WBBSE Class 8 Math Solution

Ganit Prabha VIII solution

কষে দেখি 6 সমাধান

পূরক কোণ, সম্পূরক কোণ ও সন্নিহিত কোণ

WBBSE Class 8 Chapter 6 Solution

1. মনে মনে ভাবি ও লিখি :

(a) দুটি সূক্ষ্মকোণ পরস্পর পূরক হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: হ্যাঁ পারে। (কারণ দুটি সূক্ষ্মকোণ যেমন 40° ও 50° এর যোগফল 90° হতে পারে, যা পূরক কোণ।)

(b) দুটি সূক্ষ্মকোণ পরস্পর সম্পূরক হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: না, পারে না। (কারণ দুটি সূক্ষ্মকোণ, যাদের মান 90° এর কম, তাদের যোগফল কখনোই 180° হতে পারে না।)

(c) একটি সূক্ষ্মকোণ ও একটি স্থূলকোণ পরস্পর পূরক হতে পারে কিনা লিখি। দুটি সমকোণ পরস্পর পূরক হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর ১: না, পারে না। (একটি স্থূলকোণ নিজেই 90° এর চেয়ে বড়, তাই তার সাথে কোনো কোণ যোগ করে 90° পাওয়া সম্ভব নয়।)
উত্তর ২: না, পারে না। (দুটি সমকোণ অর্থাৎ 90°+90° = 180° হয়, যা সম্পূরক, পূরক নয়।)

(d) দুটি স্থূলকোণ পরস্পর সম্পূরক হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: না, পারে না। (কারণ দুটি স্থূলকোণ, যাদের প্রত্যেকের মান 90° এর বেশি, তাদের যোগফল 180° এর চেয়ে বেশি হবে।)

(e) দুটি সমকোণ পরস্পর সম্পূরক হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: হ্যাঁ পারে। (কারণ দুটি সমকোণ অর্থাৎ 90°+90° = 180° হয়, যা সম্পূরক কোণ।)

(f) একটি সূক্ষ্মকোণ ও একটি স্থূলকোণ পরস্পর সম্পূরক হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: হ্যাঁ পারে। (যেমন 60° এবং 120° এর যোগফল 180° হয়।)

(g) দুটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর পূরক কোণ হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: হ্যাঁ পারে। (যদি সন্নিহিত কোণ দুটির বহিঃস্থ বাহু দুটি পরস্পরের ওপর লম্ব হয়, তবে তাদের যোগফল 90° হয়।)

(h) দুটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর সম্পূরক কোণ হতে পারে কিনা লিখি।
উত্তর: হ্যাঁ পারে। (যদি সন্নিহিত কোণ দুটির বহিঃস্থ বাহু দুটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হয়, তবে তাদের যোগফল 180° হয়।)

2. নীচের সন্নিহিত কোণগুলি আঁকি ও কোন কোণগুলি পরস্পর পূরক অথবা সম্পূরক লিখি :
45°, 45° ; 120°, 30° ; 70°, 110° ; 42°, 48° ; 37°, 43° ; 85°, 95° ;

সমাধান: (ছাত্রছাত্রীদের চাঁদার সাহায্যে কোণগুলি আঁকতে হবে)
• 45° + 45° = 90° (পরস্পর পূরক)
• 120° + 30° = 150° (পূরক বা সম্পূরক কোনটিই নয়)
• 70° + 110° = 180° (পরস্পর সম্পূরক)
• 42° + 48° = 90° (পরস্পর পূরক)
• 37° + 43° = 80° (পূরক বা সম্পূরক কোনটিই নয়)
• 85° + 95° = 180° (পরস্পর সম্পূরক)

3. নীচের কোণগুলি দেখি ও কোন কোন কোণদুটি পরস্পর পূরক কোণ লিখি :
31°, 47°, 64°, 29°, 43°, 59°, 17°, 26°

সমাধান: (দুটি কোণের যোগফল 90° হতে হবে)
• 31° এবং 59° (31° + 59° = 90°)
• 47° এবং 43° (47° + 43° = 90°)
• 64° এবং 26° (64° + 26° = 90°)
(29° ও 17° এর সাথে অন্য কোনো কোণ যোগ করে 90° হয় না)

4. নীচের কোণগুলি দেখি ও কোন কোন কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক কোণ লিখি :
47°, 58°, 69°, 75°, 133°, 105°, 122°, 125°

সমাধান: (দুটি কোণের যোগফল 180° হতে হবে)
• 47° এবং 133° (47° + 133° = 180°)
• 58° এবং 122° (58° + 122° = 180°)
• 75° এবং 105° (75° + 105° = 180°)
(69° ও 125° এর সাথে অন্য কোনো কোণ যোগ করে 180° হয় না)

5. সন্নিহিত কোণ কাকে বলে লিখি ও নীচের কোন কোণগুলি সন্নিহিত কোণ বুঝে লিখি :

সন্নিহিত কোণের সংজ্ঞা:
যদি দুটি কোণের একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু থাকে, একটি সাধারণ বাহু থাকে এবং কোণ দুটি সাধারণ বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থিত হয়, তবে ওই কোণ দুটিকে পরস্পরের সন্নিহিত কোণ বলে।

