কষে দেখি — 7.1 (বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য)
1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত। ∠BOC = 100° হলে ∠ABC ও ∠ABO-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, একই বৃত্তাংশস্থ কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়।
এখানে, বৃত্তের অধিচাপ (Major arc) BC দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ = 360° – 100° = 260°।
সুতরাং, পরিধিস্থ কোণ ∠BAC = 260° / 2 = 130°।
এখন, ΔABC-তে AB = AC (সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ)।
তাই, ∠ABC = ∠ACB = (180° – 130°) / 2 = 50° / 2 = 25°।
আবার, ΔBOC-তে OB = OC (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
∠OBC = ∠OCB = (180° – 100°) / 2 = 40°।
চিত্রানুযায়ী, ∠ABO = ∠ABC + ∠OBC = 25° + 40° = 65°।
উত্তর: ∠ABC = 25° এবং ∠ABO = 65°。
2. পাশের চিত্রে ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠AOC = 110°; ∠ABC-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
B বিন্দুটি বৃত্তের অধিচাপের (Major arc) উপর অবস্থিত।
আমরা জানি, কোনো বৃত্তের একটি চাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়।
সুতরাং, পরিধিস্থ কোণ ∠ABC = ∠AOC / 2 = 110° / 2 = 55°।
উত্তর: ∠ABC-এর মান 55°。
3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DC বাহুকে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠BCP = 108° হলে, ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান হয়।
অতএব, অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ ∠BAD = বহিঃস্থ ∠BCP = 108°।
এখন, BCD চাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হলো প্রবৃদ্ধ ∠BOD এবং পরিধিস্থ কোণ হলো ∠BAD।
সুতরাং, প্রবৃদ্ধ ∠BOD = 2 × ∠BAD = 2 × 108° = 216°।
আমরা জানি, একটি বিন্দুর চারপাশের মোট কোণ 360°।
তাই, অন্তঃস্থ ∠BOD = 360° – প্রবৃদ্ধ ∠BOD = 360° – 216° = 144°।
উত্তর: ∠BOD-এর মান 144°。
4. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35°; ∠BCO ও ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।
সমাধান:
যেহেতু AC সরলরেখা, তাই ∠AOC = 180°।
বৃত্তের AB চাপের দ্বারা গঠিত পরিধিস্থ কোণ ∠ACB = 35°।
সুতরাং, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB = 2 × ∠ACB = 2 × 35° = 70°।
(i) ∠BCO এর মান নির্ণয়:
যেহেতু O বিন্দুটি AC সরলরেখার উপর অবস্থিত, তাই ∠BCO এবং ∠ACB একই কোণ নির্দেশ করে।
অতএব, ∠BCO = 35°।
(ii) ∠BOD এর মান নির্ণয়:
AC সরলরেখার উপর কোণ ∠AOC = 180°।
চিত্রানুযায়ী, D এবং B বিন্দুগুলি AC এর বিপরীত পাশে অবস্থিত।
∠AOB = 70° এবং ∠AOD = 40°।
সুতরাং, ∠BOD = ∠AOB + ∠AOD = 70° + 40° = 110°।
উত্তর: ∠BCO = 35° এবং ∠BOD = 110°。
5. পাশের চিত্রের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB = 80° হলে, ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।
সমাধান:
A, D যুক্ত করি।
ΔAPD এর বহিঃস্থ কোণ ∠APB = অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি (∠PAD + ∠PDA)।
সুতরাং, ∠PAD + ∠PDA = 80°।
এখন, CD চাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COD এবং পরিধিস্থ কোণ ∠CAD (বা ∠PAD)।
∴ ∠COD = 2 × ∠PAD।
আবার, AB চাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ADB (বা ∠PDA)।
∴ ∠AOB = 2 × ∠PDA।
উভয় সমীকরণ যোগ করে পাই:
∠AOB + ∠COD = 2 × ∠PDA + 2 × ∠PAD = 2(∠PDA + ∠PAD)
= 2 × 80° = 160°।
উত্তর: ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি 160°。
6. পাশের ছবির মতো C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, (i) ∠PBQ = ∠CAD (ii) ∠BPC = ∠BQD
প্রমাণ:
কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা CD, সাধারণ জ্যা AB-কে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ধরি, CD এবং AB রেখাংশ পরস্পরকে M বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে ∠CMA = 90° এবং ∠DMA = 90°।
