WBBSE Class 8 Math Solution

Ganit Prabha VIII solution

কষে দেখি 4.2 সমাধান

বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুণ ও ভাগ

WBBSE Class 8 Chapter 4 Solution

1. দুটি সংখ্যার গুণফল 3x² + 8x + 4 এবং একটি সংখ্যা 3x + 2 হলে, অপর সংখ্যাটি হিসাব করে লিখি।[cite: 21]

সমাধান:
আমরা জানি, অপর সংখ্যাটি = গুণফল একটি সংখ্যা

অর্থাৎ, অপর সংখ্যাটি = (3x² + 8x + 4) ÷ (3x + 2)
= 3x² + 8x + 4 3x + 2

লবটিকে (3x² + 8x + 4) মধ্যপদ উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Middle Term Factor) করে পাই:
3x² + 6x + 2x + 4
= 3x(x + 2) + 2(x + 2)
= (3x + 2)(x + 2)

অতএব, ভাগফল = (3x + 2)(x + 2) 3x + 2
= x + 2
উত্তর: অপর সংখ্যাটি হলো (x + 2)।

2. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (24x² – 65xy + 21y²) বর্গসেমি. এবং দৈর্ঘ্য (8x – 3y) সেমি. হলে প্রস্থ কত হিসাব করে লিখি।[cite: 21]

সমাধান:
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য

প্রস্থ = (24x² – 65xy + 21y²) ÷ (8x – 3y)
= 24x² – 65xy + 21y² 8x – 3y

ক্ষেত্রফলটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি: (24 × 21 = 504; 56 + 9 = 65)
24x² – 56xy – 9xy + 21y²
= 8x(3x – 7y) – 3y(3x – 7y)
= (8x – 3y)(3x – 7y)

অতএব, প্রস্থ = (8x – 3y)(3x – 7y) 8x – 3y
= 3x – 7y
উত্তর: আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ (3x – 7y) সেমি.।

3. একটি ভাগ অঙ্কে ভাজ্য x⁴ + x³y + xy³ – y⁴ এবং ভাজক x² + xy – y² ; ভাগফল ও ভাগশেষ নির্ণয় করি।[cite: 21]

সমাধান:
ভাজ্যটিকে সাজিয়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
x⁴ + x³y + xy³ – y⁴
= x⁴ – y⁴ + x³y + xy³
= (x²)² – (y²)² + xy(x² + y²)
= (x² – y²)(x² + y²) + xy(x² + y²)
উভয় পদ থেকে (x² + y²) কমন নিলে পাই:
= (x² + y²)(x² – y² + xy)
= (x² + y²)(x² + xy – y²)

এখন, ভাজ্য ÷ ভাজক = (x² + y²)(x² + xy – y²) (x² + xy – y²)
= x² + y²
যেহেতু ভাগটি সম্পূর্ণরূপে মিলে গেছে, তাই ভাগশেষ হবে 0।
উত্তর: ভাগফল = x² + y² এবং ভাগশেষ = 0।

4. ভাগ করি —[cite: 21]

a) (m² + 4m – 21) কে (m – 3) দিয়ে।
সমাধান:
= m² + 7m – 3m – 21 m – 3
= m(m + 7) – 3(m + 7) m – 3
= (m – 3)(m + 7) m – 3
= m + 7

b) (6c² – 7c + 2) কে (3c – 2) দিয়ে।
সমাধান:
= 6c² – 4c – 3c + 2 3c – 2
= 2c(3c – 2) – 1(3c – 2) 3c – 2
= (3c – 2)(2c – 1) 3c – 2
= 2c – 1

