1. দুটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।

Detailed Solution (বিস্তারিত সমাধান):
ধরি, একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হলো x।
যেহেতু সংখ্যা দুটির অন্তর 3, তাই অপর ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাটি হবে (x + 3)।

প্রশ্নানুসারে, তাদের বর্গের সমষ্টি 117।
অর্থাৎ, x² + (x + 3)² = 117
বা, x² + x² + 6x + 9 = 117
বা, 2x² + 6x + 9 – 117 = 0
বা, 2x² + 6x – 108 = 0
সমীকরণটিকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই:
x² + 3x – 54 = 0
বা, x² + 9x – 6x – 54 = 0
বা, x(x + 9) – 6(x + 9) = 0
বা, (x – 6)(x + 9) = 0

হয়, x – 6 = 0 ⇒ x = 6
অথবা, x + 9 = 0 ⇒ x = -9

যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, তাই x = -9 হতে পারে না।
সুতরাং, x = 6।
প্রথম সংখ্যাটি 6 এবং অপর সংখ্যাটি (6 + 3) = 9।
উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যা দুটি হলো 6 এবং 9।

2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 360 বর্গ মিটার হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করি।

Detailed Solution (বিস্তারিত সমাধান):
ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা = h মিটার।
তাহলে, ত্রিভুজটির ভূমি হবে = (2h + 18) মিটার।

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1 2 × ভূমি × উচ্চতা

প্রশ্নানুসারে,
1 2 × (2h + 18) × h = 360
বা, 1 2 × 2(h + 9) × h = 360
বা, h(h + 9) = 360
বা, h² + 9h – 360 = 0
বা, h² + 24h – 15h – 360 = 0
বা, h(h + 24) – 15(h + 24) = 0
বা, (h – 15)(h + 24) = 0

হয়, h – 15 = 0 ⇒ h = 15
অথবা, h + 24 = 0 ⇒ h = -24

যেহেতু ত্রিভুজের উচ্চতা ঋণাত্মক (negative) হতে পারে না, তাই h = -24 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, h = 15।
উত্তর: ত্রিভুজটির নির্ণেয় উচ্চতা 15 মিটার।

3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি।

Detailed Solution (বিস্তারিত সমাধান):
ধরি, অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি হলো x।
সংখ্যাটির পাঁচগুণ = 5x
সংখ্যাটির বর্গের দ্বিগুণ = 2x²

প্রশ্নানুসারে,
5x = 2x² – 3
বা, 2x² – 5x – 3 = 0
বা, 2x² – 6x + x – 3 = 0
বা, 2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
বা, (x – 3)(2x + 1) = 0

হয়, x – 3 = 0 ⇒ x = 3
অথবা, 2x + 1 = 0 ⇒ 2x = -1 ⇒ x = – 1 2

যেহেতু সংখ্যাটি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা, তাই x = – 1 2 হতে পারে না।
সুতরাং, x = 3।
উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো 3।

4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি.; এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপগাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে, মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।

Detailed Solution (বিস্তারিত সমাধান):
ধরি, মোটরগাড়ির গতিবেগ = v কিমি/ঘণ্টা।
যেহেতু জিপগাড়ির গতিবেগ মোটরগাড়ির চেয়ে 5 কিমি/ঘণ্টা বেশি, তাই জিপগাড়ির গতিবেগ = (v + 5) কিমি/ঘণ্টা।

মোট দূরত্ব = 200 কিমি।
মোটরগাড়িতে 200 কিমি যেতে সময় লাগে = 200 v ঘণ্টা।
জিপগাড়িতে 200 কিমি যেতে সময় লাগে = 200 v + 5 ঘণ্টা।

প্রশ্নানুসারে, জিপগাড়িতে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে।
200 v – 200 v + 5 = 2

বা, 200 [ 1 v – 1 v + 5 ] = 2
বা, 100 [ v + 5 – v v(v + 5) ] = 1
বা, 500 v² + 5v = 1
বা, v² + 5v = 500
বা, v² + 5v – 500 = 0
বা, v² + 25v – 20v – 500 = 0
বা, v(v + 25) – 20(v + 25) = 0
বা, (v – 20)(v + 25) = 0

হয়, v – 20 = 0 ⇒ v = 20
অথবা, v + 25 = 0 ⇒ v = -25

যেহেতু গাড়ির গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই v = -25 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, v = 20।
উত্তর: মোটর গাড়ির নির্ণেয় গতিবেগ ঘণ্টায় 20 কিমি.।

5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গ মিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

Detailed Solution (বিস্তারিত সমাধান):
ধরি, আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য = x মিটার এবং প্রস্থ = y মিটার।

প্রশ্নানুসারে, পরিসীমা = 180 মিটার
বা, 2(x + y) = 180
বা, x + y = 90
বা, y = 90 – x …….. (i)

আবার, জমির ক্ষেত্রফল = 2000 বর্গ মিটার
বা, xy = 2000
বা, x(90 – x) = 2000 [(i) নং থেকে y-এর মান বসিয়ে]
বা, 90x – x² = 2000
বা, x² – 90x + 2000 = 0
বা, x² – 50x – 40x + 2000 = 0
বা, x(x – 50) – 40(x – 50) = 0
বা, (x – 50)(x – 40) = 0

