WBBSE Class 8 Math Solution

Ganit Prabha VIII solution

কষে দেখি 4.1 সমাধান

বীজগাণিতিক সংখ্যামালার গুণ ও ভাগ

WBBSE Class 8 Chapter 4 Solution

1. ছক পূরণ করি :

প্রতিটি অংশের বিস্তারিত গণনা:

a) ১ম রাশি = x² – 3x + 5, ২য় রাশি = 5x + 9
গুণফল = (x² – 3x + 5)(5x + 9)
= x²(5x + 9) – 3x(5x + 9) + 5(5x + 9)
= 5x³ + 9x² – 15x² – 27x + 25x + 45
= 5x³ – 6x² – 2x + 45
x = 1 বসালে গুণফলের মান: 5(1)³ – 6(1)² – 2(1) + 45 = 5 – 6 – 2 + 45 = 42

b) ১ম রাশি = x² + 12 – 7y, ২য় রাশি = 2x – y
গুণফল = (x² – 7y + 12)(2x – y)
= x²(2x – y) – 7y(2x – y) + 12(2x – y)
= 2x³ – x²y – 14xy + 7y² + 24x – 12y
x = -2 ও y = 2 বসালে গুণফলের মান:
= 2(-2)³ – (-2)²(2) – 14(-2)(2) + 7(2)² + 24(-2) – 12(2)
= 2(-8) – 4(2) + 56 + 7(4) – 48 – 24
= -16 – 8 + 56 + 28 – 48 – 24
= 84 – 96 = -12

c) ১ম রাশি = 8p³ – 3p – 2p², ২য় রাশি = 4p² – 5
গুণফল = (8p³ – 2p² – 3p)(4p² – 5)
= 8p³(4p² – 5) – 2p²(4p² – 5) – 3p(4p² – 5)
= 32p⁵ – 40p³ – 8p⁴ + 10p² – 12p³ + 15p
= 32p⁵ – 8p⁴ – 52p³ + 10p² + 15p
p = -2 বসালে গুণফলের মান:
= 32(-2)⁵ – 8(-2)⁴ – 52(-2)³ + 10(-2)² + 15(-2)
= 32(-32) – 8(16) – 52(-8) + 10(4) – 30
= -1024 – 128 + 416 + 40 – 30
= -1152 + 456 – 30 = -696 – 30 = -726

d) ১ম রাশি = 6a + 5b + 2, ২য় রাশি = a – b + 6
গুণফল = (6a + 5b + 2)(a – b + 6)
= 6a(a – b + 6) + 5b(a – b + 6) + 2(a – b + 6)
= 6a² – 6ab + 36a + 5ab – 5b² + 30b + 2a – 2b + 12
= 6a² – ab – 5b² + 38a + 28b + 12
a = 0 ও b = -1 বসালে গুণফলের মান:
= 6(0)² – (0)(-1) – 5(-1)² + 38(0) + 28(-1) + 12
= 0 – 0 – 5(1) + 0 – 28 + 12
= -5 – 28 + 12 = -33 + 12 = -21

e) ১ম রাশি = p³ – p²q² + q³, ২য় রাশি = p² + pq + q²
গুণফল = (p³ – p²q² + q³)(p² + pq + q²)
= p³(p² + pq + q²) – p²q²(p² + pq + q²) + q³(p² + pq + q²)
= p⁵ + p⁴q + p³q² – p⁴q² – p³q³ – p²q⁴ + p²q³ + pq⁴ + q⁵
p = 2 ও q = -2 বসালে গুণফলের মান:
= 2⁵ + 2⁴(-2) + 2³(-2)² – 2⁴(-2)² – 2³(-2)³ – 2²(-2)⁴ + 2²(-2)³ + 2(-2)⁴ + (-2)⁵
= 32 – 32 + 8(4) – 16(4) – 8(-8) – 4(16) + 4(-8) + 2(16) – 32
= 0 + 32 – 64 + 64 – 64 – 32 + 32 – 32
= -64

f) ১ম রাশি = x² + y² + z² – xy – yz – zx, ২য় রাশি = x + y + z
গুণফল = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x(x² + y² + z² – xy – yz – zx) + y(x² + y² + z² – xy – yz – zx) + z(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x³ + xy² + xz² – x²y – xyz – zx² + yx² + y³ + yz² – xy² – y²z – xyz + zx² + zy² + z³ – xyz – yz² – xz²
= x³ + y³ + z³ – 3xyz
x = 1, y = 0, z = -1 বসালে গুণফলের মান:
= (1)³ + (0)³ + (-1)³ – 3(1)(0)(-1)
= 1 + 0 – 1 – 0 = 0

