কষে দেখি — 19 (বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা)
1. আনোয়ারদের বাড়ির সামনে একটি নিরেট লোহার স্তম্ভ আছে যার নীচের অংশ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ আকৃতির এবং উপরের অংশ শঙ্কু আকৃতির[cite: 30]। এদের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি., চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা 2.8 মিটার এবং শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি.[cite: 30]। 1 ঘন সেমি. লোহার ওজন 7.5 গ্রাম হলে, লোহার স্তম্ভের ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি[cite: 30]।
সমাধান:
স্তম্ভের ভূমিতলের ব্যাস = 20 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 10 সেমি.
চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা (h₁) = 2.8 মিটার = 280 সেমি.
শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা (h₂) = 42 সেমি.
স্তম্ভের মোট আয়তন = চোঙের আয়তন + শঙ্কুর আয়তন
= πr2h₁ + 13πr2h₂ = πr2(h₁ + h₂3)
= 227 × (10)2 × (280 + 423)
= 227 × 100 × (280 + 14)
= 227 × 100 × 294
= 22 × 100 × 42 = 92400 ঘন সেমি.
1 ঘন সেমি. লোহার ওজন = 7.5 গ্রাম.
∴ স্তম্ভের মোট ওজন = 92400 × 7.5 গ্রাম = 693000 গ্রাম = 693 কিগ্রা.
উত্তর: লোহার স্তম্ভের ওজন 693 কিগ্রা.।
2. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি.[cite: 30]। শঙ্কুটির সমান আয়তনবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 15 সেমি. হলে, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি[cite: 30]।
সমাধান:
শঙ্কুর উচ্চতা (h₁) = 20 সেমি., তির্যক উচ্চতা (l) = 25 সেমি.
শঙ্কুর ব্যাসার্ধ (r₁) = √(l2 – h₁2) = √(252 – 202) = √(625 – 400) = √225 = 15 সেমি.
শঙ্কুর আয়তন = 13π(r₁)2h₁ = 13π(15)2 × 20 = 13π × 225 × 20 = 1500π ঘন সেমি.
ধরি, চোঙের ব্যাসার্ধ = r₂. চোঙের উচ্চতা (h₂) = 15 সেমি.
চোঙের আয়তন = π(r₂)2h₂ = π(r₂)2 × 15 = 15πr₂2
শর্তানুসারে, 15πr₂2 = 1500π
বা, r₂2 = 100 ⇒ r₂ = 10 সেমি.
চোঙটির ব্যাস = 2r₂ = 2 × 10 = 20 সেমি.
উত্তর: চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি.।
3. 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে[cite: 30]। 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাস ও 4 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরো ওই জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে, জলতলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি[cite: 30]।
সমাধান:
চোঙাকৃতি পাত্রের ব্যাস = 24 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (R) = 12 সেমি.
ধরি, জলতলের উচ্চতা h সেমি. বৃদ্ধি পাবে।
বৃদ্ধিপ্রাপ্ত জলের আয়তন = πR2h = π × 122 × h = 144πh ঘন সেমি.
প্রতিটি শঙ্কুর ব্যাস = 6 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 3 সেমি.
শঙ্কুর উচ্চতা (h₁) = 4 সেমি.
একটি শঙ্কুর আয়তন = 13πr2h₁ = 13π × 32 × 4 = 12π ঘন সেমি.
60টি শঙ্কুর আয়তন = 60 × 12π = 720π ঘন সেমি.
শর্তানুসারে, 144πh = 720π
বা, h = 720 / 144 = 5 সেমি.
উত্তর: জলতলের উচ্চতা 5 সেমি. বৃদ্ধি পাবে।
4. একই দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5:8 হলে, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করি[cite: 30]।
সমাধান:
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধ = r এবং উচ্চতা = h.
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা l = √(r2 + h2)
শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl
চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
শর্তানুসারে, πrl2πrh = 58
বা, l2h = 58 ⇒ lh = 54
বা, l2h2 = 2516
বা, r2 + h2h2 = 2516
বা, r2h2 + 1 = 2516
বা, r2h2 = 2516 – 1 = 916
বা, rh = 34
উত্তর: ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 4।
5. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে হিসাব করে দেখি[cite: 30]।
সমাধান:
বড়ো গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 8 সেমি.
আয়তন = 43πR3 = 43π(8)3 ঘন সেমি.
ছোটো গুলির ব্যাস = 1 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 12 সেমি.