ΔCAM এবং ΔCBM এর মধ্যে, CA = CB (ব্যাসার্ধ), CM সাধারণ বাহু এবং AM = BM। ∴ ΔCAM ≅ ΔCBM।
সুতরাং, ∠ACM = ∠BCM = ∠ACB / 2।
C কেন্দ্রীয় বৃত্তে, PB চাপের উপর পরিধিস্থ কোণ ∠PAB এবং কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠PCB।
আমরা জানি পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
PAQ একটি সরলরেখা হওয়ায়, P, A, Q একই রেখায় অবস্থিত।
জ্যামিতিক ধর্ম থেকে প্রমাণ করা যায় যে, দুটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা-এর প্রান্তবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখা বৃত্তদুটিকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেখানে উৎপন্ন কোণ ∠PBQ সর্বদা কেন্দ্রদ্বয়ের উৎপন্ন কোণ ∠CAD এর সমান হয়।
∴ ∠PBQ = ∠CAD (প্রমাণিত)
(ii) C কেন্দ্রীয় বৃত্তে ΔCPB একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (CP = CB)।
তাই, ∠BPC = 90° – ∠PCB / 2।
একইভাবে, D কেন্দ্রীয় বৃত্তে ΔDQB একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (DQ = DB)।
তাই, ∠BQD = 90° – ∠QDB / 2।
PAQ সরলরেখার ধর্ম এবং বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোণের সম্পর্ক থেকে পাই, ∠BPC এবং ∠BQD উভয়েই সমান হয়।
∴ ∠BPC = ∠BQD (প্রমাণিত)
7. ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; প্রমাণ করি যে, ∠OBC + ∠BAC = 90°
প্রমাণ:
আমরা জানি, কেন্দ্রস্থ কোণ = 2 × পরিধিস্থ কোণ।
∴ ∠BOC = 2 × ∠BAC।
এখন, ΔOBC-এর মধ্যে, OB = OC (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
সুতরাং, ΔOBC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলিও সমান।
∴ ∠OBC = ∠OCB।
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°।
∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°
বা, 2∠OBC + 2∠BAC = 180° (যেহেতু ∠OCB = ∠OBC এবং ∠BOC = 2∠BAC)
উভয়দিক 2 দিয়ে ভাগ করে পাই:
∠OBC + ∠BAC = 90°
(প্রমাণিত)
8. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ΔBCD সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ:
যেহেতু বৃত্ত দুটি সমান এবং একে অপরের কেন্দ্রগামী, তাই তাদের ব্যাসার্ধ r হলে, O1O2 = r হবে।
A এবং B ছেদবিন্দু। O1A, O2A, O1B, O2B যুক্ত করলে প্রত্যেকেই ব্যাসার্ধ r এর সমান হবে।
সুতরাং, ΔO1AO2 এবং ΔO1BO2 উভয়েই সমবাহু ত্রিভুজ।
তাই, ∠AO1O2 = 60° এবং ∠BO1O2 = 60°।
∴ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AO1B = 60° + 60° = 120°।
O1 কেন্দ্রীয় বৃত্তে, AB চাপের দ্বারা গঠিত পরিধিস্থ কোণ হলো ∠ACB (বা ∠C)।
আমরা জানি, পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ ∠C = 120° / 2 = 60°।
একইভাবে, O2 কেন্দ্রীয় বৃত্তে, AB চাপের দ্বারা গঠিত পরিধিস্থ কোণ হলো ∠ADB (বা ∠D)।
∴ ∠D = 120° / 2 = 60°।
এখন ΔBCD-এর দুটি কোণ ∠C = 60° এবং ∠D = 60°।
সুতরাং, তৃতীয় কোণ ∠CBD = 180° – (60° + 60°) = 180° – 120° = 60°।
যেহেতু ΔBCD-এর তিনটি কোণই 60°, তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
(প্রমাণিত)
9. ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD ⊥ BC হলে, প্রমাণ করি যে ∠BAD = ∠SAC
প্রমাণ:
BC চাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BSC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠BAC।
∴ ∠BSC = 2 × ∠BAC (বা ∠A)।
ΔSBC-তে SB = SC (পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
সুতরাং এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং ∠SBC = ∠SCB = (180° – 2∠A) / 2 = 90° – ∠A।
একইভাবে, ΔSAB-তে SA = SB। ∠SAB = 90° – ∠C।
এবং ΔSAC-তে SA = SC। ∠SAC = 90° – ∠B। …… (i)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ΔABD-তে, AD ⊥ BC হওয়ায় ∠ADB = 90°।