g) আমি নিজে একটি দ্বিপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা লিখি: (x + 2)
আমি নিজে অন্য একটি ত্রিপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা লিখি: (x² + 3x + 1)
গুণফল = (x + 2)(x² + 3x + 1)
= x(x² + 3x + 1) + 2(x² + 3x + 1)
= x³ + 3x² + x + 2x² + 6x + 2
= x³ + 5x² + 7x + 2
x = 1 বসালে মান: 1³ + 5(1)² + 7(1) + 2 = 1 + 5 + 7 + 2 = 15

2. ধারাবাহিক গুণ করে গুণফল খুঁজি (পরপর গুণ করি)

(i) (x⁵ + 1), (3 – x⁴), (4 + x³ + x⁶)
সমাধান:
প্রথমে (x⁵ + 1) এবং (3 – x⁴) গুণ করি:
= x⁵(3 – x⁴) + 1(3 – x⁴)
= 3x⁵ – x⁹ + 3 – x⁴
= -x⁹ + 3x⁵ – x⁴ + 3
এবার প্রাপ্ত গুণফলের সাথে (4 + x³ + x⁶) গুণ করি:
= (-x⁹ + 3x⁵ – x⁴ + 3)(x⁶ + x³ + 4)
= -x⁹(x⁶ + x³ + 4) + 3x⁵(x⁶ + x³ + 4) – x⁴(x⁶ + x³ + 4) + 3(x⁶ + x³ + 4)
= -x¹⁵ – x¹² – 4x⁹ + 3x¹¹ + 3x⁸ + 12x⁵ – x¹⁰ – x⁷ – 4x⁴ + 3x⁶ + 3x³ + 12
সাজিয়ে লিখলে:
-x¹⁵ – x¹² + 3x¹¹ – x¹⁰ – 4x⁹ + 3x⁸ – x⁷ + 3x⁶ + 12x⁵ – 4x⁴ + 3x³ + 12

(ii) (2a³ – 3b⁵), (2a³ + 3b⁵), (2a⁴ – 3a²b² + b⁴)
সমাধান:
প্রথমে (2a³ – 3b⁵) এবং (2a³ + 3b⁵) গুণ করি। এটি (x-y)(x+y) = x² – y² সূত্রে পড়ে।
= (2a³)² – (3b⁵)²
= 4a⁶ – 9b¹⁰
এবার প্রাপ্ত গুণফলের সাথে (2a⁴ – 3a²b² + b⁴) গুণ করি:
= (4a⁶ – 9b¹⁰)(2a⁴ – 3a²b² + b⁴)
= 4a⁶(2a⁴ – 3a²b² + b⁴) – 9b¹⁰(2a⁴ – 3a²b² + b⁴)
= 8a¹⁰ – 12a⁸b² + 4a⁶b⁴ – 18a⁴b¹⁰ + 27a²b¹² – 9b¹⁴

(iii) (ax + by), (ax – by), (a⁴x⁴ + a²b²x²y² + b⁴y⁴)
সমাধান:
প্রথমে (ax + by)(ax – by) গুণ করি। এটি a² – b² এর সূত্র।
= (ax)² – (by)²
= a²x² – b²y²
এবার প্রাপ্ত গুণফলের সাথে ৩য় রাশিটি গুণ করি:
= (a²x² – b²y²)(a⁴x⁴ + a²b²x²y² + b⁴y⁴)
= (a²x² – b²y²) { (a²x²)² + (a²x²)(b²y²) + (b²y²)² }
এটি (m – n)(m² + mn + n²) = m³ – n³ সূত্রে পড়ে।
এখানে m = a²x² এবং n = b²y²
= (a²x²)³ – (b²y²)³
= a⁶x⁶ – b⁶y⁶

