1. একটি নিরেট লোহার স্তম্ভের নীচের অংশ চোঙ ও উপরের অংশ শঙ্কু আকৃতির। ব্যাস 20 সেমি., চোঙের উচ্চতা 2.8 মিটার এবং শঙ্কুর উচ্চতা 42 সেমি. হলে স্তম্ভের ওজন কত? (1 ঘন সেমি. লোহার ওজন 7.5 গ্রাম)

সমাধান:
স্তম্ভের ব্যাসার্ধ (r) = 20 2 = 10 সেমি.
চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা (h₁) = 2.8 মিটার = 280 সেমি.
শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা (h₂) = 42 সেমি.

চোঙের আয়তন = πr²h₁ = 22 7 × 100 × 280 = 88000 ঘন সেমি.
শঙ্কুর আয়তন = 1 3 πr²h₂ = 1 3 × 22 7 × 100 × 42 = 4400 ঘন সেমি.

মোট আয়তন = 88000 + 4400 = 92400 ঘন সেমি.
মোট ওজন = 92400 × 7.5 গ্রাম = 693000 গ্রাম = 693000 1000 কিগ্রা = 693 কিগ্রা।
উত্তর: লোহার স্তম্ভের ওজন 693 কিগ্রা।

2. একটি শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি.। সমান আয়তনের একটি চোঙের উচ্চতা 15 সেমি. হলে, চোঙের ব্যাস কত?

সমাধান:
শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = √(25² – 20²) = √(625 – 400) = √225 = 15 সেমি.
শঙ্কুর আয়তন = 1 3 × π × 15² × 20 = 1500π ঘন সেমি.

ধরি, চোঙের ব্যাসার্ধ = R সেমি.। চোঙের আয়তন = π × R² × 15 ঘন সেমি.
শর্তানুসারে, πR² × 15 = 1500π
বা, R² = 100 ⇒ R = 10 সেমি.
চোঙের ব্যাস = 2 × 10 = 20 সেমি.
উত্তর: চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি.।

3. 24 সেমি. ব্যাসবিশিষ্ট চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে। 6 সেমি. ব্যাস ও 4 সেমি. উচ্চতার 60টি নিরেট শঙ্কু নিমজ্জিত করলে জলতল কতটা বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
পাত্রের ব্যাসার্ধ (R) = 24 2 = 12 সেমি.
শঙ্কুর ব্যাসার্ধ (r) = 6 2 = 3 সেমি., উচ্চতা (h) = 4 সেমি.
ধরি, জলতল H সেমি. বৃদ্ধি পাবে。

শর্তানুসারে, পাত্রের বর্ধিত জলের আয়তন = 60টি শঙ্কুর আয়তন
π × 12² × H = 60 × 1 3 × π × 3² × 4
বা, 144 × H = 20 × 9 × 4
বা, 144 × H = 720 ⇒ H = 720 144 = 5
উত্তর: জলতলের উচ্চতা 5 সেমি. বৃদ্ধি পাবে।

4. সমান ব্যাসার্ধ ও উচ্চতাবিশিষ্ট নিরেট শঙ্কু এবং চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5:8 হলে, ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান:
ধরি, উভয়ের ব্যাসার্ধ = r এবং উচ্চতা = h। শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা = √(r² + h²)
শর্তানুসারে, πr√(r² + h²) 2πrh = 5 8
বা, √(r² + h²) 2h = 5 8
বা, √(r² + h²) h = 10 8 = 5 4

উভয়দিকে বর্গ করে পাই, r² + h² h² = 25 16
বা, r² h² + 1 = 25 16
বা, r² h² = 25 16 – 1 = 9 16
বা, r h = 3 4
উত্তর: ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার অনুপাত 3:4।

5. 8 সেমি. ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. ব্যাসের কয়টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে?

সমাধান:
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 8 সেমি.
ছোট গুলির ব্যাস = 1 সেমি. ⇒ ব্যাসার্ধ (r) = 1 2 = 0.5 সেমি.

