কষে দেখি — 3.2 (বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য)

1. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং AB একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব হিসাব করে লিখি।
সমাধান:

ধরি, O কেন্দ্র থেকে AB জ্যা এর উপর লম্ব দূরত্ব হলো OM।
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলে তা জ্যা-টিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AM = AB 2 = 8 2 = 4 সেমি.
সমকোণী ত্রিভুজ OMA-তে, অতিভুজ OA (ব্যাসার্ধ) = 5 সেমি এবং ভূমি AM = 4 সেমি।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, OM² + AM² = OA²
বা, OM² + 4² = 5²
বা, OM² + 16 = 25
বা, OM² = 25 – 16 = 9
বা, OM = √9 = 3
উত্তর: O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব 3 সেমি.।

2. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি.। O বিন্দু থেকে PQ জ্যা-এর দূরত্ব 5 সেমি.। PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = 26 সেমি, সুতরাং ব্যাসার্ধ (r) = 26 ÷ 2 = 13 সেমি।
কেন্দ্র O থেকে PQ জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব (d) = 5 সেমি।
ধরি, লম্বটি PQ-কে M বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয় যার অতিভুজ = 13 সেমি এবং লম্ব = 5 সেমি।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (অর্ধ-জ্যা)² + (লম্ব দূরত্ব)² = (ব্যাসার্ধ)²
বা, PM² + 5² = 13²
বা, PM² + 25 = 169
বা, PM² = 169 – 25 = 144
বা, PM = √144 = 12 সেমি।
যেহেতু লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই সম্পূর্ণ জ্যা PQ = 2 × PM = 2 × 12 = 24 সেমি।
উত্তর: PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সেমি.।

3. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি. এবং O বিন্দু থেকে PQ-এর দূরত্ব 2.1 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
জ্যা PQ = 4 সেমি.। কেন্দ্র থেকে লম্ব টানলে তা জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ অর্ধ-জ্যা = 4 ÷ 2 = 2 সেমি.।
কেন্দ্র থেকে লম্ব দূরত্ব = 2.1 সেমি.।
সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই, (ব্যাসার্ধ)² = (অর্ধ-জ্যা)² + (লম্ব দূরত্ব)²
বা, r² = 2² + (2.1)²
বা, r² = 4 + 4.41 = 8.41
বা, r = √8.41 = 2.9 সেমি। (এটি ব্যাসার্ধ)
বৃত্তের ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ = 2 × 2.9 = 5.8 সেমি।
উত্তর: বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5.8 সেমি.।

4. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে 6 সেমি. ও 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা। যদি ছোটো দৈর্ঘ্যের জ্যাটির বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4 সেমি. হয়, তাহলে অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব কত তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রথমে ছোটো জ্যা (6 সেমি) থেকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বের করি:
ছোটো জ্যা-এর অর্ধ-দৈর্ঘ্য = 6 ÷ 2 = 3 সেমি।
কেন্দ্র থেকে দূরত্ব = 4 সেমি।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (ব্যাসার্ধ)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
∴ ব্যাসার্ধ = √25 = 5 সেমি।

এবার বড়ো জ্যা (8 সেমি)-এর ক্ষেত্রে:
বড়ো জ্যা-এর অর্ধ-দৈর্ঘ্য = 8 ÷ 2 = 4 সেমি।
ব্যাসার্ধ = 5 সেমি।
ধরি কেন্দ্র থেকে দূরত্ব = d সেমি।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, d² + 4² = 5²
বা, d² + 16 = 25
বা, d² = 25 – 16 = 9
বা, d = √9 = 3 সেমি।
উত্তর: অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 3 সেমি.।

5. যদি কোনো বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 48 সেমি. এবং কেন্দ্র থেকে ওই জ্যা-এর দূরত্ব 7 সেমি. হয়, তবে ওই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যে জ্যা-এর দূরত্ব 20 সেমি., সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রথম জ্যা-এর ক্ষেত্রে:
অর্ধ-জ্যা = 48 ÷ 2 = 24 সেমি। লম্ব দূরত্ব = 7 সেমি।
(ব্যাসার্ধ)² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625
∴ ব্যাসার্ধ = √625 = 25 সেমি।

