার
= 1.54 × 0.8 = 1.232 ঘন মিটার।
উত্তর (i): শঙ্কুর আয়তন 1.232 ঘন মিটার।

(ii) দেওয়া আছে, ভূমির ব্যাস = 21 মিটার।
∴ ব্যাসার্ধ (r) = 212 = 10.5 মিটার।
তির্যক উচ্চতা (l) = 17.5 মিটার।
শঙ্কুর উচ্চতা (h) = √(l² – r²) = √(17.5² – 10.5²)
= √(306.25 – 110.25) = √196 = 14 মিটার।
শঙ্কুর আয়তন = 13πr²h
= 13 × 227 × (10.5)² × 14 ঘন মিটার
= 13 × 227 × 212 × 212 × 14
= 22 × 7 × 10.5 = 1617 ঘন মিটার।
উত্তর (ii): শঙ্কুর আয়তন 1617 ঘন মিটার।

3. আমিনা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 15 সেমি. ও 20 সেমি.। 15 সেমি. দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয়, তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করি।

সমাধান:
15 সেমি. বাহুটিকে অক্ষ ধরে ঘোরালে একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি হবে, যার উচ্চতা (h) = 15 সেমি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ (r) = 20 সেমি.
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা (l) = √(h² + r²) = √(15² + 20²) = √(225 + 400) = √625 = 25 সেমি.

(i) পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= 227 × 20 × 25 = 110007 = 157137 বর্গ সেমি.

(ii) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = πr(r + l)
= 227 × 20 × (20 + 25) = 227 × 20 × 45 = 198007 = 282847 বর্গ সেমি.

(iii) আয়তন = 13πr²h
= 13 × 227 × (20)² × 15
= 227 × 400 × 5 = 440007 = 628557 ঘন সেমি.

উত্তর: পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 157137 বর্গ সেমি., সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 282847 বর্গ সেমি. এবং আয়তন 628557 ঘন সেমি.।

4. কোনো শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা যথাক্রমে 6 সেমি. ও 10 সেমি. হলে, শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করি।

সমাধান:
শঙ্কুর উচ্চতা (h) = 6 সেমি.
তির্যক উচ্চতা (l) = 10 সেমি.
ভূমির ব্যাসার্ধ (r) = √(l² – h²) = √(10² – 6²) = √(100 – 36) = √64 = 8 সেমি.

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = πr(r + l)
= 227 × 8 × (8 + 10) = 227 × 8 × 18 = 31687 = 45247 বর্গ সেমি.

আয়তন = 13πr²h
= 13 × 227 × 8² × 6
= 227 × 64 × 2 = 28167 = 40227 ঘন সেমি.

উত্তর: সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 45247 বর্গ সেমি. এবং আয়তন 40227 ঘন সেমি.।

5. কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন (100π) ঘন সেমি. এবং উচ্চতা 12 সেমি. হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
(Part of WBBSE Class 10 Math Chapter 16 Solution)
শঙ্কুর আয়তন = 100π ঘন সেমি.
উচ্চতা (h) = 12 সেমি.
ধরি, ভূমির ব্যাসার্ধ = r সেমি.
শর্তানুসারে, 13πr²h = 100π
বা, 13 × r² × 12 = 100 (π বাতিল করে)
বা, 4r² = 100
বা, r² = 25
বা, r = 5

তির্যক উচ্চতা (l) = √(h² + r²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 সেমি.
উত্তর: শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 13 সেমি.।

6. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গ মিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
তাঁবু তৈরিতে যে ত্রিপল লাগে তা শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সমান।
∴ পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = 77 বর্গ মিটার।
তির্যক উচ্চতা (l) = 7 মিটার।
ধরি, ভূমির ব্যাসার্ধ = r মিটার।
শর্তানুসারে, πrl = 77
বা, 227 × r × 7 = 77
বা, 22r = 77
বা, r = 7722 = 72 মিটার।

ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = πr²
= 227 × (72)² = 227 × 494 = 772 = 38.5 বর্গ মিটার।
উত্তর: তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গ মিটার।

7. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে কত টাকা খরচ পড়বে হিসাব করি।

সমাধান:
ভূমিতলের ব্যাস = 21 মিটার ⇒ ব্যাসার্ধ (r) = 21/2 = 10.5 মিটার।
উচ্চতা (h) = 14 মিটার।
তির্যক উচ্চতা (l) = √(14² + 10.5²) = √(196 + 110.25) = √306.25 = 17.5 মিটার।

পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= 227 × 10.5 × 17.5 = 22 × 1.5 × 17.5 = 577.5 বর্গ মিটার।

প্রতি বর্গ মিটারে রং করতে খরচ = 1.50 টাকা。
মোট খরচ = 577.5 × 1.50 = 866.25 টাকা。
উত্তর: পার্শ্বতল রং করতে 866.25 টাকা খরচ পড়বে।

8. নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গ সেমি. 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে। খেলনাটির উচ্চতা কত হিসাব করি। খেলনাটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি. কাঠ লেগেছে নির্ণয় করি।

সমাধান:
(WBBSE Class 10 Math Chapter 16 Solution)
ভূমির ব্যাস = 10 সেমি. ⇒ ব্যাসার্ধ (r) = 5 সেমি.
বক্রতল (পার্শ্বতল) পালিশ করতে মোট খরচ 429 টাকা এবং প্রতি বর্গ সেমিতে 2.10 টাকা。
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 429 / 2.10 = 42900 / 210 = 204.76… (বা ভগ্নাংশে 429021 = 14307 বর্গ সেমি.)