গোলকের সংখ্যা = বড় গোলকের আয়তন ছোট গুলির আয়তন

= 4 3 π × 8³ 4 3 π × 0.5³

= 8 × 8 × 8 0.5 × 0.5 × 0.5 = 512 0.125 = 4096
উত্তর: 4096টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে।

6. 32 সেমি. ব্যাসার্ধ ও 35 সেমি. দৈর্ঘ্যের নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দণ্ড গলিয়ে 8 সেমি. ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি. উচ্চতার কতগুলি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
লোহার দণ্ডের (চোঙ) আয়তন = π × 32² × 35 ঘন সেমি.
প্রতিটি শঙ্কুর আয়তন = 1 3 × π × 8² × 28 ঘন সেমি.

শঙ্কুর সংখ্যা = π × 1024 × 35 1 3 × π × 64 × 28

= 1024 × 35 × 3 64 × 28
= 16 × 5 × 3 4 = 60
উত্তর: 60টি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে।

7. 4.2 ডেসিমি. ধারের নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় করি।

সমাধান:
ঘনক থেকে সবচেয়ে বড় শঙ্কু কাটলে, তার ব্যাস হবে ঘনকের ধারের সমান এবং উচ্চতাও ধারের সমান হবে।
শঙ্কুর ব্যাস = 4.2 ডেসিমি. ⇒ ব্যাসার্ধ (r) = 4.2 2 = 2.1 ডেসিমি.
শঙ্কুর উচ্চতা (h) = 4.2 ডেসিমি.

শঙ্কুর আয়তন = 1 3 πr²h = 1 3 × 22 7 × 2.1 × 2.1 × 4.2
= 22 × 0.7 × 2.1 × 0.6 = 19.404 ঘন ডেসিমি.
উত্তর: শঙ্কুটির আয়তন 19.404 ঘন ডেসিমি.।

8. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং তাদের ঘনফল সমান হলে, চোঙটির ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার অনুপাত হিসাব করি।

সমাধান:
ধরি, গোলক ও চোঙ উভয়ের ব্যাসার্ধ = r এবং চোঙের উচ্চতা = h।
শর্তানুসারে, গোলকের আয়তন = চোঙের আয়তন
4 3 πr³ = πr²h
বা, 4 3 r = h
বা, r h = 3 4
উত্তর: চোঙটির ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার অনুপাত 3:4।

9. 6.6 ডেসিমি. দীর্ঘ, 4.2 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 1.4 ডেসিমি. পুরু তামার আয়তঘনাকার টুকরো গলিয়ে 2.1 ডেসিমি. ব্যাসের কয়টি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে কত ধাতু থাকবে?

সমাধান:
আয়তঘনাকার টুকরোর আয়তন = 6.6 × 4.2 × 1.4 = 38.808 ঘন ডেসিমি.
গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 2.1 2 = 1.05 ডেসিমি.
প্রতিটি গোলকের আয়তন = 4 3 × 22 7 × (1.05)³ = 4.851 ঘন ডেসিমি.

গোলকের সংখ্যা = 38.808 4.851 = 8 টি।
উত্তর: 8টি গোলক তৈরি করা যাবে এবং প্রতিটিতে 4.851 ঘন ডেসিমি. ধাতু থাকবে।

10. 4.2 সেমি. ব্যাসার্ধের সোনার নিরেট গোলক পিটিয়ে 2.8 সেমি. ব্যাসের নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধান:
গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 4.2 সেমি.
দণ্ডের ব্যাসার্ধ (r) = 2.8 2 = 1.4 সেমি.। ধরি, দৈর্ঘ্য = h সেমি.
শর্তানুসারে, π × (1.4)² × h = 4 3 × π × (4.2)³
বা, 1.96 × h = 4 3 × 74.088
বা, h = 4 × 74.088 3 × 1.96 = 296.352 5.88 = 50.4
উত্তর: দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 50.4 সেমি.।

11. 6 ডেসিমি. ব্যাসের নিরেট রৌপ্য গোলক গলিয়ে 1 ডেসিমি. লম্বা নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির ব্যাস কত?