চিত্র অনুযায়ী সমাধান:
• প্রথম চিত্র: কোণ দুটি সন্নিহিত কোণ। (একই শীর্ষবিন্দু এবং সাধারণ বাহুর দুপাশে অবস্থিত)।
• দ্বিতীয় চিত্র: কোণ দুটি সন্নিহিত কোণ নয়। (একটি কোণ অপরটির ভেতরে অবস্থিত, সাধারণ বাহুর দুপাশে নয়)।
• তৃতীয় চিত্র: কোণ দুটি সন্নিহিত কোণ। (একই শীর্ষবিন্দু এবং সাধারণ বাহুর দুপাশে অবস্থিত)।
• চতুর্থ চিত্র: কোণ দুটি সন্নিহিত কোণ নয়। (কোণ দুটির শীর্ষবিন্দু আলাদা)।

6. নিজে চাঁদার সাহায্যে সন্নিহিত কোণ আঁকি যার কোণদুটির মান হলো—
35°, 45°;   18°, 42°;   32°, 90°;   73°, 63°

সমাধান: এই প্রশ্নটি জ্যামিতিক অঙ্কনের। ছাত্রছাত্রীদের চাঁদা ব্যবহার করে একটি সাধারণ বাহুর দুই পাশে নির্দিষ্ট মানের কোণ দুটি আঁকতে হবে।

7. সায়ন্তনী একটি সরলরেখা AB আঁকল। আমি সেই সরলরেখার উপর কোনো বিন্দু P-তে অপর একটি রশ্মি PQ আঁকলাম। এর ফলে দুটি সন্নিহিত কোণ ∠BPQ ও ∠APQ তৈরি হলো। চাঁদার সাহায্যে মেপে ∠BPQ ও ∠APQ-এর পরিমাপ লিখি ও ∠PQB + ∠PQA = কত লিখি।

সমাধান:
যেহেতু AB একটি সরলরেখা এবং P বিন্দুটি সেই সরলরেখার ওপর অবস্থিত, তাই P বিন্দুতে উৎপন্ন সরলকোণের মান 180°।
PQ রশ্মি আঁকার ফলে যে দুটি সন্নিহিত কোণ ∠BPQ এবং ∠APQ তৈরি হবে, তারা আসলে একটি রৈখিক যুগল (Linear pair) তৈরি করে।
তাই চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখলে সবসময় পাওয়া যাবে: ∠BPQ + ∠APQ = 180°।

8. শাকিল দুটি সন্নিহিত কোণ ∠ABC ও ∠ABD আঁকল যাদের সমষ্টি 180°; আমিও শাকিলের মতো ∠ABC ও ∠ABD এঁকে দেখি D, B ও C বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় আছে কিনা।

সমাধান:
যেহেতু সন্নিহিত কোণ ∠ABC এবং ∠ABD এর সমষ্টি 180°, তাই এরা একটি রৈখিক যুগল (Linear pair) গঠন করে।
এর মানে হলো, সাধারণ বাহু AB বাদে অপর দুটি বাহু (BC এবং BD) পরস্পরের বিপরীত রশ্মি হবে এবং একটি সরলরেখা গঠন করবে।
হ্যাঁ, D, B ও C বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় (DC বা CD সরলরেখা) থাকবে।

9. পাশের ছবি থেকে x -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:
AOB একটি সরলরেখা, তাই ∠AOB = 180° (সরলকোণ)।
চিত্রানুযায়ী, ∠AOD + ∠DOC + ∠COB = 180°
বা, 3x + 80 + x = 180
বা, 4x + 80 = 180
বা, 4x = 180 – 80
বা, 4x = 100
বা, x = 100 ÷ 4
বা, x = 25
উত্তর: x এর মান 25।

---

10. পাশের ছবিতে ∠AOP, ∠BOP -এর চেয়ে 140° বেশি। ∠AOP ও ∠BOP -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:
AOB একটি সরলরেখা, তাই ∠AOP এবং ∠BOP সন্নিহিত কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক।
অর্থাৎ, ∠AOP + ∠BOP = 180° — (1)
প্রশ্নে বলা আছে, ∠AOP = ∠BOP + 140° — (2)
(1) নং সমীকরণে ∠AOP এর মান বসিয়ে পাই:
(∠BOP + 140°) + ∠BOP = 180°
বা, 2∠BOP + 140° = 180°
বা, 2∠BOP = 180° – 140°
বা, 2∠BOP = 40°
বা, ∠BOP = 20°
অতএব, ∠AOP = 20° + 140° = 160°
উত্তর: ∠AOP = 160° এবং ∠BOP = 20°।

11. দুটি সন্নিহিত কোণের মান 35° ও 145°; সন্নিহিত কোণের বহিঃস্থ বাহু দুটি কীভাবে অবস্থিত লিখি।

সমাধান:
সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি = 35° + 145° = 180°।
যেহেতু দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° (বা এক সরলকোণ), তাই কোণ দুটির বহিঃস্থ বাহু দুটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হবে (অর্থাৎ তারা পরস্পরের বিপরীত রশ্মি হবে)।

12. পাশের ছবিতে OA ও OE কীভাবে অবস্থিত লিখি।

সমাধান:
ছবি থেকে পাই, OA এবং OE এর মধ্যবর্তী মোট কোণ হলো:
∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE
= 20° + 55° + 81° + 24°
= 180°
যেহেতু OA এবং OE এর মধ্যবর্তী কোণ 180° (সরলকোণ), তাই OA এবং OE একই সরলরেখায় অবস্থিত (বা তারা পরস্পরের বিপরীত রশ্মি)।