একটি ছোটো গুলির আয়তন = 43πr3 = 43π(12)3 ঘন সেমি.
গুলির সংখ্যা = (4/3)π(8)3(4/3)π(1/2)3 = 83(1/2)3 = 83 × 23 = 512 × 8 = 4096
উত্তর: 4096 টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে।
6. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দণ্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি. এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি.[cite: 30]। দণ্ডটি গলিয়ে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট কতগুলি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে তা হিসাব করে লিখি[cite: 30]।
সমাধান:
লোহার দণ্ডের (চোঙ) ব্যাসার্ধ (R) = 32 সেমি., উচ্চতা (H) = 35 সেমি.
চোঙের আয়তন = πR2H = π × 322 × 35 ঘন সেমি.
শঙ্কুর ব্যাসার্ধ (r) = 8 সেমি., উচ্চতা (h) = 28 সেমি.
একটি শঙ্কুর আয়তন = 13πr2h = 13π × 82 × 28 ঘন সেমি.
শঙ্কুর সংখ্যা = π × 32 × 32 × 35(1/3)π × 8 × 8 × 28 = 32 × 32 × 35 × 38 × 8 × 28
= 4 × 4 × 35 × 328 = 16 × 5 × 34 = 4 × 15 = 60
উত্তর: 60 টি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে।
7. 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় করি[cite: 30]।
সমাধান:
ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে শঙ্কু তৈরি করতে হলে, শঙ্কুর ভূমির ব্যাস ঘনকের ধারের সমান এবং উচ্চতা ঘনকের ধারের সমান হতে হবে।
শঙ্কুর ব্যাস = 4.2 ডেসিমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 2.1 ডেসিমি.
শঙ্কুর উচ্চতা (h) = 4.2 ডেসিমি.
শঙ্কুর আয়তন = 13πr2h = 13 × 227 × (2.1)2 × 4.2
= 13 × 227 × 4.41 × 4.2 = 22 × 1.47 × 4.27 = 22 × 0.21 × 4.2 = 19.404 ঘন ডেসিমি.
উত্তর: শঙ্কুর আয়তন 19.404 ঘন ডেসিমি.।
8. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ও তাদের ঘনফলও সমান হলে, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি[cite: 30]।
সমাধান:
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধ = r এবং চোঙের উচ্চতা = h.
গোলকের ঘনফল = 43πr3
চোঙের ঘনফল = πr2h
শর্তানুসারে, πr2h = 43πr3
বা, h = 43r ⇒ 3h = 4r
বা, rh = 34
উত্তর: ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 4।
9. 6.6 ডেসিমি. দীর্ঘ, 4.2 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 1.4 ডেসিমি. পুরু একটি তামার নিরেট আয়তঘনাকার টুকরো গলিয়ে 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে কত ঘন ডেসিমি. ধাতু থাকবে হিসাব করে দেখি[cite: 30]।
সমাধান:
আয়তঘনাকার টুকরোর আয়তন = 6.6 × 4.2 × 1.4 = 38.808 ঘন ডেসিমি.
গোলকের ব্যাস = 2.1 ডেসিমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 1.05 ডেসিমি.
প্রতিটি গোলকের আয়তন = 43πr3 = 43 × 227 × (1.05)3
= 8821 × 1.157625 = 4.851 ঘন ডেসিমি.
গোলকের সংখ্যা = 38.8084.851 = 8
উত্তর: 8 টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে 4.851 ঘন ডেসিমি. ধাতু থাকবে।
10. 4.2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি সোনার নিরেট গোলক পিটিয়ে 2.8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি[cite: 30]।
সমাধান:
গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 4.2 সেমি.
আয়তন = 43π(4.2)3 ঘন সেমি.
দণ্ডের (চোঙ) ব্যাস = 2.8 সেমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 1.4 সেমি.
ধরি, দণ্ডের দৈর্ঘ্য (উচ্চতা) = h সেমি.
দণ্ডের আয়তন = πr2h = π(1.4)2h
শর্তানুসারে, π(1.4)2h = 43π(4.2)3
বা, 1.96h = 43 × 74.088
বা, 1.96h = 98.784
বা, h = 98.784 / 1.96 = 50.4 সেমি.
উত্তর: দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 50.4 সেমি.।
11. 6 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট রৌপ্য গোলক গলিয়ে 1 ডেসিমি. লম্বা একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি[cite: 30]।
সমাধান:
গোলকের ব্যাস = 6 ডেসিমি. ∴ ব্যাসার্ধ (R) = 3 ডেসিমি.
