_ix_i / Σf_i কল্পিত গড় পদ্ধতি (Assumed Mean Method): গড় (x̄) = a + (Σf_id_i / Σf_i)

1. আমি আমার 40 জন বন্ধুর বয়স নীচের ছকে লিখেছি, আমি আমার বন্ধুদের গড় বয়স প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নির্ণয় করি।

সমাধান:
(Part of WBBSE Class 10 Math Chapter 26.1 Solution)
প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের জন্য নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি তৈরি করি:

বয়স (বছর) (xi)	বন্ধুর সংখ্যা (fi)	fixi
15	4	60
16	7	112
17	10	170
18	10	180
19	5	95
20	4	80
মোট (Total)	Σfi = 40	Σfixi = 697

আমরা জানি, প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে গড় (x̄) = Σf_ix_iΣf_i
∴ নির্ণেয় গড় বয়স = 69740 = 17.425 বছর।

উত্তর: বন্ধুদের গড় বয়স 17.425 বছর।

2. গ্রামের 50 টি পরিবারের সদস্য সংখ্যা নীচের তালিকায় লিখেছি। ওই 50 টি পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা কল্পিত গড় পদ্ধতিতে লিখি।

সমাধান:
কল্পিত গড় পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের জন্য ছকটি তৈরি করি।
ধরি, কল্পিত গড় (a) = 4।

সদস্য সংখ্যা (xi)	পরিবারের সংখ্যা (fi)	di = xi − a (a=4)	fidi
2	6	2 − 4 = −2	−12
3	8	3 − 4 = −1	−8
4 (=a)	14	4 − 4 = 0	0
5	15	5 − 4 = 1	15
6	4	6 − 4 = 2	8
7	3	7 − 4 = 3	9
মোট (Total)	Σfi = 50		Σfidi = 12

[হিসাব: Σf_id_i = (−12 − 8) + (15 + 8 + 9) = −20 + 32 = 12]

আমরা জানি, কল্পিত গড় পদ্ধতিতে গড় (x̄) = a + Σf_id_iΣf_i
∴ নির্ণেয় গড় = 4 + 1250 = 4 + 0.24 = 4.24

উত্তর: পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা 4.24।

3. যদি নীচের প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় 20.6 হয়, তবে a-এর মান নির্ণয় করি :

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যগুলি থেকে প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের ছক তৈরি করি:

চল (xi)	পরিসংখ্যা (fi)	fixi
10	3	30
15	10	150
a	25	25a
25	7	175
35	5	175
মোট (Total)	Σfi = 50	Σfixi = 530 + 25a

[হিসাব: Σf_ix_i = 30 + 150 + 175 + 175 + 25a = 530 + 25a]

যৌগিক গড় = Σf_ix_iΣf_i = 530 + 25a50
দেওয়া আছে, যৌগিক গড় = 20.6
শর্তানুসারে,
530 + 25a50 = 20.6
বা, 530 + 25a = 20.6 × 50
বা, 530 + 25a = 1030
বা, 25a = 1030 − 530
বা, 25a = 500
বা, a = 50025 = 20

উত্তর: a-এর মান 20।

4. যদি নীচের প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় 15 হয়, তবে p-এর মান হিসাব করে লিখি :

সমাধান:
প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে ছকটি তৈরি করি:

চল (xi)	পরিসংখ্যা (fi)	fixi
5	6	30
10	p	10p
15	6	90
20	10	200
25	5	125
মোট (Total)	Σfi = 27 + p	Σfixi = 445 + 10p

[হিসাব: Σf_i = 6 + 6 + 10 + 5 + p = 27 + p]
[Σf_ix_i = 30 + 90 + 200 + 125 + 10p = 445 + 10p]

যৌগিক গড় = Σf_ix_iΣf_i = 445 + 10p27 + p
দেওয়া আছে, যৌগিক গড় = 15
শর্তানুসারে,
445 + 10p27 + p = 15
বা, 445 + 10p = 15(27 + p)
বা, 445 + 10p = 405 + 15p
বা, 15p − 10p = 445 − 405
বা, 5p = 40
বা, p = 405 = 8

উত্তর: p-এর মান 8।

5. রহমতচাচা তার 50 টি বাক্সে বিভিন্ন সংখ্যায় আম ভরে পাইকারি বাজারে নিয়ে যাবেন। কতগুলি বাক্সে কতগুলি আম রাখলেন তার তথ্য নীচের ছকে লিখলাম। আমি ওই 50 টি বাক্সে গড় আমের সংখ্যা হিসাব করে লিখি। (যেকোনো পদ্ধতিতে)

সমাধান:
(Part of WBBSE Class 10 Math Chapter 26.1 Solution)
এখানে আমরা কল্পিত গড় পদ্ধতি (Assumed Mean Method) ব্যবহার করে গড় নির্ণয় করব।
ধরি, কল্পিত গড় (a) = 55।