হয়, x – 50 = 0 ⇒ x = 50
অথবা, x – 40 = 0 ⇒ x = 40

যেহেতু আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য সর্বদা প্রস্থের চেয়ে বড়ো হয়, তাই দৈর্ঘ্য x = 50 মিটার।
তাহলে প্রস্থ y = 90 – 50 = 40 মিটার।
উত্তর: জমির দৈর্ঘ্য 50 মিটার এবং প্রস্থ 40 মিটার।

6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।

Detailed Solution (বিস্তারিত সমাধান):
ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক = x।
তাহলে, দশকের ঘরের অঙ্ক হবে = (x – 3)।

অতএব, সংখ্যাটি হলো = 10(x – 3) + x
= 10x – 30 + x = 11x – 30

অঙ্ক দুটির গুণফল = x(x – 3) = x² – 3x

প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটি থেকে অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে 15 হয়।
(11x – 30) – (x² – 3x) = 15
বা, 11x – 30 – x² + 3x = 15
বা, -x² + 14x – 30 – 15 = 0
বা, -x² + 14x – 45 = 0
বা, x² – 14x + 45 = 0
বা, x² – 9x – 5x + 45 = 0
বা, x(x – 9) – 5(x – 9) = 0
বা, (x – 9)(x – 5) = 0

হয়, x – 9 = 0 ⇒ x = 9
অথবা, x – 5 = 0 ⇒ x = 5

উত্তর: সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক 9 অথবা 5 হবে।

7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি 1119 মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নলদুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।

Detailed Solution (বিস্তারিত সমাধান):
ধরি, প্রথম নলটি একা চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে x মিনিট সময় নেয়।
তাহলে, দ্বিতীয় নলটি একা চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে (x + 5) মিনিট সময় নেবে।

প্রথম নল 1 মিনিটে পূর্ণ করে = 1 x অংশ।
দ্বিতীয় নল 1 মিনিটে পূর্ণ করে = 1 x + 5 অংশ।
দুটি নল একত্রে 1 মিনিটে পূর্ণ করে = ( 1 x + 1 x + 5 ) অংশ।

প্রশ্নানুসারে, নল দুটি একত্রে 1119 বা 100 9 মিনিটে সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করে।
সুতরাং, তারা 1 মিনিটে পূর্ণ করে = 9 100 অংশ。

শর্তানুসারে,
1 x + 1 x + 5 = 9 100
বা, x + 5 + x x(x + 5) = 9 100
বা, 2x + 5 x² + 5x = 9 100
বা, 9(x² + 5x) = 100(2x + 5)
বা, 9x² + 45x = 200x + 500
বা, 9x² + 45x – 200x – 500 = 0
বা, 9x² – 155x – 500 = 0
বা, 9x² – 180x + 25x – 500 = 0
বা, 9x(x – 20) + 25(x – 20) = 0
বা, (x – 20)(9x + 25) = 0

হয়, x – 20 = 0 ⇒ x = 20
অথবা, 9x + 25 = 0 ⇒ x = – 25 9

যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 20।
প্রথম নলের সময় লাগে 20 মিনিট।
দ্বিতীয় নলের সময় লাগে (20 + 5) = 25 মিনিট।
উত্তর: প্রথম নলটি 20 মিনিটে এবং দ্বিতীয় নলটি 25 মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করবে।

8. পর্ণা ও পীযূষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীযূষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি।

Detailed Solution (বিস্তারিত সমাধান):
ধরি, পর্ণা একাকী কাজটি সম্পন্ন করতে পারে x দিনে।
তাহলে, পীযূষ একাকী কাজটি সম্পন্ন করবে (x + 6) দিনে।

1 দিনে পর্ণা কাজ করে = 1 x অংশ।
1 দিনে পীযূষ কাজ করে = 1 x + 6 অংশ。
তারা একত্রে 1 দিনে কাজ করে = ( 1 x + 1 x + 6 ) অংশ।

প্রশ্নানুসারে, তারা একত্রে 4 দিনে সম্পূর্ণ কাজ করে, অর্থাৎ তারা 1 দিনে করে 1 4 অংশ।
1 x + 1 x + 6 = 1 4
বা, x + 6 + x x(x + 6) = 1 4
বা, 2x + 6 x² + 6x = 1 4
বা, x² + 6x = 4(2x + 6)
বা, x² + 6x = 8x + 24
বা, x² + 6x – 8x – 24 = 0
বা, x² – 2x – 24 = 0
বা, x² – 6x + 4x – 24 = 0
বা, x(x – 6) + 4(x – 6) = 0
বা, (x – 6)(x + 4) = 0

হয়, x – 6 = 0 ⇒ x = 6
অথবা, x + 4 = 0 ⇒ x = -4

যেহেতু দিনসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 6।
উত্তর: পর্ণা একাকী 6 দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে।