গোলকের আয়তন = 43π(3)3 = 36π ঘন ডেসিমি.
দণ্ডের উচ্চতা (h) = 1 ডেসিমি.
ধরি, দণ্ডের ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি.
দণ্ডের আয়তন = πr2h = πr2(1) = πr2
শর্তানুসারে, πr2 = 36π ⇒ r2 = 36 ⇒ r = 6
দণ্ডের ব্যাস = 2r = 2 × 6 = 12 ডেসিমি.
উত্তর: দণ্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 ডেসিমি.।
12. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি.[cite: 30]। সেই দণ্ডটি গলিয়ে 21টি নিরেট গোলক তৈরি করা হলো[cite: 30]। গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যদি 8 সেমি. হয়, তবে দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত ছিল তা হিসাব করে লিখি[cite: 30]।
সমাধান:
দণ্ডের ব্যাসার্ধ (r) = 3.2 ডেসিমি. = 32 সেমি.
ধরি, দণ্ডের দৈর্ঘ্য = h সেমি.
দণ্ডের আয়তন = πr2h = π(32)2h = 1024πh ঘন সেমি.
গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 8 সেমি.
1টি গোলকের আয়তন = 43π(8)3 = 43π(512) = 2048π3 ঘন সেমি.
21টি গোলকের আয়তন = 21 × 2048π3 = 7 × 2048π = 14336π ঘন সেমি.
শর্তানুসারে, 1024πh = 14336π
বা, h = 14336 / 1024 = 14
উত্তর: দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 14 সেমি. ছিল।
13. 21 ডেসিমি. দীর্ঘ, 11 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চা অর্ধেক জলপূর্ণ আছে[cite: 31]। এখন সেই চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দেওয়া হয়, তবে জলতল কত ডেসিমি. উঠবে তা হিসাব করে লিখি[cite: 31]।
সমাধান:
ধরি, জলতল h ডেসিমি. উঠবে।
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = 21 ডেসিমি., প্রস্থ = 11 ডেসিমি.
উঠে যাওয়া জলের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা বৃদ্ধি = 21 × 11 × h ঘন ডেসিমি.
প্রতিটি লোহার গোলকের ব্যাস = 21 সেমি. = 2.1 ডেসিমি. ∴ ব্যাসার্ধ (r) = 2.1 / 2 = 1.05 ডেসিমি.
একটি গোলকের আয়তন = 43πr3 = 43 × 227 × (1.05)3 ঘন ডেসিমি.
100টি গোলকের আয়তন = 100 × 43 × 227 × 1.05 × 1.05 × 1.05 ঘন ডেসিমি.
শর্তানুসারে,
21 × 11 × h = 100 × 43 × 227 × 1.05 × 1.05 × 1.05
বা, 231 × h = 100 × 8821 × 1.157625
বা, 231 × h = 880021 × 1.157625 = 8800 × 0.055125 = 485.1
বা, h = 485.1 / 231 = 2.1
উত্তর: জলতল 2.1 ডেসিমি. উঠবে।
14. সমান ভূমিতলের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু, একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি[cite: 31]।
সমাধান:
যেহেতু তিনটিরই ব্যাস সমান, তাই ব্যাসার্ধ (r) সমান হবে।
যেহেতু তিনটিরই উচ্চতা সমান, এবং অর্ধগোলকের উচ্চতা তার ব্যাসার্ধের (r) সমান হয়, তাই প্রত্যেকের উচ্চতা h = r হবে।
শঙ্কুর আয়তন (V₁) = 13πr2h = 13πr2(r) = 13πr3
অর্ধগোলকের আয়তন (V₂) = 23πr3
চোঙের আয়তন (V₃) = πr2h = πr2(r) = πr3
অনুপাত (V₁ : V₂ : V₃) = 13πr3 : 23πr3 : πr3
উভয়কে 3 / πr3 দিয়ে গুণ করে পাই:
= 1 : 2 : 3
উত্তর: অনুপাত হবে 1 : 2 : 3।
15. 1 সেমি. পুরু সিসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.[cite: 31]। গোলকটি গলিয়ে 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি[cite: 31]।
সমাধান:
ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধ (R) = 6 সেমি.
সিসার পাত 1 সেমি. পুরু। ∴ ভেতরের ব্যাসার্ধ (r) = 6 – 1 = 5 সেমি.
গোলকটিতে সিসার আয়তন = 43π(R3 – r3)
= 43π(63 – 53) = 43π(216 – 125) = 43π × 91 ঘন সেমি.