শর্তানুসারে, πrl = 14307
বা, 227 × 5 × l = 14307
বা, 110l = 1430 ⇒ l = 1430 / 110 = 13 সেমি.

খেলনাটির উচ্চতা (h) = √(l² – r²) = √(13² – 5²) = √(169 – 25) = √144 = 12 সেমি.
খেলনাটিতে কাঠের পরিমাণ (আয়তন) = 13πr²h
= 13 × 227 × 5² × 12 = 227 × 25 × 4 = 22007 = 31427 ঘন সেমি.

উত্তর: খেলনাটির উচ্চতা 12 সেমি. এবং এতে 31427 ঘন সেমি. কাঠ লেগেছে।

9. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাতের বয়া তৈরি করতে 7537 বর্গ মিটার লোহার পাত লেগেছে। বয়াটির তির্যক উচ্চতা যদি 5 মিটার হয়, তবে বয়াটিতে কত বায়ু আছে এবং বয়াটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।
ওই বয়াটির চারপাশ রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে নির্ণয় করি। [লোহার পাতের বেধ হিসাবের মধ্যে ধরতে হবে না]

সমাধান:
বয়া তৈরি করতে যে পাত লেগেছে তা হলো সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 7537 = 5287 বর্গ মি.
তির্যক উচ্চতা (l) = 5 মি.
শর্তানুসারে, πr(r + l) = 5287
বা, 227r(r + 5) = 5287
বা, r² + 5r = 24 ⇒ r² + 5r – 24 = 0
বা, r² + 8r – 3r – 24 = 0 ⇒ r(r + 8) – 3(r + 8) = 0
বা, (r + 8)(r – 3) = 0
যেহেতু r ঋনাত্মক হতে পারে না, তাই r = 3 মি.

বয়াটির উচ্চতা (h) = √(l² – r²) = √(5² – 3²) = √16 = 4 মি.
বয়াটিতে বায়ু আছে (আয়তন) = 13πr²h = 13 × 227 × 3² × 4 = 2647 = 3757 ঘন মি.

বয়ার চারপাশ (পার্শ্বতল) রং করতে হবে।
পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = πrl = 227 × 3 × 5 = 3307 বর্গ মি.
রং করার খরচ = 3307 × 2.80 = 330 × 0.40 = 132 টাকা।

উত্তর: বয়াটিতে 3757 ঘন মি. বায়ু আছে, এর উচ্চতা 4 মি. এবং চারপাশ রং করতে 132 টাকা খরচ হবে।

10. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গ মিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করি।

সমাধান:
তাঁবুর ভূমির মোট ক্ষেত্রফল = 11 × 4 = 44 বর্গ মি.
অর্থাৎ, πr² = 44

তাঁবুর মোট আয়তন (বাতাসের পরিমাণ) = 11 × 20 = 220 ঘন মি.
অর্থাৎ, 13πr²h = 220
বা, 13 × 44 × h = 220 (πr² এর মান বসিয়ে)
বা, h = 220 × 344 = 5 × 3 = 15 মি.

উত্তর: তাঁবুর উচ্চতা 15 মিটার।

11. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি.। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি. 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে। টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
টোপরের ভূমির বাইরের ব্যাস = 21 সেমি. ⇒ ব্যাসার্ধ (r) = 10.5 সেমি.
টোপরের উপরিভাগ (পার্শ্বতল) রাংতা দিয়ে মুড়তে খরচ হয় 57.75 টাকা অর্থাৎ 5775 পয়সা।
প্রতি বর্গ সেমিতে খরচ 10 পয়সা।
∴ পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = 5775 / 10 = 577.5 বর্গ সেমি.

শর্তানুসারে, πrl = 577.5
বা, 227 × 10.5 × l = 577.5
বা, 22 × 1.5 × l = 577.5
বা, 33l = 577.5 ⇒ l = 577.5 / 33 = 17.5 সেমি. (তির্যক উচ্চতা)

উচ্চতা (h) = √(l² – r²) = √(17.5² – 10.5²) = √(306.25 – 110.25) = √196 = 14 সেমি.

উত্তর: টোপরটির উচ্চতা 14 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 সেমি.।

12. গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার এবং উচ্চতা 3.5 মিটার। মোট গমের আয়তন নির্ণয় করি। গমের ওই স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গ মিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে হিসাব করে দেখি। [ধরি, π = 3.14, √130 = 11.4]

সমাধান:
(Final part of WBBSE Class 10 Math Chapter 16 Solution)
ভূমির ব্যাস = 9 মিটার ⇒ ব্যাসার্ধ (r) = 4.5 মিটার।
উচ্চতা (h) = 3.5 মিটার।
গমের আয়তন = 13πr²h
= 13 × 3.14 × (4.5)² × 3.5
= 13 × 3.14 × 20.25 × 3.5 = 3.14 × 6.75 × 3.5 = 74.1825 ঘন মিটার।

স্তূপ ঢাকতে প্লাস্টিক লাগবে = পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল (πrl)।
প্রথমে l বের করি: l = √(h² + r²) = √(3.5² + 4.5²) = √(12.25 + 20.25) = √32.5
√32.5 = √(130/4) = √130 / 2 = 11.4 / 2 = 5.7 মিটার।

পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = 3.14 × 4.5 × 5.7 = 80.541 বর্গ মিটার।

উত্তর: মোট গমের আয়তন 74.1825 ঘন মিটার এবং স্তূপটি ঢাকতে 80.541 বর্গ মিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন।