কষে দেখি — 5.1 (অনুপাত ও সমানুপাত)
1. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত, লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখি।
সমাধান:
(i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস
1 বছর 6 মাস = 12 মাস + 6 মাস = 18 মাস।
অনুপাত = 4 : 18 = 2 : 9
যেহেতু পূর্বপদ (2) < উত্তরপদ (9), তাই এটি লঘু অনুপাত।
(ii) 75 পয়সা এবং 1 টাকা 25 পয়সা
1 টাকা 25 পয়সা = 100 পয়সা + 25 পয়সা = 125 পয়সা।
অনুপাত = 75 : 125 = 3 : 5 (25 দিয়ে ভাগ করে)
যেহেতু পূর্বপদ (3) < উত্তরপদ (5), তাই এটি লঘু অনুপাত।
(iii) 60 সেমি. এবং 0.6 মিটার
0.6 মিটার = 0.6 × 100 সেমি. = 60 সেমি.
অনুপাত = 60 : 60 = 1 : 1
যেহেতু পূর্বপদ এবং উত্তরপদ সমান, তাই এটি সাম্যানুপাত।
(iv) 1.2 কিগ্রা. এবং 60 গ্রাম
1.2 কিগ্রা = 1.2 × 1000 গ্রাম = 1200 গ্রাম।
অনুপাত = 1200 : 60 = 120 : 6 = 20 : 1
যেহেতু পূর্বপদ (20) > উত্তরপদ (1), তাই এটি গুরু অনুপাত。
2. (i) p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি।
সমাধান:
p কিগ্রা. = p × 1000 গ্রাম = 1000p গ্রাম।
অনুপাতটি হলো = 1000p : q
(ii) x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় কখন সম্ভব হবে লিখি।
সমাধান:
দুটি সমজাতীয় রাশির মধ্যেই কেবল অনুপাত নির্ণয় করা সম্ভব। তাই x দিন এবং z মাসের অনুপাত তখনই সম্ভব হবে, যখন দুটি রাশিকেই একই এককে (হয় দিনে, অথবা মাসে) প্রকাশ করা হবে।
(iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কী ধরনের অনুপাত হবে লিখি।
সমাধান:
ধরি, একটি অনুপাত a : b। এর ব্যস্ত অনুপাতটি হবে b : a।
মিশ্র অনুপাত = (a × b) : (b × a) = ab : ab = 1 : 1
যেহেতু পূর্বপদ এবং উত্তরপদ সমান, তাই এটি সাম্যানুপাত হবে।
(iv) ab : c, bc : a, ca : b -এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
মিশ্র অনুপাত = (পূর্বপদগুলির গুণফল) : (উত্তরপদগুলির গুণফল)
= (ab × bc × ca) : (c × a × b)
= 1 : abc
উত্তর: মিশ্র অনুপাতটি হলো 1 : abc।
(v) x2 : yz এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত xy : z2 হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, নির্ণেয় অনুপাতটি a : b।
শর্তানুসারে, (x2 × a) : (yz × b) = xy : z2
বা, x2 × ayz × b = xyz2
বা, ab = xy × yzz2 × x2
বা, ab = xy2zx2z2 = y2xz
উত্তর: অনুপাতটি হবে y2 : xz।
(vi) x2 : yzx, y2 : zxy, z2 : xyz অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলি হলো:
yzx : x2, zxy : y2 এবং xyz : z2
যৌগিক বা মিশ্র অনুপাত = (yzx × zxy × xyz) : (x2 × y2 × z2)
= x2y2z2xyz : x2y2z2
= xyz : x2y2z2
= 1 : xyz (উভয়পদকে xyz দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: যৌগিক অনুপাতটি হলো 1 : xyz。
3. নিম্নলিখিতগুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি :
(i) 4:5, 5:7 এবং 9:11
সমাধান:
মিশ্র অনুপাত = (4 × 5 × 9) : (5 × 7 × 11)
= 180 : 385
= 36 : 77 (উভয়পদকে 5 দিয়ে ভাগ করে)
উত্তর: 36 : 77
(ii) (x+y):(x-y), (x2+y2):(x+y)2 এবং (x2-y2)2 : (x4-y4)
সমাধান:
মিশ্র অনুপাত = [(x+y) × (x2+y2) × (x2-y2)2] : [(x-y) × (x+y)2 × (x4-y4)]
ভগ্নাংশ আকারে লিখলে:
= (x+y)(x2+y2)(x2-y2)2(x-y)(x+y)2(x4-y4)
আমরা জানি, x4-y4 = (x2+y2)(x2-y2)
= (x+y)(x2+y2)(x2-y2)2(x-y)(x+y)2(x2+y2)(x2-y2)
(x2+y2) এবং একটি (x2-y2) কেটে দিয়ে পাই:
= (x+y)(x2-y2)(x-y)(x+y)2
আবার, x2-y2 = (x+y)(x-y)
= (x+y)(x+y)(x-y)(x-y)(x+y)2
= (x+y)2(x-y)(x-y)(x+y)2 = 1
উত্তর: 1 : 1
4. (i) A:B = 6:7 এবং B:C = 8:7 হলে, A:C নির্ণয় করি।
সমাধান:
AC = AB × BC = 67 × 87 = 4849
উত্তর: A:C = 48 : 49
(ii) A:B = 2:3, B:C = 4:5 এবং C:D = 6:7 হলে, A:D নির্ণয় করি।
সমাধান:
AD = AB × BC × CD = 23 × 45 × 67 = 48105 = 1635 (3 দিয়ে কেটে)
উত্তর: A:D = 16 : 35
(iii) যদি A:B = 3:4 এবং B:C = 2:3 হয়, তাহলে A:B:C নির্ণয় করি।
সমাধান:
A:B = 3:4
B:C = 2:3
উভয় অনুপাতে B এর মান সমান করার জন্য দ্বিতীয় অনুপাতকে 2 দিয়ে গুণ করি:
B:C = (2×2) : (3×2) = 4:6
তাহলে, A:B:C = 3 : 4 : 6
(iv) x:y = 2:3 এবং y:z = 4:7 হলে, x:y:z নির্ণয় করি।
সমাধান:
x:y = 2:3 = (2×4) : (3×4) = 8:12
y:z = 4:7 = (4×3) : (7×3) = 12:21
তাহলে, x:y:z = 8 : 12 : 21
5. (i) x:y = 3:4 হলে, (3y – x) : (2x + y) কত হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, x = 3k এবং y = 4k (যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক)।
প্রদত্ত রাশিতে মান বসিয়ে পাই:
(3y – x) : (2x + y) = (3(4k) – 3k) : (2(3k) + 4k)
= (12k – 3k) : (6k + 4k)
= 9k : 10k = 9 : 10
(ii) a:b = 8:7 হলে, দেখাই যে (7a – 3b) : (11a – 9b) = 7:5
সমাধান:
ধরি, a = 8k এবং b = 7k (যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক)।
বামপক্ষ (LHS) = 7a – 3b11a – 9b
= 7(8k) – 3(7k)11(8k) – 9(7k) = 56k – 21k88k – 63k = 35k25k = 75 = 7 : 5 = ডানপক্ষ (RHS)।
(প্রমাণিত)
(iii) p:q = 5:7 এবং p – q = -4 হলে, 3p + 4q -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, p = 5k এবং q = 7k।
প্রদত্ত শর্তানুসারে, p – q = -4
বা, 5k – 7k = -4
বা, -2k = -4 ⇒ k = 2
অতএব, p = 5(2) = 10 এবং q = 7(2) = 14।
এখন, 3p + 4q = 3(10) + 4(14) = 30 + 56 = 86。
6. (i) (5x – 3y) : (2x + 4y) = 11:12 হলে, x:y নির্ণয় করি।
সমাধান:
5x – 3y2x + 4y = 1112
কোণাকুণি গুণ করে পাই:
12(5x – 3y) = 11(2x + 4y)
বা, 60x – 36y = 22x + 44y
