কষে দেখি — 4 (আয়তঘন)

1. আমরা পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার ও 4 টি ঘনক আকার বস্তুর নাম লিখি।
সমাধান:
4 টি আয়তঘনাকার বস্তু: ইঁট, বই, দেশলাই বাক্স এবং জ্যামিতি বাক্স।
4 টি ঘনক আকার বস্তু: লুডোর ছক্কা, রুবিক্স কিউব, আইস কিউব (বরফের টুকরো) এবং চিনির দানা।

2. পাশের আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি, ধারগুলি ও শীর্ষবিন্দুগুলির নাম লিখি।
সমাধান:
চিত্র অনুযায়ী আয়তঘনাকার বস্তুটির নাম লেখা হলো:
তলগুলি (6টি): ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, ADHE এবং BCGF.
ধারগুলি (12টি): AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG এবং DH.
শীর্ষবিন্দুগুলি (8টি): A, B, C, D, E, F, G এবং H.

3. একটি সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি., 4 মি. ও 3 মি. হলে, ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তা হলো ঘরটির কর্ণের দৈর্ঘ্য।
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য² + প্রস্থ² + উচ্চতা²)
= √(5² + 4² + 3²)
= √(25 + 16 + 9) = √50 = √(25 × 2) = 5√2
উত্তর: সবচেয়ে লম্বা দণ্ডটির দৈর্ঘ্য 5√2 মিটার।

4. একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গ মিটার হলে, ঘনকটির আয়তন হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য = a মিটার।
ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = a²
শর্তানুসারে, a² = 64
বা, a = √64 = 8 মিটার।
ঘনকটির আয়তন = a³ = 8³ = 512 ঘন মিটার।
উত্তর: ঘনকটির আয়তন 512 ঘন মিটার।

5. আমাদের বকুলতলা গ্রামে 2 মিটার চওড়া এবং 8 ডেসিমি. গভীর একটি খাল কাটা হয়েছে। যদি মোট 240 ঘন মিটার মাটি কাটা হয়ে থাকে তবে খালটি কত লম্বা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
খালের প্রস্থ = 2 মিটার।
গভীরতা = 8 ডেসিমি. = 0.8 মিটার।
মোট মাটির আয়তন = 240 ঘন মিটার।
ধরি, খালটি x মিটার লম্বা।
শর্তানুসারে,
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা = আয়তন
x × 2 × 0.8 = 240
বা, 1.6x = 240
বা, x = 2401.6 = 240016 = 150
উত্তর: খালটি 150 মিটার লম্বা।

6. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি. হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3 (যেখানে a = বাহুর দৈর্ঘ্য)
শর্তানুসারে, a√3 = 4√3
বা, a = 4 সেমি।
ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a² = 6 × (4)² = 6 × 16 = 96 বর্গ সেমি।
উত্তর: ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি.।

7. একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি. হলে, ঘনকটির ঘনফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, ঘনকের মোট ধারের সংখ্যা 12 টি।
ধরি, ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য = a সেমি।
শর্তানুসারে, 12a = 60
বা, a = 5 সেমি।
ঘনকটির ঘনফল (আয়তন) = a³ = 5³ = 125 ঘন সেমি।
উত্তর: ঘনকটির ঘনফল 125 ঘন সেমি.।

8. যদি একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গ সেমি. হয়, তবে ঘনকটির আয়তন কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি = সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a²
শর্তানুসারে, 6a² = 216
বা, a² = 36
বা, a = 6 সেমি।
ঘনকটির আয়তন = a³ = 6³ = 216 ঘন সেমি।
উত্তর: ঘনকটির আয়তন 216 ঘন সেমি.।

9. একটি সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘন সেমি.। তাকে সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনক-এ পরিণত করা হলে, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
দুটি সমান আয়তনের ঘনকের মোট আয়তন = 432 ঘন সেমি।
∴ প্রতিটি ঘনকের আয়তন = 4322 = 216 ঘন সেমি।
ধরি, ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য = a সেমি।
∴ a³ = 216
বা, a = ∛216 = 6
উত্তর: প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।

10. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলো। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, মূল ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক।
মূল ঘনকের ঘনফল (V₁) = a³ ঘন একক।
প্রতিটি বাহু 50% কমানো হলে, নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = a – a × 50% = a – a2 = a2 একক।
পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল (V₂) = (a2)³ = a³8 ঘন একক。
অনুপাত (V₁ : V₂) = a³ : a³8 = 1 : 18 = 8 : 1
উত্তর: মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত 8 : 1।

11. একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 2 : 1 এবং উহার আয়তন 384 ঘন সেমি. হলে, বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, দৈর্ঘ্য = 3x সেমি, প্রস্থ = 2x সেমি এবং উচ্চতা = x সেমি।
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = 3x × 2x × x = 6x³
শর্তানুসারে, 6x³ = 384
বা, x³ = 3846 = 64
বা, x = ∛64 = 4
∴ দৈর্ঘ্য = 12 সেমি, প্রস্থ = 8 সেমি এবং উচ্চতা = 4 সেমি।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য×প্রস্থ + প্রস্থ×উচ্চতা + উচ্চতা×দৈর্ঘ্য)
= 2(12 × 8 + 8 × 4 + 4 × 12)
= 2(96 + 32 + 48)
= 2(176) = 352 বর্গ সেমি।
উত্তর: বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 352 বর্গ সেমি.।

12. একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি. এবং 5.4 ডেসিমি.। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা. হলে, 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বাক্সটির ভিতরের আয়তন = 7.5 × 6 × 5.4 = 243 ঘন ডেসিমি।
চা ভর্তি বাক্সের ওজন = 52.350 কিগ্রা.
খালি বাক্সের ওজন = 3.750 কিগ্রা.
শুধু চায়ের ওজন = 52.350 – 3.750 = 48.600 কিগ্রা.
অতএব, 243 ঘন ডেসিমি. চায়ের ওজন = 48.6 কিগ্রা.
1 ঘন ডেসিমি. চায়ের ওজন = 48.6243 = 0.2 কিগ্রা. = 200 গ্রাম。
উত্তর: 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন 200 গ্রাম (বা 0.2 কিগ্রা.)।

13. একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি., বেধ 1 মিলিমি. এবং প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম। যদি 1 ঘন সেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম হয়, তাহলে x-এর মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্লেটের দৈর্ঘ্য = x সেমি., প্রস্থ = x সেমি. (যেহেতু বর্গাকার ভূমি)।
বেধ (উচ্চতা) = 1 মিলিমি. = 0.1 সেমি.
প্লেটটির আয়তন = x × x × 0.1 = 0.1x² ঘন সেমি.
1 ঘন সেমি. পিতলের ওজন = 8.4 গ্রাম।
মোট ওজন = 0.1x² × 8.4 = 0.84x² গ্রাম。
শর্তানুসারে,
0.84x² = 4725
বা, x² = 47250.84 = 47250084 = 5625
বা, x = √5625 = 75
উত্তর: x-এর মান 75।

14. চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে। তাই রাস্তার দু-পাশে 30 টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাটি দিয়ে রাস্তাটি উঁচু করা হয়েছে। যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মি. এবং 8 মি. হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মোট 2520 ঘন মিটার মাটি লেগে থাকে, তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গর্তের সংখ্যা = 30 টি।
প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য = 14 মিটার, প্রস্থ = 8 মিটার।
ধরি, প্রতিটি গর্তের গভীরতা = h মিটার।
প্রতিটি গর্তের আয়তন = 14 × 8 × h ঘন মিটার。
30 টি গর্তের মোট মাটির আয়তন = 30 × 14 × 8 × h ঘন মিটার。
শর্তানুসারে,
30 × 14 × 8 × h = 2520
বা, 3360h = 2520
বা, h = 25203360 = 252336 = 34 মিটার = 0.75 মিটার = 7.5 ডেসিমি.
উত্তর: প্রতিটি গর্তের গভীরতা 7.5 ডেসিমি. (বা 0.75 মিটার)।

15. ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির 13 অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার হলে, প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
চৌবাচ্চার ধারের দৈর্ঘ্য = 1.2 মিটার = 12 ডেসিমি.
চৌবাচ্চার মোট আয়তন = 12³ = 1728 ঘন ডেসিমি. = 1728 লিটার।
64 বালতি জল তুলে নেওয়ার পর জল থাকে = 13 অংশ।
∴ তুলে নেওয়া জলের পরিমাণ = (1 – 13) অংশ = 23 অংশ।
64 বালতি জলের আয়তন = 1728 × 23 = 576 × 2 = 1152 লিটার।
প্রতিটি বালতিতে জল ধরে = 115264 = 18 লিটার।
উত্তর: প্রতিটি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।

16. এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 2.8 ডেসিমি., 1.5 ডেসিমি. ও 0.9 ডেসিমি. হলে, একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন কত হবে হিসাব করি। [এক গ্রোস = 12 ডজন]
কিন্তু যদি একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং প্রস্থ 3.5 সেমি. হয়, তবে তার উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
1 গ্রোস = 12 ডজন = 12 × 12 = 144 টি।
প্যাকেটের আয়তন = 2.8 × 1.5 × 0.9 ঘন ডেসিমি. = 3.78 ঘন ডেসিমি.
3.78 ঘন ডেসিমি. = 3.78 × 1000 = 3780 ঘন সেমি.
144 টি বাক্সের আয়তন = 3780 ঘন সেমি.
∴ একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন = 3780144 = 26.25 ঘন সেমি.

দ্বিতীয় অংশ:
বাক্সের দৈর্ঘ্য = 5 সেমি, প্রস্থ = 3.5 সেমি।
ধরি, উচ্চতা = h সেমি।
শর্তানুসারে,
5 × 3.5 × h = 26.25
বা, 17.5 × h = 26.25
বা, h = 26.2517.5 = 1.5
উত্তর: একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন 26.25 ঘন সেমি. এবং উচ্চতা 1.5 সেমি.।

17. 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য = 2.1 মিটার = 21 ডেসিমি.
চৌবাচ্চাটির প্রস্থ = 1.5 মিটার = 15 ডেসিমি.
ঢালা জলের পরিমাণ = 630 লিটার = 630 ঘন ডেসিমি.
ধরি, জলের গভীরতা বৃদ্ধি পাবে x ডেসিমি.
অতএব, বৃদ্ধি পাওয়া জলের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা বৃদ্ধি
শর্তানুসারে,
21 × 15 × x = 630
বা, 315x = 630
বা, x = 630315 = 2
জলের গভীরতা বৃদ্ধি পাবে 2 ডেসিমি. = 0.2 মিটার।
উত্তর: জলের গভীরতা 2 ডেসিমি. (বা 0.2 মিটার) বৃদ্ধি পাবে।

18. গ্রামের আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 20 মিটার এবং 15 মিটার। ওই মাঠের ভিতরে চারটি কোণে পিলার বসানোর জন্য 4 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চারটি ঘনকাকৃতি গর্ত কেটে অপসারিত মাটি অবশিষ্ট জমির উপর ছড়িয়ে দেওয়া হলো। মাঠের তলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পেল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মাঠের মোট ক্ষেত্রফল = 20 × 15 = 300 বর্গ মিটার।
প্রতিটি ঘনকাকৃতি গর্তের দৈর্ঘ্য = 4 মিটার।
প্রতিটি গর্তের মুখের ক্ষেত্রফল = 4 × 4 = 16 বর্গ মিটার।
4টি গর্তের মুখের মোট ক্ষেত্রফল = 4 × 16 = 64 বর্গ মিটার।
মাঠের অবশিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল (যেখানে মাটি ছড়ানো হবে) = 300 – 64 = 236 বর্গ মিটার।
প্রতিটি গর্ত থেকে তোলা মাটির আয়তন = 4³ = 64 ঘন মিটার।
4টি গর্ত থেকে তোলা মোট মাটির আয়তন = 4 × 64 = 256 ঘন মিটার।
ধরি, মাঠের তলের উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে h মিটার।
শর্তানুসারে,
অবশিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল × উচ্চতা বৃদ্ধি = মোট অপসারিত মাটির আয়তন
236 × h = 256
বা, h = 256236 = 6459 = 1559 মিটার।
উত্তর: মাঠের তলের উচ্চতা 1559 মিটার বৃদ্ধি পেল।