9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।

Detailed Solution (বিস্তারিত সমাধান):
ধরি, পূর্বে 1 ডজন (বা 12টি) কলমের মূল্য ছিল x টাকা।
বর্তমানে 1 ডজন কলমের মূল্য = (x – 6) টাকা।

পূর্বে 30 টাকায় কলম পাওয়া যেত = 30 x ডজন।
বর্তমানে 30 টাকায় কলম পাওয়া যায় = 30 x – 6 ডজন。

প্রশ্নানুসারে, বর্তমানে 3টি কলম বেশি পাওয়া যায়।
আমরা জানি, 3টি কলম = 3 12 ডজন = 1 4 ডজন。

শর্তানুসারে,
30 x – 6 – 30 x = 1 4
বা, 30 [ 1 x – 6 – 1 x ] = 1 4
বা, 30 [ x – (x – 6) x(x – 6) ] = 1 4
বা, 30 × 6 x² – 6x = 1 4
বা, 180 x² – 6x = 1 4
বা, x² – 6x = 720
বা, x² – 6x – 720 = 0
বা, x² – 30x + 24x – 720 = 0
বা, x(x – 30) + 24(x – 30) = 0
বা, (x – 30)(x + 24) = 0

হয়, x – 30 = 0 ⇒ x = 30
অথবা, x + 24 = 0 ⇒ x = -24

যেহেতু মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 30।
উত্তর: কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল 30 টাকা।

10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা:
উত্তর: (b) দুটি।

(ii) ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে:
উত্তর: (c) a ≠ 0 (কারণ a = 0 হলে সমীকরণটি রৈখিক হয়ে যায়)।

(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত:
উত্তর: (b) 2।

(iv) 4(5x² – 7x + 2) = 5(4x² – 6x + 3) সমীকরণটি:
সমাধান: 20x² – 28x + 8 = 20x² – 30x + 15
উভয়দিক থেকে 20x² কেটে যায়। ফলে সমীকরণটি রৈখিক সমীকরণ হয় (ঘাত 1)।
উত্তর: (a) রৈখিক।

(v) x² x = 6 সমীকরণটির বীজ/বীজদ্বয়:
সমাধান: যেহেতু হরে x আছে, তাই x ≠ 0। x² = 6x ⇒ x = 6।
উত্তর: (b) 6।

---

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) (x – 3)² = x² – 6x + 9 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
উত্তর: মিথ্যা। এটি একটি অভেদ (Identity), দ্বিঘাত সমীকরণ নয়।

(ii) x² = 25 সমীকরণটির একটি মাত্র বীজ 5।
উত্তর: মিথ্যা। এর দুটি বীজ আছে: 5 এবং -5।

---

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

(i) যদি ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির a = 0 এবং b ≠ 0 হয়, তবে সমীকরণটি একটি ______ সমীকরণ।
উত্তর: রৈখিক (Linear)।

(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো ______।
সমাধান: (x – 1)(x – 1) = 0 ⇒ x² – 2x + 1 = 0
উত্তর: x² – 2x + 1 = 0।

(iii) x² = 6x সমীকরণটির বীজদ্বয় ______ ও ______।
সমাধান: x² – 6x = 0 ⇒ x(x – 6) = 0 ⇒ x = 0 অথবা x = 6。
উত্তর: 0 ও 6।

11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) x² + ax + 3 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, a-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান: সমীকরণে x = 1 বসিয়ে পাই,
(1)² + a(1) + 3 = 0
বা, 1 + a + 3 = 0
বা, a + 4 = 0 ⇒ a = -4
উত্তর: a-এর মান -4。

---

(ii) x² – (2 + b)x + 6 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
সমাধান: দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল = 6。
একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটি = 6 2 = 3
উত্তর: অপর বীজটির মান 3。

---

(iii) 2x² + kx + 4 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
সমাধান: বীজদ্বয়ের গুণফল = 4 2 = 2
একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটি = 2 2 = 1
উত্তর: অপর বীজটির মান 1。

---

(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অন্যোন্যকের অন্তর 9 20 ; সমীকরণটি লিখি।
সমাধান: ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি হলো x। তাহলে এর অন্যোন্যক হবে 1 x ।
প্রকৃত ভগ্নাংশের মান 1 এর চেয়ে ছোট হয়, তাই 1 x সর্বদা x এর চেয়ে বড়ো হবে।
সমীকরণটি হবে: 1 x – x = 9 20
উত্তর: সমীকরণটি হলো 1 x – x = 9 20 。

---

(v) ax² + bx + 35 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, a এবং b-এর মান লিখি।
সমাধান:
বীজদ্বয়ের গুণফল = 35 a
প্রশ্নানুসারে, (-5) × (-7) = 35 a ⇒ 35 = 35 a ⇒ a = 1
বীজদ্বয়ের যোগফল = – b a
প্রশ্নানুসারে, (-5) + (-7) = – b 1 (যেহেতু a = 1)
⇒ -12 = -b ⇒ b = 12
উত্তর: a = 1 এবং b = 12。