c) (2a⁴ – a³ – 2a² + 5a – 1) কে (2a² + a – 3) দিয়ে।
সমাধান: দীর্ঘ ভাগ পদ্ধতি (Long Division)
প্রথম পদ: (2a⁴) ÷ (2a²) = a²
গুণফল: a²(2a² + a – 3) = 2a⁴ + a³ – 3a²
বিয়োগফল: (2a⁴ – a³ – 2a²) – (2a⁴ + a³ – 3a²) = -2a³ + a²
পরের পদ নামালে: -2a³ + a² + 5a
দ্বিতীয় পদ: (-2a³) ÷ (2a²) = -a
গুণফল: -a(2a² + a – 3) = -2a³ – a² + 3a
বিয়োগফল: (-2a³ + a² + 5a) – (-2a³ – a² + 3a) = 2a² + 2a
পরের পদ নামালে: 2a² + 2a – 1
তৃতীয় পদ: (2a²) ÷ (2a²) = 1
গুণফল: 1(2a² + a – 3) = 2a² + a – 3
বিয়োগফল: (2a² + 2a – 1) – (2a² + a – 3) = a + 2
উত্তর: ভাগফল = a² – a + 1, ভাগশেষ = a + 2।

d) (m⁴ – 2m³ – 7m² + 8m + 12) কে (m² – m – 6) দিয়ে।
সমাধান: দীর্ঘ ভাগ পদ্ধতি (Long Division)
প্রথম পদ: (m⁴) ÷ (m²) = m²
গুণফল: m²(m² – m – 6) = m⁴ – m³ – 6m²
বিয়োগফল: (m⁴ – 2m³ – 7m²) – (m⁴ – m³ – 6m²) = -m³ – m²
পরের পদ নামালে: -m³ – m² + 8m
দ্বিতীয় পদ: (-m³) ÷ (m²) = -m
গুণফল: -m(m² – m – 6) = -m³ + m² + 6m
বিয়োগফল: (-m³ – m² + 8m) – (-m³ + m² + 6m) = -2m² + 2m
পরের পদ নামালে: -2m² + 2m + 12
তৃতীয় পদ: (-2m²) ÷ (m²) = -2
গুণফল: -2(m² – m – 6) = -2m² + 2m + 12
বিয়োগফল: 0
উত্তর: ভাগফল = m² – m – 2, ভাগশেষ = 0।

5. সরল/ভাগফল নির্ণয়:[cite: 21]

a) (6x²a³ – 4x³a² + 8x⁴a²) ÷ 2a²x²
সমাধান:
= 6x²a³ 2a²x² – 4x³a² 2a²x² + 8x⁴a² 2a²x²
= 3a – 2x + 4x²

b) 2y⁹x⁵ 5x² × 125xy⁵ 16x⁴y¹⁰
সমাধান:
সংখ্যাগুলোর গুণ: 2 × 125 5 × 16 = 250 80 = 25 8
x এর সূচক: x⁵ × x x² × x⁴ = x⁶ x⁶ = 1
y এর সূচক: y⁹ × y⁵ y¹⁰ = y¹⁴ y¹⁰ = y⁴
উত্তর: 25 8 y⁴

c) 7a⁴y² 9a² × 729a⁶ 42y⁶
সমাধান:
সংখ্যাগুলোর গুণ: 7 × 729 9 × 42 = 5103 378 = 27 2
a এর সূচক: a⁴ × a⁶ a² = a¹⁰ a² = a⁸
y এর সূচক: y² y⁶ = 1 y⁴
উত্তর: 27a⁸ 2y⁴

d) (p²q²r⁵ – p³q⁵r² + p⁵q³r²) ÷ p²q²r²
সমাধান:
= p²q²r⁵ p²q²r² – p³q⁵r² p²q²r² + p⁵q³r² p²q²r²
= r³ – pq³ + p³q

6. কোনো ভাগ অঙ্কে ভাজক (x – 4), ভাগফল (x² + 4x + 4) ও ভাগশেষ 3 হলে ভাজ্য কত হবে হিসাব করে লিখি। [ ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ ][cite: 21]