19. 48 মিটার লম্বা এবং 31.5 মিটার চওড়া একখণ্ড নীচু জমিকে 6.5 ডেসিমি. উঁচু করার জন্য ঠিক করা হয়েছে পাশের 27 মিটার লম্বা এবং 18.2 মিটার চওড়া একটি জমি গর্ত করে মাটি তোলা হবে। গর্তটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
নীচু জমির দৈর্ঘ্য = 48 মিটার, প্রস্থ = 31.5 মিটার।
উচ্চতা বাড়াতে হবে = 6.5 ডেসিমি. = 0.65 মিটার।
প্রয়োজনীয় মাটির আয়তন = 48 × 31.5 × 0.65 ঘন মিটার।
পাশের জমির দৈর্ঘ্য = 27 মিটার, প্রস্থ = 18.2 মিটার।
ধরি, গর্তটি x মিটার গভীর করতে হবে।
তাহলে তোলা মাটির আয়তন = 27 × 18.2 × x ঘন মিটার।
শর্তানুসারে,
27 × 18.2 × x = 48 × 31.5 × 0.65
বা, x = 48 × 31.5 × 0.6527 × 18.2
দশমিক তুলে দিয়ে পাই,
x = 48 × 315 × 65 × 1027 × 182 × 10 × 100
কাটাকাটি করে পাই, x = 2
উত্তর: গর্তটি 2 মিটার গভীর করতে হবে।

20. বাড়ির তিনটি কেরোসিন তেলের ড্রামে যথাক্রমে 800 লিটার, 725 লিটার এবং 575 লিটার তেল ছিল। ওই তিনটি ড্রামের তেল একটি আয়তঘনাকার পাত্রে ঢালা হলো এবং এতে পাত্রে তেলের গভীরতা 7 ডেসিমি. হলো। ওই আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4 : 3 হলে, পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
যদি ওই আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমিটার হতো, তবে 1620 লিটার তেল ওই পাত্রে রাখা যেত কিনা হিসাব করে দেখি।
সমাধান:
মোট তেলের পরিমাণ = 800 + 725 + 575 = 2100 লিটার = 2100 ঘন ডেসিমি.
পাত্রে তেলের গভীরতা = 7 ডেসিমি.
পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত = 4 : 3
ধরি, পাত্রের দৈর্ঘ্য = 4x ডেসিমি. এবং প্রস্থ = 3x ডেসিমি.
শর্তানুসারে,
4x × 3x × 7 = 2100
বা, 84x² = 2100
বা, x² = 210084 = 25
বা, x = 5 (যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না)
পাত্রের দৈর্ঘ্য = 4 × 5 = 20 ডেসিমি. = 2 মিটার।
পাত্রের প্রস্থ = 3 × 5 = 15 ডেসিমি. = 1.5 মিটার।

দ্বিতীয় অংশ:
যদি পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমি. হতো, তবে পাত্রের মোট আয়তন হতো:
= দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা
= 20 × 15 × 5 = 1500 ঘন ডেসিমি. = 1500 লিটার।
যেহেতু 1620 লিটার > 1500 লিটার, তাই 1620 লিটার তেল ওই পাত্রে রাখা যেত না।
উত্তর: পাত্রের দৈর্ঘ্য 2 মিটার এবং প্রস্থ 1.5 মিটার। 1620 লিটার তেল ওই পাত্রে রাখা যেত না।