(iv) (a + b + c), (a – b + c), (a + b – c)
সমাধান:
প্রথমে ১ম ও ২য় রাশি গুণ করি:
= {(a + c) + b}{(a + c) – b}
= (a + c)² – b²
= a² + 2ac + c² – b²
এবার এর সাথে ৩য় রাশি (a + b – c) গুণ করি:
= (a² + 2ac + c² – b²)(a + b – c)
= a(a² + 2ac + c² – b²) + b(a² + 2ac + c² – b²) – c(a² + 2ac + c² – b²)
= a³ + 2a²c + ac² – ab² + a²b + 2abc + bc² – b³ – a²c – 2ac² – c³ + b²c
= a³ – b³ – c³ + a²b + a²c + ab² – ac² + bc² + b²c + 2abc

(v) ( 2p² q² + 5q² p² ), ( 2p² q² – 5q² p² )
সমাধান:
এটি (x + y)(x – y) = x² – y² সূত্রে পড়ে।
= ( 2p² q² )² – ( 5q² p² )²
= 4p⁴ q⁴ – 25q⁴ p⁴

(vi) ( x² y² + y² z² ), ( y² z² + z² x² ), ( z² x² + x² y² )
সমাধান:
প্রথমে ১ম ও ২য় রাশি গুণ করি:
= x² y² ( y² z² + z² x² ) + y² z² ( y² z² + z² x² )
= x² z² + z² y² + y⁴ z⁴ + y² x²
এবার এর সাথে ৩য় রাশি ( z² x² + x² y² ) গুণ করি:
= ( x² z² + z² y² + y⁴ z⁴ + y² x² )( z² x² + x² y² )
= z² x² ( x² z² + z² y² + y⁴ z⁴ + y² x² ) + x² y² ( x² z² + z² y² + y⁴ z⁴ + y² x² )
= 1 + z⁴ x²y² + y⁴ x²z² + y²z² x⁴ + x⁴ y²z² + x²z² y⁴ + x²y² z⁴ + 1
= 2 + x⁴ y²z² + y⁴ z²x² + z⁴ x²y² + y²z² x⁴ + z²x² y⁴ + x²y² z⁴

3. সরল করি

(i) (x + y)(x² – xy + y²) + (x – y)(x² + xy + y²)
সমাধান:
আমরা জানি, (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³
এবং (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³
তাই প্রদত্ত রাশি = (x³ + y³) + (x³ – y³)
= x³ + y³ + x³ – y³
= 2x³

(ii) a²(b² – c²) + b²(c² – a²) + c²(a² – b²)
সমাধান:
= a²b² – a²c² + b²c² – b²a² + c²a² – c²b²
= (a²b² – b²a²) + (-a²c² + c²a²) + (b²c² – c²b²)
= 0 + 0 + 0
= 0

4. (i) a = x² + xy + y², b = y² + yz + z², c = z² + xz + x² হলে (x – y)a + (y – z)b + (z – x)c -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = (x – y)a + (y – z)b + (z – x)c
a, b এবং c এর মান বসিয়ে পাই:
= (x – y)(x² + xy + y²) + (y – z)(y² + yz + z²) + (z – x)(z² + xz + x²)
(p – q)(p² + pq + q²) = p³ – q³ সূত্র প্রয়োগ করে:
= (x³ – y³) + (y³ – z³) + (z³ – x³)
= x³ – y³ + y³ – z³ + z³ – x³
= 0

(ii) a = lx + my + n, b = mx + ny + l, c = nx + ly + m হলে a(m + n) + b(n + l) + c(l + m) -কী হয় দেখি।

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = a(m + n) + b(n + l) + c(l + m)
a, b, c এর মান বসিয়ে পাই:
= (lx + my + n)(m + n) + (mx + ny + l)(n + l) + (nx + ly + m)(l + m)
= lx(m + n) + my(m + n) + n(m + n) + mx(n + l) + ny(n + l) + l(n + l) + nx(l + m) + ly(l + m) + m(l + m)
= lmx + lnx + m²y + mny + mn + n² + mnx + mlx + n²y + nly + ln + l² + nlx + nmx + l²y + lmy + ml + m²
x, y এবং ধ্রুবক পদগুলি কমন নিয়ে সাজিয়ে লিখি:
= x(lm + ln + mn + ml + nl + nm) + y(m² + mn + n² + nl + l² + lm) + (mn + n² + ln + l² + ml + m²)
= x(2lm + 2mn + 2nl) + y(l² + m² + n² + lm + mn + nl) + (l² + m² + n² + lm + mn + nl)
= 2x(lm + mn + nl) + y(l² + m² + n² + lm + mn + nl) + (l² + m² + n² + lm + mn + nl)