বা, 60x – 22x = 44y + 36y
বা, 38x = 80y
বা, xy = 8038 = 4019
উত্তর: x:y = 40 : 19
(ii) (3a + 7b) : (5a – 3b) = 5:3 হলে, a:b নির্ণয় করি।
সমাধান:
3a + 7b5a – 3b = 53
কোণাকুণি গুণ করে পাই:
3(3a + 7b) = 5(5a – 3b)
বা, 9a + 21b = 25a – 15b
বা, 21b + 15b = 25a – 9a
বা, 36b = 16a
বা, ab = 3616 = 94
উত্তর: a:b = 9 : 4
7. (i) (7x – 5y) : (3x + 4y) = 7:11 হলে, দেখাই যে (3x – 2y) : (3x + 4y) = 137:473
সমাধান:
7x – 5y3x + 4y = 711
বা, 11(7x – 5y) = 7(3x + 4y)
বা, 77x – 55y = 21x + 28y
বা, 77x – 21x = 28y + 55y
বা, 56x = 83y
বা, xy = 8356
ধরি, x = 83k এবং y = 56k।
বামপক্ষ (LHS) = 3x – 2y3x + 4y
= 3(83k) – 2(56k)3(83k) + 4(56k) = 249k – 112k249k + 224k = 137k473k = 137473 = 137 : 473 = ডানপক্ষ (RHS)।
(প্রমাণিত)
(ii) (10x + 3y) : (5x + 2y) = 9:5 হলে, দেখাই যে (2x + y) : (x + 2y) = 11:13
সমাধান:
10x + 3y5x + 2y = 95
বা, 5(10x + 3y) = 9(5x + 2y)
বা, 50x + 15y = 45x + 18y
বা, 50x – 45x = 18y – 15y
বা, 5x = 3y
বা, xy = 35
ধরি, x = 3k এবং y = 5k।
বামপক্ষ (LHS) = 2x + yx + 2y
= 2(3k) + 5k3k + 2(5k) = 6k + 5k3k + 10k = 11k13k = 1113 = 11 : 13 = ডানপক্ষ (RHS)।
(প্রমাণিত)
8. (i) 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, উভয়পদের সাথে x যোগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, 2 + x5 + x = 611
বা, 11(2 + x) = 6(5 + x)
বা, 22 + 11x = 30 + 6x
বা, 11x – 6x = 30 – 22
বা, 5x = 8 ⇒ x = 85 = 135
উত্তর: 8/5 (বা 135) যোগ করতে হবে।
(ii) a:b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m:n হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, উভয়পদ থেকে x বিয়োগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, a – xb – x = mn
বা, n(a – x) = m(b – x)
বা, an – nx = bm – mx
বা, mx – nx = bm – an
বা, x(m – n) = bm – an
বা, x = bm – anm – n
উত্তর: bm – anm – n বিয়োগ করতে হবে।
(iii) কোন সংখ্যা 4:7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তরপদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মান 2:3 ও 5:4 -এর যৌগিক অনুপাত হবে।
সমাধান:
প্রথমে 2:3 ও 5:4 এর যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি:
যৌগিক অনুপাত = (2 × 5) : (3 × 4) = 10 : 12 = 5 : 6
ধরি, সংখ্যাটি হলো x।
শর্তানুসারে, 4:7 অনুপাতের পূর্বপদের (4) সঙ্গে x যোগ এবং উত্তরপদ (7) থেকে x বিয়োগ করলে অনুপাতটি 5:6 হবে।
4 + x7 – x = 56
বা, 6(4 + x) = 5(7 – x)
বা, 24 + 6x = 35 – 5x
বা, 6x + 5x = 35 – 24
বা, 11x = 11 ⇒ x = 1
উত্তর: নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো 1।