নতুন নিরেট দণ্ডের (চোঙ) ব্যাসার্ধ (r₁) = 2 সেমি.
ধরি, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য বা উচ্চতা = h সেমি.
দণ্ডটির আয়তন = πr₁2h = π(2)2h = 4πh ঘন সেমি.
শর্তানুসারে,
4πh = 43π × 91
বা, h = 91 / 3 = 3013 সেমি.
উত্তর: দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 3013 সেমি. হবে।
16. 2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি.[cite: 31]। সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে ওই লগটিকে যদি একটি লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে পরিণত করা যায়, তবে তাতে কত ঘন মিটার কাঠ থাকবে এবং কত ঘন মিটার কাঠ নষ্ট হবে হিসাব করি[cite: 31]। [উত্তর সংকেত : বর্গাকার চিত্রের অন্তর্লিখিত পরিবৃত্ত হলে, বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য বর্গাকার চিত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান[cite: 31]।]
সমাধান:
আয়তঘনাকার কাঠের লগের দৈর্ঘ্য (h) = 2 মিটার = 20 ডেসিমি.
প্রস্থচ্ছেদের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 14 ডেসিমি.
লগটির প্রাথমিক আয়তন = (14 × 14) × 20 = 196 × 20 = 3920 ঘন ডেসিমি.
সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ি তৈরি করতে হলে, গুঁড়ির ভূমির বৃত্তটি বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদের অন্তর্লিখিত বৃত্ত হবে।
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের বাহু = 14 ডেসিমি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) = 14 / 2 = 7 ডেসিমি.
লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির আয়তন (কাঠ থাকবে) = πr2h
= 227 × (7)2 × 20 = 22 × 7 × 20 = 3080 ঘন ডেসিমি.
3080 ঘন ডেসিমি. = 3.08 ঘন মিটার।
কাঠ নষ্ট হবে = প্রাথমিক আয়তন – গুঁড়ির আয়তন
= 3920 – 3080 = 840 ঘন ডেসিমি. = 0.84 ঘন মিটার।
উত্তর: তাতে 3.08 ঘন মিটার কাঠ থাকবে এবং 0.84 ঘন মিটার কাঠ নষ্ট হবে।
17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে r একক উচ্চতার একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হলো[cite: 31]। শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
সমাধান: গোলকের আয়তন = 43πr3। শঙ্কুর আয়তন = 13π(r’)2h = 13π(r’)2r
শর্তানুসারে, 43πr3 = 13π(r’)2r ⇒ 4r2 = (r’)2 ⇒ r’ = 2r
উত্তর: (a) 2r একক
(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো যার উচ্চতা 5 সেমি.[cite: 31]। শঙ্কুটির উচ্চতা
সমাধান: শঙ্কুর আয়তন = 13πr2h। চোঙের আয়তন = πr2(5)।
শর্তানুসারে, 13πr2h = 5πr2 ⇒ h/3 = 5 ⇒ h = 15
উত্তর: (b) 15 সেমি.
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক[cite: 31]। চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য
সমাধান: চোঙের উচ্চতা 2r এবং ব্যাস 2r। সুতরাং এর মধ্যে সবচেয়ে বড়ো গোলকটির ব্যাস চোঙের ব্যাস বা উচ্চতার সমান হবে, অর্থাৎ 2r।
উত্তর: (b) 2r একক
(iv) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন
সমাধান: সর্ববৃহৎ শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের সমান (r) হবে এবং উচ্চতাও অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের সমান (r) হবে।
আয়তন = 13πr2(r) = πr33 ঘন একক।
উত্তর: (d) πr33 ঘন একক
(v) x একক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য
সমাধান: ঘনকের মধ্যে সর্ববৃহৎ গোলকের ব্যাস ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান হয়। তাই ব্যাস = x একক।
উত্তর: (a) x একক
(i) দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলক যাদের ভূমিতলের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং তা ভূমি বরাবর জোড়া হলে, মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে 6πr2 বর্গ একক[cite: 32]।
সমাধান: দুটি অর্ধগোলক ভূমি বরাবর জোড়া লাগালে একটি পূর্ণ গোলক তৈরি হয়। পূর্ণ গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 4πr2।
উত্তর: মিথ্যা
