1. আমাদের বাড়ির জানালায় একটি মই ভূমির সঙ্গে 60° কোণে রাখা আছে। মইটি 2√3 মিটার লম্বা হলে আমাদের ওই জানালাটি ভূমি থেকে কত উপরে আছে ছবি এঁকে হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
(Part of WBBSE Class 10 Math Chapter 23.2 Solution)
ধরি, ভূমি থেকে জানালার উচ্চতা (লম্ব) = h মিটার।
মইটির দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = 2√3 মিটার।
মইটি ভূমির সঙ্গে 60° কোণ করে আছে।

আমরা জানি, sin 60° = লম্বঅতিভুজ
বা, √32 = h2√3
বা, 2h = √3 × 2√3
বা, 2h = 2 × 3
বা, 2h = 6 ⇒ h = 3 মিটার।

উত্তর: জানালাটি ভূমি থেকে 3 মিটার উপরে আছে।

2. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B সমকোণ। AB = 8√3 সেমি. এবং BC = 8 সেমি. হলে, ∠ACB ও ∠BAC-এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর ∠B = 90°।
∠ACB কোণের সাপেক্ষে:
লম্ব = AB = 8√3 সেমি.
ভূমি = BC = 8 সেমি.

আমরা জানি, tan(∠ACB) = লম্বভূমি
বা, tan(∠ACB) = 8√38
বা, tan(∠ACB) = √3
যেহেতু tan 60° = √3, তাই ∠ACB = 60°।

ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°।
∴ ∠BAC = 180° – (90° + 60°) = 180° – 150° = 30°।

উত্তর: ∠ACB = 60° এবং ∠BAC = 30°।

3. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90°, ∠A = 30° এবং AC = 20 সেমি.। BC এবং AB বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
(WBBSE Class 10 Math Chapter 23.2 Solution)
সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর অতিভুজ = AC = 20 সেমি.
∠A = 30° কোণের সাপেক্ষে:
লম্ব = BC এবং ভূমি = AB।

আমরা জানি, sin A = লম্বঅতিভুজ
বা, sin 30° = BCAC
বা, 12 = BC20
বা, 2BC = 20 ⇒ BC = 10 সেমি.

আবার, cos A = ভূমিঅতিভুজ
বা, cos 30° = AB20
বা, √32 = AB20
বা, 2AB = 20√3 ⇒ AB = 10√3 সেমি.

উত্তর: BC = 10 সেমি. এবং AB = 10√3 সেমি.।

4. PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠Q = 90°, ∠R = 45°; যদি PR = 3√2 মিটার হয়, তাহলে PQ ও QR বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধান:
PQR সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ = PR = 3√2 মিটার।
∠R = 45° কোণের সাপেক্ষে লম্ব = PQ এবং ভূমি = QR।

sin R = লম্বঅতিভুজ
বা, sin 45° = PQPR
বা, 1√2 = PQ3√2
বা, √2 PQ = 3√2 ⇒ PQ = 3 মিটার।

যেহেতু ত্রিভুজটিতে ∠Q = 90° এবং ∠R = 45°, তাই ∠P = 180° – (90° + 45°) = 45°।
সুতরাং, এটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে লম্ব ও ভূমি সমান।
∴ QR = PQ = 3 মিটার।

উত্তর: PQ = 3 মিটার এবং QR = 3 মিটার।

5. মান নির্ণয় করি:

(i) sin² 45° – cosec² 60° + sec² 30°
= (1√2)² – (2√3)² + (2√3)²
= 12 – 43 + 43
= 12
উত্তর: 12

(ii) sec² 45° – cot² 45° – sin² 30° – sin² 60°
= (√2)² – (1)² – (12)² – (√32)²
= 2 – 1 – 14 – 34
= 1 – (1 + 34)
= 1 – 44 = 1 – 1 = 0
উত্তর: 0

(iii) 3tan² 45° – sin² 60° – 13 cot² 30° – 18 sec² 45°
= 3(1)² – (√32)² – 13(√3)² – 18(√2)²
= 3 – 34 – 13 × 3 – 18 × 2
= 3 – 34 – 1 – 14
= (3 – 1) – (34 + 14)
= 2 – 44 = 2 – 1 = 1
উত্তর: 1

(iv) 43 cot² 30° + 3sin² 60° – 2cosec² 60° – 34 tan² 30°
= 43(√3)² + 3(√32)² – 2(2√3)² – 34(1√3)²
= 43 × 3 + 3 × 34 – 2 × 43 – 34 × 13
= 4 + 94 – 83 – 14
= 4 + (94 – 14) – 83
= 4 + 84 – 83 = 4 + 2 – 83
= 6 – 83 = 18 – 83 = 103 = 313
উত্তর: 313