দ্বিতীয় জ্যা-এর ক্ষেত্রে:
কেন্দ্র থেকে দূরত্ব = 20 সেমি। ব্যাসার্ধ = 25 সেমি।
ধরি, অর্ধ-জ্যা = x সেমি।
x² + 20² = 25²
বা, x² + 400 = 625
বা, x² = 625 – 400 = 225
বা, x = √225 = 15 সেমি।
সম্পূর্ণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2 × 15 = 30 সেমি।
উত্তর: সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 30 সেমি. হবে।

6. পাশের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবিতে OP ⊥ AB; AB = 6 সেমি. এবং PC = 2 সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:

চিত্রানুযায়ী, C বিন্দুটি AB জ্যা-এর উপর অবস্থিত এবং OP ⊥ AB. সুতরাং C বিন্দুটি AB কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
∴ AC = AB 2 = 6 2 = 3 সেমি।
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = OP = r সেমি।
যেহেতু PC = 2 সেমি, তাই OC = OP – PC = (r – 2) সেমি।
সমকোণী ত্রিভুজ OCA-তে পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
OC² + AC² = OA²
বা, (r – 2)² + 3² = r²
বা, r² – 4r + 4 + 9 = r²
উভয়দিক থেকে r² বাদ দিয়ে পাই:
-4r + 13 = 0
বা, 4r = 13
বা, r = 13 4 = 3.25
উত্তর: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.25 সেমি.।

7. একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে AC = DB
প্রমাণ:

ধরি, এককেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটির কেন্দ্র O। একটি সরলরেখা বড়ো বৃত্তটিকে A ও B বিন্দুতে এবং ছোটো বৃত্তটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
কেন্দ্র O থেকে সরলরেখাটির উপর OM লম্ব অঙ্কন করলাম।
বড়ো বৃত্তের ক্ষেত্রে, AB একটি জ্যা এবং OM ⊥ AB।
আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AM = MB ……. (i)
একইভাবে, ছোটো বৃত্তের ক্ষেত্রে, CD একটি জ্যা এবং OM ⊥ CD।
∴ CM = MD ……. (ii)
এখন (i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:
AM – CM = MB – MD
চিত্রানুযায়ী, AM – CM = AC এবং MB – MD = DB
∴ AC = DB
(প্রমাণিত)

8. প্রমাণ করি, কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়।
প্রমাণ:
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB এবং CD পরস্পরকে P বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। অর্থাৎ AP = PB এবং CP = PD।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, AB এবং CD উভয়েই বৃত্তের ব্যাস, অর্থাৎ P বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র O এর সাথে সমাপতিত হবে।
অসম্ভব ধরে প্রমাণ (Proof by Contradiction):
ধরি, P বিন্দুটি কেন্দ্র O নয়। তাহলে O এবং P যুক্ত করি।
যেহেতু P, AB জ্যা-এর মধ্যবিন্দু, তাই OP ⊥ AB (উপপাদ্য অনুসারে)। ∴ ∠OPB = 90°।
আবার, যেহেতু P, CD জ্যা-এর মধ্যবিন্দু, তাই OP ⊥ CD। ∴ ∠OPD = 90°।
এর অর্থ হলো একই বিন্দু P-তে OP সরলরেখার উপর দুটি আলাদা সরলরেখা AB এবং CD লম্ব, যা জ্যামিতিক ভাবে অসম্ভব (যেহেতু AB এবং CD পরস্পরচ্ছেদী এবং তারা সমাপতিত নয়)।
আমাদের ধরা ভুল ছিল। অতএব, P বিন্দুটি অবশ্যই কেন্দ্র O হতে হবে।
যেহেতু জ্যা দুটির ছেদবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র, তাই জ্যা দুটি অবশ্যই বৃত্তের ব্যাস।
(প্রমাণিত)

9. X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। XY-এর মধ্যবিন্দু S-এর সঙ্গে A বিন্দু যুক্ত করলাম এবং A বিন্দু দিয়ে SA-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PA = AQ.
প্রমাণ:

X কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA একটি জ্যা এবং Y কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AQ একটি জ্যা (PAQ একটি সরলরেখা)।
কেন্দ্র X থেকে PA-এর উপর XM লম্ব এবং কেন্দ্র Y থেকে AQ-এর উপর YN লম্ব অঙ্কন করি।
যেহেতু XM ⊥ PA, তাই M হলো PA-এর মধ্যবিন্দু। ∴ PA = 2MA …… (i)
যেহেতু YN ⊥ AQ, তাই N হলো AQ-এর মধ্যবিন্দু। ∴ AQ = 2AN …… (ii)
এখন, প্রদত্ত যে SA ⊥ PQ।
সুতরাং XM, SA এবং YN তিনটি সরলরেখাই PQ-এর উপর লম্ব, অতএব তারা পরস্পর সমান্তরাল (XM || SA || YN)।
XYNM একটি ট্রাপিজিয়াম, যেখানে S হলো তির্যক বাহু XY-এর মধ্যবিন্দু এবং SA সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল।
জ্যামিতির ধর্ম অনুযায়ী, কোনো ট্রাপিজিয়ামের একটি তির্যক বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অপর তির্যক বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলে তা দ্বিতীয় তির্যক বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
যেহেতু S হলো XY-এর মধ্যবিন্দু এবং SA || XM || YN, তাই A বিন্দুটি MN-এর মধ্যবিন্দু হবে।
∴ MA = AN
উভয়দিকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই: 2MA = 2AN
সমীকরণ (i) এবং (ii) ব্যবহার করে পাই: PA = AQ
(প্রমাণিত)

10. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি. ও 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা AB এবং CD কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। যদি AB ও CD জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি. হয়, তবে হিসাব করে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য লিখি।
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
AB জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 10 সেমি. ∴ এর অর্ধ-দৈর্ঘ্য = 5 সেমি।
CD জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 24 সেমি. ∴ এর অর্ধ-দৈর্ঘ্য = 12 সেমি।
ধরি, কেন্দ্র O থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব = x সেমি।
যেহেতু জ্যা দুটি কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত এবং তাদের মধ্যে মোট দূরত্ব 17 সেমি, তাই কেন্দ্র O থেকে CD জ্যা-এর দূরত্ব = (17 – x) সেমি।
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী, প্রথম জ্যা-এর ক্ষেত্রে:
r² = x² + 5² …… (i)
দ্বিতীয় জ্যা-এর ক্ষেত্রে:
r² = (17 – x)² + 12² …… (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই:
x² + 25 = (17 – x)² + 144
বা, x² + 25 = 289 – 34x + x² + 144
উভয়দিক থেকে x² বাদ দিয়ে পাই:
25 = 433 – 34x
বা, 34x = 433 – 25
বা, 34x = 408
বা, x = 408 34 = 12
এখন (i) নং সমীকরণে x = 12 বসিয়ে পাই:
r² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
বা, r = √169 = 13
উত্তর: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি.।

11. দুটি বৃত্তের কেন্দ্র P এবং Q; বৃত্ত দুটি A এবং B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CD = 2PQ
প্রমাণ:

ধরি, P কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে CA একটি জ্যা এবং Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AD একটি জ্যা (CAD একটি সরলরেখা, কারণ এটি A বিন্দু দিয়ে যায়)।
কেন্দ্র P থেকে CA-এর উপর PM লম্ব এবং কেন্দ্র Q থেকে AD-এর উপর QN লম্ব অঙ্কন করি।
যেহেতু PM ⊥ CA, তাই M হলো CA-এর মধ্যবিন্দু। ∴ CA = 2MA …… (i)
যেহেতু QN ⊥ AD, তাই N হলো AD-এর মধ্যবিন্দু। ∴ AD = 2AN …… (ii)
এখন, PM ⊥ CD এবং QN ⊥ CD হওয়ায় PM || QN।
প্রদত্ত আছে যে CD || PQ।
সুতরাং PMNQ চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান্তরাল, অতএব PMNQ একটি আয়তক্ষেত্র।
আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহু সমান হয়, তাই MN = PQ।
চিত্র থেকে দেখা যায়, সম্পূর্ণ রেখাংশ CD = CA + AD
(i) ও (ii) ব্যবহার করে পাই:
CD = 2MA + 2AN = 2(MA + AN)
যেহেতু MA + AN = MN, তাই CD = 2MN
যেহেতু MN = PQ, তাই CD = 2PQ
(প্রমাণিত)