সমাধান:
গোলকের ব্যাসার্ধ = 6 2 = 3 ডেসিমি.
দণ্ডের উচ্চতা = 1 ডেসিমি.। ধরি, ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি.
শর্তানুসারে, π × r² × 1 = 4 3 × π × 3³
বা, r² = 4 3 × 27 = 36
বা, r = 6 ডেসিমি.
দণ্ডটির ব্যাস = 2 × 6 = 12 ডেসিমি.
উত্তর: দণ্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 ডেসিমি.।

12. 3.2 ডেসিমি. ব্যাসার্ধের লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড গলিয়ে 8 সেমি. ব্যাসার্ধের 21টি নিরেট গোলক তৈরি করা হলে, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত ছিল?

সমাধান:
দণ্ডের ব্যাসার্ধ (R) = 3.2 ডেসিমি. = 32 সেমি.। ধরি দৈর্ঘ্য = H সেমি.
গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 8 সেমি.
শর্তানুসারে, π × 32² × H = 21 × 4 3 × π × 8³
বা, 1024 × H = 28 × 512
বা, H = 28 × 512 1024 = 14 সেমি.
উত্তর: দণ্ডটির দৈর্ঘ্য ছিল 14 সেমি.।

13. 21 ডেসিমি. দীর্ঘ, 11 ডেসিমি. প্রশস্ত চৌবাচ্চায় 21 সেমি. ব্যাসের 100টি লোহার গোলক ডোবালে জলতল কতটা উঠবে?

সমাধান:
চৌবাচ্চার ভূমির ক্ষেত্রফল = 21 × 11 = 231 বর্গ ডেসিমি.
গোলকের ব্যাসার্ধ = 21 সেমি. = 2.1 ডেসিমি. → ব্যাসার্ধ = 2.1 2 = 1.05 ডেসিমি.
100টি গোলকের আয়তন = 100 × 4 3 × 22 7 × (1.05)³ = 485.1 ঘন ডেসিমি.
ধরি জলতল h ডেসিমি. উঠবে。
শর্তানুসারে, 231 × h = 485.1
বা, h = 485.1 231 = 2.1 ডেসিমি.
উত্তর: জলতল 2.1 ডেসিমি. উঠবে।

14. সমান ভূমিতলের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট শঙ্কু, অর্ধগোলক এবং চোঙের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান:
যেহেতু অর্ধগোলকের উচ্চতা তার ব্যাসার্ধের সমান, তাই সবার উচ্চতা (h) = ব্যাসার্ধ (r)।
শঙ্কুর আয়তন : অর্ধগোলকের আয়তন : চোঙের আয়তন
= 1 3 πr²(r) : 2 3 πr³ : πr²(r)

= 1 3 πr³ : 2 3 πr³ : πr³

= 1 3 : 2 3 : 1
সবগুলোকে 3 দিয়ে গুণ করে পাই = 1 : 2 : 3
উত্তর: অনুপাতটি হবে 1 : 2 : 3।

15. 1 সেমি. পুরু সিসার ফাঁপা গোলকের বাইরের ব্যাসার্ধ 6 সেমি.। এটি গলিয়ে 2 সেমি. ব্যাসার্ধের নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করলে, তার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
বহিঃব্যাসার্ধ (R) = 6 সেমি.। অন্তঃব্যাসার্ধ (r) = 6 – 1 = 5 সেমি.
ধাতুর আয়তন = 4 3 π(6³ – 5³) = 4 3 π(216 – 125) = 4 3 π × 91 ঘন সেমি.

দণ্ডের ব্যাসার্ধ = 2 সেমি., ধরি দৈর্ঘ্য = h সেমি.
শর্তানুসারে, π × 2² × h = 4 3 π × 91
বা, 4h = 364 3 ⇒ h = 91 3 = 30 1 3 সেমি.
উত্তর: দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 30 1 3 সেমি. হবে।

16. 2 মিটার লম্বা কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং প্রতিটি বাহু 14 ডেসিমি.। সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে গোল গুঁড়ি বানালে কত কাঠ থাকবে এবং কত নষ্ট হবে?

