1. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছি যার অতিভুজ AB = 10 সেমি., ভূমি BC = 8 সেমি. এবং লম্ব AC = 6 সেমি.। ∠ABC-এর sine এবং tangent-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:
(Part of WBBSE Class 10 Math Chapter 23.1 Solution)
এখানে ∠ABC কোণের সাপেক্ষে,
লম্ব (Perpendicular) = AC = 6 সেমি.
ভূমি (Base) = BC = 8 সেমি.
অতিভুজ (Hypotenuse) = AB = 10 সেমি.

আমরা জানি, sin(∠ABC) = লম্বঅতিভুজ
∴ sin(∠ABC) = ACAB = 610 = 35

আবার, tan(∠ABC) = লম্বভূমি
∴ tan(∠ABC) = ACBC = 68 = 34

উত্তর: ∠ABC-এর sine-এর মান 35 এবং tangent-এর মান 34।

2. সোমা একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছে যার ∠ABC = 90°, AB = 24 সেমি. এবং BC = 7 সেমি.। হিসাব করে sinA, cosA, tanA ও cosecA-এর মান লিখি।

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর ∠B = 90°।
সুতরাং, অতিভুজ হলো AC।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AC² = AB² + BC²
বা, AC² = (24)² + (7)² = 576 + 49 = 625
∴ AC = √625 = 25 সেমি.

A কোণের সাপেক্ষে ( লম্ব (বিপরীত বাহু) = BC = 7 সেমি.
ভূমি (সংলগ্ন বাহু) = AB = 24 সেমি.
অতিভুজ = AC = 25 সেমি.

sinA = লম্বঅতিভুজ = BCAC = 725

cosA = ভূমিঅতিভুজ = ABAC = 2425

tanA = লম্বভূমি = BCAB = 724

cosecA = 1sinA = অতিভুজলম্ব = ACBC = 257

উত্তর: sinA = 725, cosA = 2425, tanA = 724 এবং cosecA = 257।

3. যদি ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের ∠C = 90°, BC = 21 একক এবং AB = 29 একক হয়, তাহলে sinA, cosA, sinB ও cosB-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:
যেহেতু ∠C = 90°, তাই অতিভুজ হলো AB।
এখানে, AB = 29 একক এবং BC = 21 একক।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
AC² = AB² – BC²
বা, AC² = (29)² – (21)² = 841 – 441 = 400
∴ AC = √400 = 20 একক।

A কোণের সাপেক্ষে: লম্ব = BC = 21, ভূমি = AC = 20, অতিভুজ = AB = 29।
sinA = BCAB = 2129
cosA = ACAB = 2029

B কোণের সাপেক্ষে: লম্ব = AC = 20, ভূমি = BC = 21, অতিভুজ = AB = 29।
sinB = ACAB = 2029
cosB = BCAB = 2129

উত্তর: sinA = 2129, cosA = 2029, sinB = 2029, cosB = 2129।

4. যদি cosθ = 725 হয়, তাহলে θ কোণের সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান নির্ণয় করি।

সমাধান:
(Based on WBBSE Class 10 Math Chapter 23.1 Solution process)
দেওয়া আছে, cosθ = ভূমিঅতিভুজ = 725
ধরি, ভূমি = 7k এবং অতিভুজ = 25k (যেখানে k একটি ধ্রুবক এবং k > 0)।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব² = অতিভুজ² – ভূমি² = (25k)² – (7k)² = 625k² – 49k² = 576k²
∴ লম্ব = √(576k²) = 24k।

সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলি হলো:
sinθ = লম্বঅতিভুজ = 24k25k = 2425

tanθ = লম্বভূমি = 24k7k = 247

cosecθ = 1sinθ = 2524

secθ = 1cosθ = 257

cotθ = 1tanθ = 724

5. যদি cotθ = 2 হয়, তাহলে tanθ ও secθ-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, 1 + tan²θ = sec²θ

সমাধান:
দেওয়া আছে, cotθ = 2 = 21
∴ tanθ = 1cotθ = 12

আমরা জানি, tanθ = লম্বভূমি = 12
ধরি, লম্ব = 1k এবং ভূমি = 2k।
অতিভুজ = √(লম্ব² + ভূমি²) = √((1k)² + (2k)²) = √(1k² + 4k²) = √(5k²) = √5 k।

secθ = অতিভুজভূমি = √5 k2k = √52

প্রমাণ:
L.H.S (বামপক্ষ) = 1 + tan²θ = 1 + (12)² = 1 + 14 = 4 + 14 = 54
R.H.S (ডানপক্ষ) = sec²θ = (√52)² = 54
∴ L.H.S = R.H.S (প্রমাণিত)