12. একটি বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান। প্রমাণ করি যে, ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
প্রমাণ:
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি সমান জ্যা হলো AB এবং AC (AB = AC)।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্র O দিয়ে যায়, অর্থাৎ AO রেখাটি ∠BAC কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
কেন্দ্র O থেকে AB এর উপর OM লম্ব এবং AC এর উপর ON লম্ব অঙ্কন করি।
আমরা জানি, কোনো বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যাগুলি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হয়।
যেহেতু AB = AC, তাই OM = ON।
এখন সমকোণী ত্রিভুজ ΔOMA এবং সমকোণী ত্রিভুজ ΔONA এর মধ্যে:
(i) অতিভুজ OA = অতিভুজ OA (সাধারণ বাহু)
(ii) OM = ON (প্রমাণিত)
(iii) ∠OMA = ∠ONA = 90° (অঙ্কন অনুসারে)
RHS সর্বসমতার শর্তানুযায়ী, ΔOMA ≅ ΔONA
সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ সমান হয়, তাই ∠OAM = ∠OAN।
অর্থাৎ, OA সরলরেখাটি ∠BAC-কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
সুতরাং, ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
(প্রমাণিত)

13. একটি বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা-এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক যদি কেন্দ্রগামী হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি সমান।
প্রমাণ:
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB এবং CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∠APC হলো তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ। প্রদত্ত আছে যে, ∠APC এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্র O দিয়ে যায়, অর্থাৎ PO রেখাংশ ∠APC কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। (∴ ∠APO = ∠CPO)
কেন্দ্র O থেকে AB জ্যা-এর উপর OM লম্ব এবং CD জ্যা-এর উপর ON লম্ব অঙ্কন করি।
এখন সমকোণী ত্রিভুজ ΔOMP এবং সমকোণী ত্রিভুজ ΔONP এর মধ্যে:
(i) ∠OMP = ∠ONP = 90° (অঙ্কন অনুসারে)
(ii) ∠OPM = ∠OPN (প্রদত্ত শর্তানুসারে, কারণ PO সমদ্বিখণ্ডক)
(iii) OP সাধারণ বাহু।
AAS সর্বসমতার শর্তানুযায়ী, ΔOMP ≅ ΔONP
সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়, তাই OM = ON।
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী জ্যাগুলির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
যেহেতু কেন্দ্র O থেকে AB এবং CD জ্যা-এর দূরত্ব সমান (OM = ON), তাই AB = CD।
(প্রমাণিত)

14. প্রমাণ করি, একটি বৃত্তে দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-টির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
প্রমাণ:
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা হলো AB এবং CD। কেন্দ্র O থেকে AB এর লম্ব দূরত্ব OM এবং CD এর লম্ব দূরত্ব ON।
প্রদত্ত শর্তানুসারে, AB জ্যাটি কেন্দ্রের বেশি নিকটবর্তী। অর্থাৎ, OM < ON।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, AB > CD।
O, A এবং O, C যুক্ত করি। OA এবং OC উভয়ই বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r)।
সমকোণী ত্রিভুজ OMA-তে, AM² = OA² – OM² = r² – OM²
সমকোণী ত্রিভুজ ONC-তে, CN² = OC² – ON² = r² – ON²
যেহেতু OM < ON, তাই OM² < ON²।
অতএব, বিয়োগফল (r² – OM²) > (r² – ON²) হবে।
সুতরাং, AM² > CN²
বা, AM > CN
উভয়দিকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই: 2AM > 2CN
যেহেতু লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে (AB = 2AM এবং CD = 2CN), তাই AB > CD।
(প্রমাণিত)

15. একটি বৃত্তের ভিতর যে-কোনো বিন্দু দিয়ে ক্ষুদ্রতম জ্যা কোনটি হবে তা প্রমাণ করে লিখি।
প্রমাণ:
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের অভ্যন্তরে P যে-কোনো একটি বিন্দু।
P বিন্দু দিয়ে অসংখ্য জ্যা অঙ্কন করা যায়। ধরি, AB এমন একটি জ্যা যা P বিন্দু দিয়ে যায় এবং OP ⊥ AB।
প্রমাণ করতে হবে যে, AB-ই হলো P বিন্দুগামী ক্ষুদ্রতম জ্যা।
ধরি, P বিন্দুগামী অপর যেকোনো একটি জ্যা হলো CD। কেন্দ্র O থেকে CD-এর উপর OM লম্ব অঙ্কন করি।
সমকোণী ত্রিভুজ OMP-তে, ∠OMP = 90°। আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু।
সুতরাং, অতিভুজ OP > লম্ব OM।
অর্থাৎ, কেন্দ্র থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব (OP), কেন্দ্র থেকে CD জ্যা-এর দূরত্ব (OM) অপেক্ষা বৃহত্তর।
আমরা জানি (উপপাদ্য ১৪ অনুসারে), কেন্দ্র থেকে যে জ্যা-এর দূরত্ব বেশি, সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ছোটো হয়।
যেহেতু OP > OM, তাই AB জ্যা-এর দৈর্ঘ্য CD জ্যা-এর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর (AB < CD)।
সুতরাং, P বিন্দু দিয়ে যাওয়া যে জ্যাটি OP-এর উপর লম্ব, সেটিই হবে ক্ষুদ্রতম জ্যা।
(প্রমাণিত)