21. আমাদের তিনতলা ফ্ল্যাটের তিনটি পরিবারের দৈনিক জলের চাহিদা যথাক্রমে 1200 লিটার, 1050 লিটার এবং 950 লিটার। এই চাহিদা মেটানোর পরও চাহিদার 25% জল মজুত থাকে এমন একটি ট্যাঙ্ক বসানোর জন্য মাত্র 2.5 মি. দীর্ঘ এবং 1.6 মিটার চওড়া একটি জায়গা পাওয়া গেছে। ট্যাঙ্কটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।
জায়গাটি যদি প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিমি. বেশি হতো, তবে ট্যাঙ্কটি কতটা গভীর করতে হতো তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
তিনটি পরিবারের মোট দৈনিক জলের চাহিদা = 1200 + 1050 + 950 = 3200 লিটার।
চাহিদা মেটানোর পরও মজুত থাকে চাহিদার 25% = 3200 × 25% = 3200 × 25100 = 800 লিটার।
ট্যাঙ্কে মোট জল ধরে = 3200 + 800 = 4000 লিটার = 4000 ঘন ডেসিমি.
ট্যাঙ্কের দৈর্ঘ্য = 2.5 মিটার = 25 ডেসিমি.
ট্যাঙ্কের প্রস্থ = 1.6 মিটার = 16 ডেসিমি.
ধরি, ট্যাঙ্কটি x ডেসিমি. গভীর করতে হবে।
শর্তানুসারে,
25 × 16 × x = 4000
বা, 400x = 4000
বা, x = 10
ট্যাঙ্কটি 10 ডেসিমি. = 1 মিটার গভীর করতে হবে।

দ্বিতীয় অংশ:
প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিমি. বেশি হলে নতুন প্রস্থ = 16 + 4 = 20 ডেসিমি.
ধরি, তখন ট্যাঙ্কটি y ডেসিমি. গভীর করতে হতো।
শর্তানুসারে,
25 × 20 × y = 4000
বা, 500y = 4000
বা, y = 8
তখন ট্যাঙ্কটি 8 ডেসিমি. = 0.8 মিটার গভীর করতে হতো।
উত্তর: ট্যাঙ্কটি 1 মিটার গভীর করতে হবে। জায়গাটি প্রস্থের দিকে 4 ডেসিমি. বেশি হলে ট্যাঙ্কটি 0.8 মিটার গভীর করতে হতো।

22. 5 সেমি. পুরু কাঠের তক্তায় তৈরি ঢাকনাসহ একটি কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা.। কিন্তু চাল ভর্তি বাক্সটির ওজন 880.5 কিগ্রা.। বাক্সটির ভিতরের দিকের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ডেসিমি. এবং 8.5 ডেসিমি. এবং এক ঘন ডেসিমি. চালের ওজন 1.5 কিগ্রা.। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গ ডেসিমি. 1.50 টাকা হিসাবে বাক্সটির বাইরের চারিপাশ রং করতে কত খরচ পড়বে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
শুধু চালের ওজন = (চাল ভর্তি বাক্সের ওজন) – (খালি বাক্সের ওজন)
= 880.5 – 115.5 = 765 কিগ্রা.
1 ঘন ডেসিমি. চালের ওজন 1.5 কিগ্রা.
∴ বাক্সে থাকা চালের আয়তন (অর্থাৎ বাক্সের ভিতরের আয়তন) = 7651.5 = 510 ঘন ডেসিমি.
বাক্সটির ভিতরের দৈর্ঘ্য = 12 ডেসিমি.
বাক্সটির ভিতরের প্রস্থ = 8.5 ডেসিমি.
ধরি, বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা = h ডেসিমি.
শর্তানুসারে,
12 × 8.5 × h = 510
বা, 102h = 510
বা, h = 5
∴ বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা 5 ডেসিমি.