6. cosθ = 0.6 হলে, দেখাই যে, (5sinθ – 3tanθ) = 0

সমাধান:
দেওয়া আছে, cosθ = 0.6 = 610 = 35
আমরা জানি, cosθ = ভূমিঅতিভুজ
ধরি, ভূমি = 3k এবং অতিভুজ = 5k।
লম্ব = √(অতিভুজ² – ভূমি²) = √((5k)² – (3k)²) = √(25k² – 9k²) = √(16k²) = 4k।

∴ sinθ = লম্বঅতিভুজ = 4k5k = 45
tanθ = লম্বভূমি = 4k3k = 43

L.H.S (বামপক্ষ) = 5sinθ – 3tanθ
= 5 × 45 – 3 × 43
= 4 – 4 = 0 = R.H.S (প্রমাণিত)

7. যদি cotA = 47.5 হয়, তাহলে cosA এবং cosecA-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, 1 + cot²A = cosec²A

সমাধান:
দেওয়া আছে, cotA = 47.5 = 4075 = 815
আমরা জানি, cotA = ভূমিলম্ব
ধরি, ভূমি = 8k এবং লম্ব = 15k।
অতিভুজ = √(লম্ব² + ভূমি²) = √((15k)² + (8k)²) = √(225k² + 64k²) = √(289k²) = 17k।

cosA = ভূমিঅতিভুজ = 8k17k = 817
cosecA = অতিভুজলম্ব = 17k15k = 1715

প্রমাণ:
L.H.S = 1 + cot²A = 1 + (815)² = 1 + 64225 = 225 + 64225 = 289225
R.H.S = cosec²A = (1715)² = 289225
∴ L.H.S = R.H.S (প্রমাণিত)

8. যদি sinC = 23 হয়, তবে cosC × cosecC-এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
দেওয়া আছে, sinC = 23 = লম্বঅতিভুজ
ধরি, লম্ব = 2k এবং অতিভুজ = 3k।
ভূমি = √(অতিভুজ² – লম্ব²) = √((3k)² – (2k)²) = √(9k² – 4k²) = √(5k²) = √5 k।

cosC = ভূমিঅতিভুজ = √5 k3k = √53
cosecC = 1sinC = 32

∴ cosC × cosecC = √53 × 32 = √52

উত্তর: cosC × cosecC এর মান √52।

9. নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

সমাধান:
(i) tanA-এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা বড়ো।
মিথ্যা। কারণ tanA = লম্বভূমি। সমকোণী ত্রিভুজে লম্ব ভূমির চেয়ে ছোটো হতে পারে। লম্ব ছোটো হলে tanA এর মান 1 অপেক্ষা ছোটো হবে।

(ii) cotA-এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা ছোটো।
মিথ্যা। কারণ cotA = ভূমিলম্ব। ভূমি লম্বের চেয়ে বড়ো হতে পারে, সেক্ষেত্রে cotA এর মান 1 অপেক্ষা বড়ো হবে।

(iii) একটি কোণ θ-এর জন্য sinθ = 43 হতে পারে।
মিথ্যা। কারণ sinθ = লম্বঅতিভুজ। সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ হলো বৃহত্তম বাহু। তাই লম্ব কখনও অতিভুজের চেয়ে বড়ো হতে পারে না, অর্থাৎ sinθ এর মান কখনও 1 এর চেয়ে বড়ো হতে পারে না।

(iv) একটি কোণ α-এর জন্য secα = 125 হতে পারে।
সত্য। কারণ secα = অতিভুজভূমি। অতিভুজ সর্বদা ভূমির চেয়ে বড়ো হয়, তাই secα এর মান 1 অপেক্ষা বড়ো হতে পারে।

(v) একটি কোণ β(Beta)-এর জন্য cosecβ = 513 হতে পারে।
মিথ্যা। কারণ cosecβ = অতিভুজলম্ব। অতিভুজ সর্বদা লম্বের চেয়ে বড়ো, তাই cosecβ এর মান কখনও 1 এর চেয়ে ছোটো (যেমন 513) হতে পারে না।

(vi) একটি কোণ θ-এর জন্য cosθ = 35 হতে পারে।
সত্য। কারণ cosθ = ভূমিঅতিভুজ। ভূমি সর্বদা অতিভুজের চেয়ে ছোটো হয়, তাই cosθ এর মান 1 অপেক্ষা ছোটো (35) হওয়া সম্ভব।