সমাধান:
লগের দৈর্ঘ্য = 2 মিটার = 20 ডেসিমি.। লগের আয়তন = 14 × 14 × 20 = 3920 ঘন ডেসিমি. = 3.92 ঘন মিটার।
সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে বৃত্তাকার গুঁড়ি তৈরি করলে তার ব্যাসার্ধ হবে 14 2 = 7 ডেসিমি.
গুঁড়ির (চোঙের) আয়তন = 22 7 × 7² × 20 = 3080 ঘন ডেসিমি. = 3.08 ঘন মিটার।
নষ্ট হওয়া কাঠ = 3.92 – 3.08 = 0.84 ঘন মিটার।
উত্তর: 3.08 ঘন মিটার কাঠ থাকবে এবং 0.84 ঘন মিটার কাঠ নষ্ট হবে।

17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) M.C.Q.
(i) r ব্যাসার্ধের গোলক গলিয়ে r উচ্চতার শঙ্কু বানালে শঙ্কুর ব্যাসার্ধ: (a) 2r একক
(ii) শঙ্কু গলিয়ে একই ব্যাসার্ধের চোঙ বানালে, চোঙের উচ্চতা 5 সেমি হলে শঙ্কুর উচ্চতা: (b) 15 সেমি.
(iii) r ব্যাসার্ধ ও 2r উচ্চতার চোঙের মধ্যে সবচেয়ে বড়ো গোলক রাখলে তার ব্যাস: (b) 2r একক
(iv) r ব্যাসার্ধের অর্ধগোলক থেকে কেটে নেওয়া সবচেয়ে বড়ো শঙ্কুর আয়তন: (d) 1 3 πr³ ঘন একক
(v) x ধারের ঘনক থেকে কেটে নেওয়া সবচেয়ে বড়ো গোলকের ব্যাস: (a) x একক

(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি:
(i) দুটি r ব্যাসার্ধের নিরেট অর্ধগোলক ভূমি বরাবর জুড়লে সমগ্ৰতলের ক্ষেত্রফল 6πr² হবে। (মিথ্যা, 4πr² হবে)
(ii) শঙ্কু ও চোঙের ব্যাসার্ধ ও উচ্চতা সমান হলে মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্ৰতলের ক্ষেত্রফল (πrl + 2πrh + 2πr²)। (মিথ্যা, πrl + 2πrh + πr² হবে)

(C) শূন্যস্থান পূরণ:
(i) চোঙের দুই প্রান্তে অর্ধগোলক জুড়ে দিলে সমগ্ৰতলের ক্ষেত্রফল = চোঙের বক্রতল + একটি অর্ধগোলকের বক্রতল + অপরটির বক্রতল।
(ii) একমুখ কাটা পেনসিল চোঙ ও শঙ্কুর সমন্বয়।
(iii) গোলক গলিয়ে চোঙ বানালে আয়তন সমান হবে।

18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) শঙ্কু গলিয়ে একই ব্যাসার্ধের চোঙ তৈরি করলে, শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি হলে চোঙের উচ্চতা কত?
উত্তর: চোঙের উচ্চতা = 15 3 = 5 সেমি.

(ii) নিরেট শঙ্কু ও গোলকের ব্যাসার্ধ সমান এবং আয়তন সমান। গোলকের ব্যাস এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত কত?
উত্তর: গোলকের ব্যাস = 2r, শঙ্কুর উচ্চতা = 4r। অনুপাত = 2r : 4r = 1 : 2।

(iii) সমান ব্যাস ও উচ্চতাবিশিষ্ট চোঙ, শঙ্কু এবং গোলকের আয়তনের অনুপাত কত?
উত্তর: 3 : 1 : 2।

(iv) নীচের অংশ অর্ধগোলক এবং ওপরের অংশ শঙ্কু আকারের। দুই অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান হলে, ব্যাসার্ধ ও শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত কত?
উত্তর: 2πr² = πrl ⇒ l = 2r। h = √(l² – r²) = √3r। অনুপাত = r : √3r = 1 : √3।

(v) শঙ্কুর ব্যাসার্ধ গোলকের ব্যাসার্ধের সমান। গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুণ হলে, শঙ্কুর উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
উত্তর: 4 3 πr³ = 2 × 1 3 πr²h ⇒ 4r = 2h ⇒ h = 2r। অনুপাত = 2r : r = 2 : 1।