দ্বিতীয় অংশ:
কাঠের তক্তার পুরুত্ব = 5 সেমি. = 0.5 ডেসিমি.
বাক্সটির বাইরের দৈর্ঘ্য = 12 + 2(0.5) = 13 ডেসিমি.
বাক্সটির বাইরের প্রস্থ = 8.5 + 2(0.5) = 9.5 ডেসিমি.
বাক্সটির বাইরের উচ্চতা = 5 + 2(0.5) = 6 ডেসিমি.
বাক্সটির বাইরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য×প্রস্থ + প্রস্থ×উচ্চতা + উচ্চতা×দৈর্ঘ্য)
= 2(13 × 9.5 + 9.5 × 6 + 6 × 13)
= 2(123.5 + 57 + 78)
= 2(258.5) = 517 বর্গ ডেসিমি.
রং করতে খরচ পড়বে = 517 × 1.50 = 775.50 টাকা।
উত্তর: বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা 5 ডেসিমি. এবং রং করতে 775.50 টাকা খরচ পড়বে।

23. 20 মি. দীর্ঘ এবং 18.5 মি. চওড়া একটি আয়তঘনাকার পুকুরে 3.2 মি. গভীর জল আছে। ঘণ্টায় 160 কিলোলিটার জলসেচ করতে পারে এমন একটি পাম্প দিয়ে কতক্ষণে পুকুরটির সমস্ত জলসেচ করা যাবে হিসাব করে লিখি। ওই জল যদি 59.2 মিটার দীর্ঘ এবং 40 মিটার চওড়া একটি আল দেওয়া ধান ক্ষেতে ফেলা হয়, তবে সেই জমিতে জলের গভীরতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
[1 ঘন মিটার = 1 কিলোলিটার]
সমাধান:
পুকুরের জলের আয়তন = 20 × 18.5 × 3.2 = 1184 ঘন মিটার = 1184 কিলোলিটার।
পাম্পটি ঘণ্টায় 160 কিলোলিটার জলসেচ করতে পারে।
∴ সমস্ত জলসেচ করতে সময় লাগবে = 1184160 ঘণ্টা = 7.4 ঘণ্টা = 7 ঘণ্টা 24 মিনিট।

দ্বিতীয় অংশ:
ধান ক্ষেতের ক্ষেত্রফল = 59.2 × 40 = 2368 বর্গ মিটার。
ধরি, জমিতে জলের গভীরতা হবে h মিটার।
শর্তানুসারে,
2368 × h = 1184
বা, h = 11842368 = 0.5 মিটার = 5 ডেসিমি.
উত্তর: জলসেচ করতে 7 ঘণ্টা 24 মিনিট সময় লাগবে এবং জমিতে জলের গভীরতা 5 ডেসিমি. হবে।

24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন :
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) একটি সমকোণী চৌপলাকৃতি বাক্সের ভিতরের আয়তন 440 ঘন সেমি. এবং ভিতরের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সেমি.। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা
সমাধান: উচ্চতা = আয়তনভূমিতলের ক্ষেত্রফল = 44088 = 5 সেমি.
উত্তর: (b) 5 সেমি.

(ii) একটি আয়তঘনাকার গর্তের দৈর্ঘ্য 40 মি., প্রস্থ 12 মি. এবং গভীরতা 16 মি.। ওই গর্তের মধ্যে 5 মি. দৈর্ঘ্য, 4 মি. প্রস্থ এবং 2 মি. পুরু তক্তা রাখা যাবে
সমাধান: তক্তার সংখ্যা = গর্তের আয়তনএকটি তক্তার আয়তন = 40 × 12 × 165 × 4 × 2 = 8 × 3 × 8 = 192 টি
উত্তর: (b) 192 টি

(iii) একটি ঘনকের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 256 বর্গ মিটার। ঘনকটির আয়তন
সমাধান: ধরি বাহু a। 4a² = 256 ⇒ a² = 64 ⇒ a = 8। আয়তন = a³ = 8³ = 512 ঘন মি.
উত্তর: (d) 512 ঘন মি.

(iv) দুটি ঘনকের আয়তনের অনুপাত 1 : 27 হলে, ঘনক দুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
সমাধান: বাহুর অনুপাত = ∛1 : ∛27 = 1 : 3। ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 1² : 3² = 1 : 9
উত্তর: (c) 1 : 9

(v) একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল S বর্গ একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে S এবং d-এর সম্পর্ক
সমাধান: ধরি বাহু a। S = 6a² এবং d = √3a ⇒ d² = 3a² ⇒ a² = d²/3। তাহলে S = 6(d²/3) = 2d² ⇒ d² = S/2
উত্তর: (d) d² = S/2