16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠AOB = 60° হলে, ∠COD-এর মান
সমাধান: আমরা জানি, বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে। যেহেতু AB = CD, তাই ∠AOB = ∠COD = 60°।
উত্তর: (c) 60°

(ii) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি. এবং বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব
সমাধান: ব্যাসার্ধ = 13, জ্যা = 10 (অর্ধ-জ্যা = 5)। লম্ব দূরত্ব = √(13² – 5²) = √(169 – 25) = √144 = 12 সেমি।
উত্তর: (b) 12 সেমি.

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব 4 সেমি. হলে, CD জ্যা-এর দূরত্ব
সমাধান: বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যাগুলি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হয়। তাই CD-এর দূরত্বও 4 সেমি হবে।
উত্তর: (b) 4 সেমি.

(iv) AB ও CD দুটি সমান্তরাল জ্যা-এর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হলে, জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব
সমাধান: যেহেতু জ্যা দুটি সমান এবং সমান্তরাল, তারা কেন্দ্রের দুই বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করবে।
কেন্দ্র থেকে একটি জ্যা-এর দূরত্ব = √(10² – 8²) = √(100 – 64) = √36 = 6 সেমি।
দুটি জ্যা-এর মধ্যে মোট দূরত্ব = 6 + 6 = 12 সেমি।
উত্তর: (a) 12 সেমি.

(v) দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র O; একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। AC = 5 সেমি. হলে BD-এর দৈর্ঘ্য
সমাধান: আমরা 7 নম্বর প্রশ্নে প্রমাণ করেছি যে, এমন ক্ষেত্রে AC = BD হয়। তাই BD = 5 সেমি।
উত্তর: (a) 5 সেমি.

(B) সত্য / মিথ্যা লিখি :
(i) তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে যায় এরকম একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
উত্তর: মিথ্যা (তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটিমাত্র বৃত্ত অঙ্কন করা যায়)।

(ii) ABCDA ও ABCEA বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত।
উত্তর: সত্য (যে-কোনো তিনটি বিন্দু দিয়ে একটি নির্দিষ্ট বৃত্তই আঁকা যায়, তাই বিন্দুগুলির নাম যেভাবেই দেওয়া হোক বৃত্তটি একই থাকে)।

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB এবং AC জ্যা দুটি OA ব্যাসার্ধের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হলে, ∠OAB = ∠OAC
উত্তর: সত্য (ত্রিভুজ OAB এবং OAC সর্বসম হবে, SSS শর্তে)।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ ও RS জ্যা দুটির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1:1 হলে, ∠POQ : ∠ROS = ________
উত্তর: 1:1 (সমান জ্যা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে)।

(ii) বৃত্তের কোনো জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক ওই বৃত্তের ________।
উত্তর: কেন্দ্রগামী।

17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :
(i) 10 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দুটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করে এবং তাদের সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি.। বৃত্ত কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, বৃত্ত দুটির কেন্দ্র P এবং Q, তারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। সাধারণ জ্যা AB = 12 সেমি।
কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা PQ সাধারণ জ্যা AB কে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে (ধরি M বিন্দুতে)।
∴ AM = 12 ÷ 2 = 6 সেমি।
সমকোণী ত্রিভুজ PMA-তে, ব্যাসার্ধ PA = 10 সেমি, AM = 6 সেমি।
PM = √(10² – 6²) = √(100 – 36) = √64 = 8 সেমি।
যেহেতু বৃত্ত দুটি সমান, তাই QM-এর দৈর্ঘ্যও 8 সেমি হবে।
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব PQ = PM + QM = 8 + 8 = 16 সেমি।
উত্তর: বৃত্ত কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 16 সেমি.।

