কষে দেখি — 5.2 (অনুপাত ও সমানুপাত)
1. নিম্নলিখিত সমানুপাতে x-এর মান নির্ণয় করি।
(i) 10 : 35 :: x : 42
সমাধান:
1035 = x42
বা, 35x = 10 × 42
বা, x = 10 × 4235 = 2 × 6 = 12
উত্তর: x এর মান 12।
(ii) x : 50 :: 3 : 2
সমাধান:
x50 = 32
বা, 2x = 50 × 3 = 150
বা, x = 1502 = 75
উত্তর: x এর মান 75。
2. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি:
(i) 13, 14, 15
সমাধান:
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী = x
শর্তানুসারে, 13 : 14 :: 15 : x
বা, 1/31/4 = 1/5x
বা, 43 = 15x
বা, 20x = 3 ⇒ x = 320
উত্তর: চতুর্থ সমানুপাতী 320।
(ii) 9.6 কিগ্রা., 7.6 কিগ্রা., 28.8 কিগ্রা.
সমাধান:
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী = x কিগ্রা.
শর্তানুসারে, 9.6 : 7.6 :: 28.8 : x
বা, 9.67.6 = 28.8x
বা, 9676 = 28.8x
বা, x = 28.8 × 7696 = 0.3 × 76 = 22.8
উত্তর: চতুর্থ সমানুপাতী 22.8 কিগ্রা.।
(iii) x2y, y2z, z2x
সমাধান:
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী = P
শর্তানুসারে, x2y : y2z :: z2x : P
বা, x2yy2z = z2xP
বা, P = y2z × z2xx2y = xy2z3x2y = yz3x
উত্তর: চতুর্থ সমানুপাতী yz3x।
(iv) (p – q), (p2 – q2), (p2 – pq + q2)
সমাধান:
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী = x
শর্তানুসারে, (p – q) : (p2 – q2) :: (p2 – pq + q2) : x
বা, p – qp2 – q2 = p2 – pq + q2x
বা, p – q(p – q)(p + q) = p2 – pq + q2x
বা, 1p + q = p2 – pq + q2x
বা, x = (p + q)(p2 – pq + q2) = p3 + q3
উত্তর: চতুর্থ সমানুপাতী p3 + q3。
3. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছগুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করি:
(i) 5, 10
সমাধান:
ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী = x
শর্তানুসারে, 5 : 10 :: 10 : x
বা, 510 = 10x
বা, 5x = 100 ⇒ x = 20
উত্তর: তৃতীয় সমানুপাতী 20।
(ii) 0.24, 0.6
সমাধান:
ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী = x
শর্তানুসারে, 0.24 : 0.6 :: 0.6 : x
বা, 0.240.6 = 0.6x
বা, x = 0.6 × 0.60.24 = 0.360.24 = 3624 = 1.5
উত্তর: তৃতীয় সমানুপাতী 1.5।
(iii) p3q2, q2r
সমাধান:
ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী = x
শর্তানুসারে, p3q2 : q2r :: q2r : x
বা, p3q2q2r = q2rx
বা, p3r = q2rx
বা, x = q2r2p3
উত্তর: তৃতীয় সমানুপাতী q2r2p3।
(iv) (x – y)2, (x2 – y2)2
সমাধান:
ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী = P
শর্তানুসারে, (x – y)2 : (x2 – y2)2 :: (x2 – y2)2 : P
বা, (x – y)2(x2 – y2)2 = (x2 – y2)2P
বা, P = (x2 – y2)4(x – y)2 = [(x – y)(x + y)]4(x – y)2 = (x – y)4(x + y)4(x – y)2 = (x – y)2(x + y)4
উত্তর: তৃতীয় সমানুপাতী (x – y)2(x + y)4。
4. নিম্নলিখিত ধনাত্মক সংখ্যাগুচ্ছগুলির মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করি:
(i) 5 এবং 80
সমাধান:
ধরি, মধ্যসমানুপাতী = x
শর্তানুসারে, 5 : x :: x : 80
বা, x2 = 5 × 80 = 400
বা, x = √400 = 20 (যেহেতু সংখ্যাগুলি ধনাত্মক)
উত্তর: মধ্যসমানুপাতী 20।
(ii) 8.1 এবং 2.5
সমাধান:
ধরি, মধ্যসমানুপাতী = x
শর্তানুসারে, 8.1 : x :: x : 2.5
বা, x2 = 8.1 × 2.5 = 20.25
বা, x = √20.25 = 4.5
উত্তর: মধ্যসমানুপাতী 4.5।
(iii) x3y এবং xy3
সমাধান:
ধরি, মধ্যসমানুপাতী = P
শর্তানুসারে, x3y : P :: P : xy3
বা, P2 = x3y × xy3 = x4y4
বা, P = √(x4y4) = x2y2
উত্তর: মধ্যসমানুপাতী x2y2।
(iv) (x – y)2, (x + y)2
সমাধান:
ধরি, মধ্যসমানুপাতী = P
শর্তানুসারে, (x – y)2 : P :: P : (x + y)2
বা, P2 = (x – y)2(x + y)2 = [(x – y)(x + y)]2 = (x2 – y2)2
বা, P = x2 – y2
উত্তর: মধ্যসমানুপাতী x2 – y2。
5. যদি a:b এবং c:d এই অনুপাত দুটি পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলি কী সম্পর্ক প্রকাশ করে লিখি।
সমাধান:
a:b এর ব্যস্ত অনুপাত হলো b:a এবং c:d এর ব্যস্ত অনুপাত হলো d:c।
যদি a:b এবং c:d পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে, তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলিও পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্কই প্রকাশ করবে।
উত্তর: বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করবে।
6. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে কটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা হলো a, b, c।
তাহলে, a : b :: b : c একটি ক্রমিক সমানুপাত।
যদি এদের ক্রম উল্টে দেওয়া হয়, তবে c, b, a ও ক্রমিক সমানুপাতী হবে।
সেক্ষেত্রে, c : b :: b : a আর একটি ক্রমিক সমানুপাত হবে।
উত্তর: তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে 2 টি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে।
7. 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6 হলে, পঞ্চমটি নির্ণয় করি।
সমাধান:
যেহেতু সংখ্যাগুলি ক্রমিক সমানুপাতী, তাই তাদের সাধারণ অনুপাত (common ratio) সমান হবে।
সাধারণ অনুপাত = দ্বিতীয় পদপ্রথম পদ = 62 = 3
প্রথম পদ = 2
দ্বিতীয় পদ = 2 × 3 = 6
তৃতীয় পদ = 6 × 3 = 18
চতুর্থ পদ = 18 × 3 = 54
পঞ্চম পদ = 54 × 3 = 162
উত্তর: পঞ্চম সংখ্যাটি হলো 162。
8. 6, 15, 20 ও 43-এর প্রত্যেকটির সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, প্রত্যেকটির সঙ্গে x যোগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, (6 + x) : (15 + x) :: (20 + x) : (43 + x)
বা, 6 + x15 + x = 20 + x43 + x
কোণাকুণি গুণ করে পাই:
(6 + x)(43 + x) = (15 + x)(20 + x)
বা, 258 + 6x + 43x + x2 = 300 + 15x + 20x + x2
বা, x2 + 49x + 258 = x2 + 35x + 300
উভয়দিক থেকে x2 বাদ দিয়ে পাই:
49x – 35x = 300 – 258
বা, 14x = 42
বা, x = 4214 = 3
উত্তর: প্রত্যেকটির সঙ্গে 3 যোগ করতে হবে।
9. 23, 30, 57 এবং 78 -এর প্রত্যেকটি থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, প্রত্যেকটি থেকে x বিয়োগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, (23 – x) : (30 – x) :: (57 – x) : (78 – x)
বা, 23 – x30 – x = 57 – x78 – x
কোণাকুণি গুণ করে পাই:
(23 – x)(78 – x) = (30 – x)(57 – x)
বা, 1794 – 23x – 78x + x2 = 1710 – 30x – 57x + x2
বা, x2 – 101x + 1794 = x2 – 87x + 1710
উভয়দিক থেকে x2 বাদ দিয়ে পাই:
-101x + 87x = 1710 – 1794
বা, -14x = -84
বা, x = -84-14 = 6
উত্তর: প্রত্যেকটি থেকে 6 বিয়োগ করতে হবে।
10. p, q, r, s -এর প্রত্যেকটির থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, প্রত্যেকটি থেকে x বিয়োগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, (p – x) : (q – x) :: (r – x) : (s – x)
বা, p – xq – x = r – xs – x
কোণাকুণি গুণ করে পাই:
(p – x)(s – x) = (q – x)(r – x)
বা, ps – px – sx + x2 = qr – qx – rx + x2
উভয়দিক থেকে x2 বাদ দিয়ে পাই:
ps – x(p + s) = qr – x(q + r)
বা, x(q + r) – x(p + s) = qr – ps
বা, x(q + r – p – s) = qr – ps
বা, x = qr – psq + r – p – s
উত্তর: প্রত্যেকটি থেকে qr – psq + r – p – s বিয়োগ করতে হবে।