(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক এবং তির্যক উচ্চতা l একক[cite: 32]। শঙ্কুটির ভূমিতলকে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতল বরাবর জুড়ে দেওয়া হলো[cite: 32]। যদি চোঙের ও শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা একই হয় তবে মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (πrl + 2πrh + 2πr2) বর্গ একক[cite: 32]।
সমাধান: মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = শঙ্কুর বক্রতল + চোঙের বক্রতল + চোঙের অপর ভূমির ক্ষেত্রফল = πrl + 2πrh + πr2। প্রশ্নে 2πr2 দেওয়া আছে।
উত্তর: মিথ্যা (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও দুটি অর্ধগোলকের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান[cite: 32]। দুটি অর্ধগোলককে চোঙটির দুটি সমতলে আটকে দেওয়া হলে নতুন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = একটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + ________ বক্রতলের ক্ষেত্রফল + অপর অর্ধগোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল[cite: 32]।
উত্তর: চোঙের
(ii) একমুখ কাঁটা একটি পেনসিলের আকার শঙ্কু ও ________ সমম্বয়[cite: 32]।
উত্তর: চোঙের
(iii) একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো[cite: 32]। গোলক ও চোঙের আয়তন ________[cite: 32]।
উত্তর: সমান
18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো[cite: 32]। উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান[cite: 32]। যদি শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি. হয়, তাহলে নিরেট চোঙের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি[cite: 32]।
সমাধান:
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধ = r। চোঙের উচ্চতা = h
শঙ্কুর আয়তন = 13πr2(15) = 5πr2
চোঙের আয়তন = πr2h
শর্তানুসারে, πr2h = 5πr2 ⇒ h = 5
উত্তর: নিরেট চোঙের উচ্চতা 5 সেমি.।
(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং আয়তন সমান[cite: 32]। গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতা অনুপাত কত তা হিসাব করে লিখি[cite: 32]।
সমাধান:
ধরি উভয়ের ব্যাসার্ধ = r, এবং শঙ্কুর উচ্চতা = h। গোলকের ব্যাস = 2r।
শর্তানুসারে, 13πr2h = 43πr3
বা, h = 4r
অনুপাত (গোলকের ব্যাস : শঙ্কুর উচ্চতা) = 2r : h = 2r : 4r = 1 : 2
উত্তর: অনুপাত 1 : 2।
(iii) সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি[cite: 32]।
সমাধান:
ব্যাস সমান, তাই ব্যাসার্ধ (r) সমান। গোলকের উচ্চতা তার ব্যাসের সমান অর্থাৎ 2r। যেহেতু সবগুলোর উচ্চতা সমান, তাই h = 2r।
চোঙের আয়তন (V₁) = πr2h = πr2(2r) = 2πr3
শঙ্কুর আয়তন (V₂) = 13πr2h = 13πr2(2r) = 23πr3
গোলকের আয়তন (V₃) = 43πr3
অনুপাত = 2πr3 : 23πr3 : 43πr3 = 2 : 2/3 : 4/3 = 6 : 2 : 4 = 3 : 1 : 2
উত্তর: আয়তনের অনুপাত 3 : 1 : 2।
(iv) একটি ঘনবস্তুর নীচের অংশ অর্ধগোলক আকারের এবং উপরের অংশ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারের[cite: 32]। যদি দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান হয়, তাহলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি[cite: 32]।
সমাধান:
দুটি অংশের ভূমি একই, তাই ব্যাসার্ধ (r) সমান। শঙ্কুর উচ্চতা = h এবং তির্যক উচ্চতা = l।
শর্তানুসারে, শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল = অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
πrl = 2πr2 ⇒ l = 2r
আমরা জানি, h2 = l2 – r2 = (2r)2 – r2 = 4r2 – r2 = 3r2
বা, h = √3 r ⇒ h/r = √3 / 1 ⇒ r/h = 1 / √3
উত্তর: ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত 1 : √3।
(v) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর, ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান[cite: 32]। গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুণ হলে, শঙ্কুর উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি[cite: 32]।
সমাধান:
উভয়ের ব্যাসার্ধ = r। শঙ্কুর উচ্চতা = h।
গোলকের আয়তন = 43πr3
শঙ্কুর আয়তন = 13πr2h
শর্তানুসারে, গোলকের আয়তন = 2 × শঙ্কুর আয়তন
43πr3 = 2 × 13πr2h
বা, 4r = 2h ⇒ 2h = 4r ⇒ h = 2r
অনুপাত (h : r) = 2r : r = 2 : 1
উত্তর: শঙ্কুর উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 1।