আমের সংখ্যা (শ্রেণি)	বাক্সের সংখ্যা (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	di = xi − 55	fidi
50 – 52	6	51	−4	−24
52 – 54	14	53	−2	−28
54 – 56	16	55 (= a)	0	0
56 – 58	9	57	2	18
58 – 60	5	59	4	20
মোট (Total)	Σfi = 50			Σfidi = −14

[হিসাব: Σf_id_i = (−24 − 28) + (18 + 20) = −52 + 38 = −14]

কল্পিত গড় পদ্ধতিতে গড় (x̄) = a + Σf_id_iΣf_i
∴ নির্ণেয় গড় = 55 + (−1450) = 55 − 0.28 = 54.72

উত্তর: 50 টি বাক্সে গড় আমের সংখ্যা 54.72 টি।

6. মহিদুল পাড়ার হাসপাতালের 100 জন রোগীর বয়স নীচের ছকে লিখল। ওই 100 জন রোগীর গড় বয়স হিসাব করে লিখি। (যে-কোনো পদ্ধতিতে)

সমাধান:
এখানে আমরা ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতি (Step-Deviation Method) ব্যবহার করে গড় নির্ণয় করব, কারণ এতে হিসাব সহজ হবে।
ধরি, কল্পিত গড় (a) = 35 এবং শ্রেণির দৈর্ঘ্য (h) = 10।

বয়স (বছর)	রোগীর সংখ্যা (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	ui = xi − 3510	fiui
10 – 20	12	15	−2	−24
20 – 30	8	25	−1	−8
30 – 40	22	35 (= a)	0	0
40 – 50	20	45	1	20
50 – 60	18	55	2	36
60 – 70	20	65	3	60
মোট (Total)	Σfi = 100			Σfiui = 84

[হিসাব: Σf_iu_i = (−24 − 8) + (20 + 36 + 60) = −32 + 116 = 84]

ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতিতে গড় (x̄) = a + h × Σf_iu_iΣf_i
∴ নির্ণেয় গড় = 35 + 10 × 84100 = 35 + 8410 = 35 + 8.4 = 43.4

উত্তর: রোগীদের গড় বয়স 43.4 বছর।

7. প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।

(i) প্রথম ছকের সমাধান:

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	fixi
0 – 10	4	5	20
10 – 20	6	15	90
20 – 30	10	25	250
30 – 40	6	35	210
40 – 50	4	45	180
মোট	Σfi = 30		Σfixi = 750

গড় (x̄) = Σf_ix_iΣf_i = 75030 = 25
উত্তর (i): 25।


(ii) দ্বিতীয় ছকের সমাধান:

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	fixi
10 – 20	10	15	150
20 – 30	16	25	400
30 – 40	20	35	700
40 – 50	30	45	1350
50 – 60	13	55	715
60 – 70	11	65	715
মোট	Σfi = 100		Σfixi = 4030

গড় (x̄) = Σf_ix_iΣf_i = 4030100 = 40.3
উত্তর (ii): 40.3।

8. কল্পিত গড় পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।

(i) প্রথম ছকের সমাধান:
ଧরি, কল্পিত গড় (a) = 100।

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	di = xi − 100	fidi
0 – 40	12	20	−80	−960
40 – 80	20	60	−40	−800
80 – 120	25	100 (= a)	0	0
120 – 160	20	140	40	800
160 – 200	13	180	80	1040
মোট	Σfi = 90			Σfidi = 80

[হিসাব: Σf_id_i = (−1760) + 1840 = 80]
গড় (x̄) = a + Σf_id_iΣf_i = 100 + 8090 = 100 + 89 = 100 + 0.89 (প্রায়) = 100.89
উত্তর (i): 100.89 (প্রায়)।


(ii) দ্বিতীয় ছকের সমাধান:
ধরি, কল্পিত গড় (a) = 50।

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	di = xi − 50	fidi
25 – 35	4	30	−20	−80
35 – 45	10	40	−10	−100
45 – 55	8	50 (= a)	0	0
55 – 65	12	60	10	120
65 – 75	6	70	20	120
মোট	Σfi = 40			Σfidi = 60

[হিসাব: Σf_id_i = (−180) + 240 = 60]
গড় (x̄) = a + Σf_id_iΣf_i = 50 + 6040 = 50 + 1.5 = 51.5
উত্তর (ii): 51.5।

9. (i) ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি[cite: 19, 20]:

সমাধান:
ধরি, কল্পিত গড় (a) = 75 এবং শ্রেণির দৈর্ঘ্য (h) = 30।

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	ui = xi − 7530	fiui
0 – 30	12	15	−2	−24
30 – 60	15	45	−1	−15
60 – 90	20	75 (= a)	0	0
90 – 120	25	105	1	25
120 – 150	8	135	2	16
মোট	Σfi = 80			Σfiui = 2

[হিসাব: Σf_iu_i = (−39) + 41 = 2]
ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে গড় (x̄) = a + h × Σf_iu_iΣf_i
= 75 + 30 × 280 = 75 + 68 = 75 + 0.75 = 75.75
উত্তর (i): 75.75।

9. (ii) ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি[cite: 19, 20]:

সমাধান:
ধরি, কল্পিত গড় (a) = 35 এবং শ্রেণির দৈর্ঘ্য (h) = 14।

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	ui = xi − 3514	fiui
0 – 14	7	7	−2	−14
14 – 28	21	21	−1	−21
28 – 42	35	35 (= a)	0	0
42 – 56	11	49	1	11
56 – 70	16	63	2	32
মোট	Σfi = 90			Σfiui = 8

[হিসাব: Σf_iu_i = (−35) + 43 = 8]
গড় (x̄) = a + h × Σf_iu_iΣf_i = 35 + 14 × 890 = 35 + 11290 = 35 + 1.24 (প্রায়) = 36.24
উত্তর (ii): 36.24 (প্রায়)।

10. যদি নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার নম্বরের যৌগিক গড় 24 হয়, তবে p-এর মান নির্ণয় করি[cite: 19, 20]:

সমাধান:
প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে ছকটি তৈরি করি:

শ্রেণি-সীমানা (নম্বর)	ছাত্র সংখ্যা (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	fixi
0 – 10	15	5	75
10 – 20	20	15	300
20 – 30	35	25	875
30 – 40	p	35	35p
40 – 50	10	45	450
মোট	Σfi = 80 + p		Σfixi = 1700 + 35p

যৌগিক গড় = 1700 + 35p80 + p
শর্তানুসারে,
1700 + 35p80 + p = 24
বা, 1700 + 35p = 24(80 + p)
বা, 1700 + 35p = 1920 + 24p
বা, 35p − 24p = 1920 − 1700
বা, 11p = 220 ⇒ p = 20

উত্তর: p-এর মান 20।

11. আলোচনা সভায় উপস্থিত ব্যক্তিদের বয়সের তালিকা দেখি ও গড় বয়স নির্ণয় করি[cite: 19, 20]।

সমাধান:
কল্পিত গড় পদ্ধতিতে ছকটি তৈরি করি (ধরি, a = 42):

বয়স (বছর)	রোগীর সংখ্যা (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	di = xi − 42	fidi
30 – 34	10	32	−10	−100
35 – 39	12	37	−5	−60
40 – 44	15	42 (= a)	0	0
45 – 49	6	47	5	30
50 – 54	4	52	10	40
55 – 59	3	57	15	45
মোট	Σfi = 50			Σfidi = −45

[হিসাব: Σf_id_i = (−160) + 115 = −45]
গড় (x̄) = a + Σf_id_iΣf_i = 42 + (−4550) = 42 − 0.9 = 41.1

উত্তর: উপস্থিত ব্যক্তিদের গড় বয়স 41.1 বছর।

12. নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি[cite: 19, 20]:

সমাধান:
ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে ছকটি তৈরি করি (ধরি, a = 39.5, h = 10):

শ্রেণি-সীমা	পরিসংখ্যা (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	ui = xi − 39.510	fiui
5 – 14	3	9.5	−3	−9
15 – 24	6	19.5	−2	−12
25 – 34	18	29.5	−1	−18
35 – 44	20	39.5 (= a)	0	0
45 – 54	10	49.5	1	10
55 – 64	3	59.5	2	6
মোট	Σfi = 60			Σfiui = −23

গড় (x̄) = a + h × Σf_iu_iΣf_i = 39.5 + 10 × (−2360) = 39.5 − 236 = 39.5 − 3.83 (প্রায়) = 35.67
উত্তর: নির্ণেয় গড় 35.67 (প্রায়)।

13. ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করি যদি তাদের প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নিম্নরূপ হয়[cite: 20]:

সমাধান:
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা থেকে সাধারণ পরিসংখ্যা (f_i) বের করে ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে ছকটি তৈরি করি (ধরি, a = 25, h = 10):

শ্রেণি-সীমানা	ছাত্রী সংখ্যা (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	ui = xi − 2510	fiui
0 – 10	5	5	−2	−10
10 – 20	9 − 5 = 4	15	−1	−4
20 – 30	17 − 9 = 8	25 (= a)	0	0
30 – 40	29 − 17 = 12	35	1	12
40 – 50	45 − 29 = 16	45	2	32
মোট	Σfi = 45			Σfiui = 30

গড় (x̄) = a + h × Σf_iu_iΣf_i = 25 + 10 × 3045 = 25 + 10 × 23 = 25 + 6.66 (প্রায়) = 31.67
উত্তর: ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 31.67 (প্রায়)।

14. নীচের তালিকার 64 জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করি[cite: 20]।

সমাধান:
যেহেতু এখানে শ্রেণি-দৈর্ঘ্য অসমান, তাই আমরা প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে সমাধান করব[cite: 20]:

শ্রেণি-সীমানা (নম্বর)	ছাত্র (fi)	শ্রেণি মধ্যক (xi)	fixi
1 – 4	6	2.5	15
4 – 9	12	6.5	78
9 – 16	26	12.5	325
16 – 17	20	16.5	330
মোট	Σfi = 64		Σfixi = 748

গড় (x̄) = Σf_ix_iΣf_i = 74864 = 11.6875
উত্তর: ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 11.6875।