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে, ঘনকটির আয়তন প্রথম ঘনকের 4 গুণ হবে।
সমাধান: আয়তন (2a)³ = 8a³ হবে, অর্থাৎ 8 গুণ হবে।
উত্তর: মিথ্যা

(ii) বর্ষার সময় 2 হেক্টর জমিতে বৃষ্টিপাত 5 সেমি. উচ্চতার হলে, বৃষ্টির জলের আয়তন 1000 ঘন মিটার।
সমাধান: 2 হেক্টর = 2 × 100 আর = 200 × 100 বর্গ মি. = 20000 বর্গ মি.। উচ্চতা = 5 সেমি = 0.05 মি.। আয়তন = 20000 × 0.05 = 1000 ঘন মি.。
উত্তর: সত্য

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একটি সমকোণী চৌপলের কর্ণের সংখ্যা ________ টি।
উত্তর: 4

(ii) একটি ঘনকের একটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ________ × একটি ধারের দৈর্ঘ্য।
উত্তর: √2

(iii) সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম ________।
উত্তর: ঘনক

25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.) :
(i) একটি আয়তঘনের তল সংখ্যা = x, ধার সংখ্যা = y, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা = z এবং কর্ণের সংখ্যা = p হলে, x – y + z + p-এর মান কত তা লিখি।
সমাধান:
আয়তঘনের ক্ষেত্রে: তল (x) = 6, ধার (y) = 12, শীর্ষবিন্দু (z) = 8, কর্ণ (p) = 4
∴ x – y + z + p = 6 – 12 + 8 + 4 = 6
উত্তর: 6

(ii) দুটি আয়তঘনের মাত্রাগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4, 6, 4 একক এবং 8, (2h – 1), 2 একক। যদি আয়তঘন দুটির ঘনফল সমান হয়, তাহলে h-এর মান কত তা লিখি।
সমাধান:
প্রথম আয়তঘনের ঘনফল = 4 × 6 × 4 = 96 ঘন একক
দ্বিতীয় আয়তঘনের ঘনফল = 8 × (2h – 1) × 2 = 16(2h – 1) ঘন একক
শর্তানুসারে, 16(2h – 1) = 96
বা, 2h – 1 = 6
বা, 2h = 7 ⇒ h = 3.5
উত্তর: h-এর মান 3.5

(iii) একটি ঘনকের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য = a একক
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গ একক
ধার 50% বৃদ্ধি পেলে নতুন ধার = a + a × 50% = 1.5a একক
নতুন সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6(1.5a)² = 6 × 2.25a² = 13.5a² বর্গ একক
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = 13.5a² – 6a² = 7.5a² বর্গ একক
শতকরা বৃদ্ধি = 7.5a²6a² × 100% = 1.25 × 100% = 125%
উত্তর: সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 125% বৃদ্ধি পাবে।

(iv) তিনটি নিরেট ঘনক যাদের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সেমি., 4 সেমি. এবং 5 সেমি.। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন নিরেট ঘনক তৈরি করা হলো। নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে তা লিখি।
সমাধান:
তিনটি ঘনকের মোট আয়তন = 3³ + 4³ + 5³ = 27 + 64 + 125 = 216 ঘন সেমি.
ধরি, নতুন ঘনকটির ধারের দৈর্ঘ্য a সেমি.
শর্তানুসারে, a³ = 216
বা, a = ∛216 = 6
উত্তর: নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.।

(v) একটি ঘরের দুটি সংলগ্ন দেয়ালের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মি. এবং 8 মি.। ঘরটির উচ্চতা 4 মি. হলে, ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল কত তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল কেবল দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের উপর নির্ভর করে। উচ্চতার কোনো ভূমিকা নেই।
এখানে দৈর্ঘ্য = 12 মি. এবং প্রস্থ = 8 মি. (যেহেতু সংলগ্ন দেয়াল দুটি দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্দেশ করে)।
মেঝের ক্ষেত্রফল = 12 × 8 = 96 বর্গ মিটার।
উত্তর: ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ মিটার।

Related Posts