(ii) 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে AB এবং AC দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। বৃত্তের কেন্দ্র ABC ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত। AB = AC = 6 সেমি. হলে, BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
যেহেতু AB = AC, তাই ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। কেন্দ্র O থেকে BC-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলে তা A বিন্দু দিয়ে যাবে।
ধরি, OA রেখা BC কে M বিন্দুতে ছেদ করে। OM ⊥ BC এবং M হলো BC-এর মধ্যবিন্দু।
যেহেতু কেন্দ্র O ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত, তাই ∠BAC একটি স্থূলকোণ এবং A ও O বিন্দু BC-এর বিপরীত পাশে অবস্থিত।
ধরি, OM = x সেমি। বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = OB = 5 সেমি।
তাহলে, AM = OA + OM = 5 + x
সমকোণী ত্রিভুজ ΔOMB-তে: BM² = OB² – OM² = 25 – x² ……(i)
সমকোণী ত্রিভুজ ΔAMB-তে: BM² = AB² – AM² = 36 – (5 + x)² ……(ii)
(i) ও (ii) তুলনা করে পাই:
25 – x² = 36 – (25 + 10x + x²)
বা, 25 – x² = 36 – 25 – 10x – x²
উভয়দিক থেকে -x² বাদ দিয়ে পাই:
25 = 11 – 10x
বা, 10x = 11 – 25 = -14
বা, x = -1.4
(এখানে x এর মান ঋণাত্মক আসার অর্থ হলো, A ও O বিন্দু BC-এর একই পাশে অবস্থিত, অর্থাৎ কেন্দ্র ত্রিভুজের ভেতরে অবস্থিত, যা প্রদত্ত শর্তের পরিপন্থী। যদি কেন্দ্র বাইরে থাকে তবে সমীকরণটি হতো AM = 5 – x। আসুন সেটি দিয়ে পরীক্ষা করি)
ধরি, AM = 5 – x
তাহলে, 25 – x² = 36 – (5 – x)²
বা, 25 – x² = 36 – (25 – 10x + x²)
বা, 25 – x² = 11 + 10x – x²
বা, 10x = 14 ⇒ x = 1.4
এখন (i) নং এ বসিয়ে পাই: BM² = 25 – (1.4)² = 25 – 1.96 = 23.04
∴ BM = √23.04 = 4.8 সেমি।
BC = 2 × BM = 2 × 4.8 = 9.6 সেমি।
উত্তর: BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 9.6 সেমি.।

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠AOB = 60° এবং CD = 6 সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
যেহেতু AB এবং CD সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা, তাই AB = CD = 6 সেমি।
ত্রিভুজ ΔAOB-তে OA = OB (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)। সুতরাং এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
এর ফলে ∠OAB = ∠OBA।
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°। ∠AOB = 60° হওয়ায়, বাকি দুটি কোণের সমষ্টি = 180° – 60° = 120°।
যেহেতু কোণ দুটি সমান, তাই ∠OAB = ∠OBA = 120° ÷ 2 = 60°।
সুতরাং, ΔAOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
অতএব, OA = OB = AB = 6 সেমি।
উত্তর: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।

(iv) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ভিতর P যে-কোনো একটি বিন্দু। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং OP = 3 সেমি. হলে, P বিন্দুগামী যে জ্যাটির দৈর্ঘ্য ন্যূনতম তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
আমরা 15 নম্বর প্রশ্নে প্রমাণ করেছি যে, P বিন্দুগামী ক্ষুদ্রতম জ্যা সেটিই হবে যা OP-এর উপর লম্ব।
ধরি, জ্যাটি হলো AB এবং এটি P বিন্দুতে OP-এর উপর লম্ব (OP ⊥ AB)।
সমকোণী ত্রিভুজ OPA-তে, অতিভুজ OA (ব্যাসার্ধ) = 5 সেমি এবং লম্ব OP = 3 সেমি।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, AP = √(OA² – OP²) = √(5² – 3²) = √(25 – 9) = √16 = 4 সেমি।
যেহেতু কেন্দ্র থেকে লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই ক্ষুদ্রতম জ্যা AB = 2 × AP = 2 × 4 = 8 সেমি।
উত্তর: ন্যূনতম জ্যা-টির দৈর্ঘ্য 8 সেমি.।

(v) P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু দিয়ে PQ-এর সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্তদুটিকে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। PQ = 5 সেমি. হলে, CD-এর দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
11 নম্বর প্রশ্নে আমরা ঠিক এই উপপাদ্যটিই প্রমাণ করেছি যে, CD = 2 × PQ হয়।
এখানে দেওয়া আছে PQ = 5 সেমি।
সুতরাং, CD = 2 × 5 = 10 সেমি।
উত্তর: CD-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.।

Related Posts