সমাধান:
ভাজ্য = (x – 4) × (x² + 4x + 4) + 3
= [x(x² + 4x + 4) – 4(x² + 4x + 4)] + 3
= x³ + 4x² + 4x – 4x² – 16x – 16 + 3
= x³ – 12x – 13
উত্তর: ভাজ্য = x³ – 12x – 13

7. কোনো ভাগ অঙ্কে ভাজক (a² + 2a – 1), ভাগফল 5a – 14 এবং ভাগশেষ 35a – 17 হলে ভাজ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।[cite: 21]

সমাধান:
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
ভাজ্য = (a² + 2a – 1)(5a – 14) + (35a – 17)
= (5a³ – 14a² + 10a² – 28a – 5a + 14) + 35a – 17
সদৃশ পদগুলোর যোগ-বিয়োগ করে পাই:
= 5a³ – 4a² – 33a + 14 + 35a – 17
= 5a³ – 4a² + 2a – 3
উত্তর: ভাজ্য = 5a³ – 4a² + 2a – 3

8. ভাগ করে ভাগফল ও ভাগশেষ লিখি।[cite: 21]

i) (x² + 11x + 27) ÷ (x + 6)
সমাধান:
প্রথম পদ: (x²) ÷ x = x। গুণফল: x(x + 6) = x² + 6x। বিয়োগফল: (x² + 11x) – (x² + 6x) = 5x
পরের পদ নামালে: 5x + 27
দ্বিতীয় পদ: (5x) ÷ x = 5। গুণফল: 5(x + 6) = 5x + 30। বিয়োগফল: (5x + 27) – (5x + 30) = -3
উত্তর: ভাগফল = x + 5, ভাগশেষ = -3

ii) (81x⁴ + 2) ÷ (3x – 1)
সমাধান:
প্রথম পদ: (81x⁴) ÷ 3x = 27x³ → গুণফল: 81x⁴ – 27x³। বিয়োগফল: 27x³ + 2
দ্বিতীয় পদ: (27x³) ÷ 3x = 9x² → গুণফল: 27x³ – 9x²। বিয়োগফল: 9x² + 2
তৃতীয় পদ: (9x²) ÷ 3x = 3x → গুণফল: 9x² – 3x। বিয়োগফল: 3x + 2
চতুর্থ পদ: (3x) ÷ 3x = 1 → গুণফল: 3x – 1। বিয়োগফল: (3x + 2) – (3x – 1) = 3
উত্তর: ভাগফল = 27x³ + 9x² + 3x + 1, ভাগশেষ = 3

iii) (63x² – 19x – 20) ÷ (9x² + 5)
সমাধান:
প্রথম পদ: (63x²) ÷ (9x²) = 7
গুণফল: 7(9x² + 5) = 63x² + 35
বিয়োগফল: (63x² – 19x – 20) – (63x² + 35) = -19x – 55
উত্তর: ভাগফল = 7, ভাগশেষ = -19x – 55
(বিশেষ দ্রষ্টব্য: বইতে যদি ভাজক (9x + 5) বোঝানো হয়ে থাকে, তবে ভাগফল হবে (7x – 6) এবং ভাগশেষ হবে 10।)

iv) (x³ – x² – 8x – 13) ÷ (x² + 3x + 3)
সমাধান:
প্রথম পদ: (x³) ÷ x² = x। গুণফল: x(x² + 3x + 3) = x³ + 3x² + 3x। বিয়োগফল: (x³ – x² – 8x) – (x³ + 3x² + 3x) = -4x² – 11x
পরের পদ নামালে: -4x² – 11x – 13
দ্বিতীয় পদ: (-4x²) ÷ x² = -4। গুণফল: -4(x² + 3x + 3) = -4x² – 12x – 12। বিয়োগফল: (-4x² – 11x – 13) – (-4x² – 12x – 12) = x – 1
উত্তর: ভাগফল = x – 4, ভাগশেষ = x – 1