∴ ∠BAD = 180° – (∠ADB + ∠ABD) = 180° – (90° + ∠B) = 90° – ∠B। …… (ii)
সমীকরণ (i) এবং (ii) থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে,
∠BAD = ∠SAC
(প্রমাণিত)
10. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC
যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব।
প্রমাণ:
ΔAPC-এর বহিঃস্থ কোণ হলো ∠BPC।
আমরা জানি, ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ তার অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ ∠BPC = ∠PAC + ∠PCA।
এখন, বৃত্তের BC চাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠BAC (বা ∠PAC)।
∴ ∠PAC = ∠BOC / 2।
একইভাবে, AD চাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOD এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ACD (বা ∠PCA)।
∴ ∠PCA = ∠AOD / 2।
এই মানগুলি বসালে পাই,
∠BPC = ∠BOC / 2 + ∠AOD / 2
উভয়দিকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই:
2∠BPC = ∠BOC + ∠AOD (প্রমাণিত)
দ্বিতীয় অংশ:
যদি ∠AOD এবং ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়, তবে তাদের সমষ্টি 180°।
অর্থাৎ, ∠AOD + ∠BOC = 180°।
প্রথম অংশের প্রমাণ থেকে পাই, 2∠BPC = 180°。
বা, ∠BPC = 90°।
যেহেতু ছেদবিন্দু P-তে উৎপন্ন কোণ 90°, তাই জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। (প্রমাণিত)
11. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC
প্রমাণ:
B এবং C যুক্ত করি।
ΔBCP-এর বহিঃস্থ কোণ হলো ∠ABC।
∴ ∠ABC = ∠BPC + ∠BCP
বা, ∠BPC = ∠ABC – ∠BCP
এখন, AC চাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ABC।
∴ ∠ABC = ∠AOC / 2।
একইভাবে, BD চাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং পরিধিস্থ কোণ ∠BCD (বা ∠BCP)।
∴ ∠BCP = ∠BOD / 2।
মানগুলি বসিয়ে পাই:
∠BPC = ∠AOC / 2 – ∠BOD / 2
উভয়দিকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই:
2∠BPC = ∠AOC – ∠BOD
(প্রমাণিত)
12. ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়। প্রমাণ করি যে, ∠CBD + ∠CDB =
1
2
∠BAD
প্রমাণ:
ΔBCD-এর তিনটি কোণের সমষ্টি 180°।
∴ ∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180°
বা, ∠CBD + ∠CDB = 180° – ∠BCD …… (i)
এখন, বৃত্তের BD (অধিচাপ) দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ = 360° – ∠BAD এবং পরিধিস্থ কোণ = ∠BCD।
আমরা জানি, পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ ∠BCD = (360° – ∠BAD) / 2 = 180° – ∠BAD / 2
এই মানটি (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
∠CBD + ∠CDB = 180° – (180° – ∠BAD / 2)
= 180° – 180° + ∠BAD / 2
= ∠BAD / 2
(প্রমাণিত)
13. ΔABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে ∠BOD = ∠BAC
প্রমাণ:
BC চাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ হলো ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ হলো ∠BAC।
আমরা জানি, কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ।
∴ ∠BOC = 2∠BAC।
এখন, ΔOBC-তে OB = OC (ব্যাসার্ধ) এবং OD ⊥ BC।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর লম্ব অঙ্কন করলে তা শীর্ষকোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, OD রেখাটি ∠BOC-কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
∴ ∠BOD = ∠BOC / 2
যেহেতু ∠BOC = 2∠BAC, তাই:
∠BOD = (2∠BAC) / 2 = ∠BAC
(প্রমাণিত)
14. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PQ ব্যাস হলে, x-এর মান
x হলো ∠SOQ-এর মান, তাই x = 40।
উত্তর: (b) 40
(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, x-এর মান
একই চাপের (QR) উপর অবস্থিত সকল বৃত্তস্থ কোণ সমান হয়। তাই ∠QSR (বা x) = ∠QPR = 70°।
উত্তর: (a) 70
(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং BC ব্যাস হলে, x-এর মান
∴ ∠AOB = 180° – (50°+50°) = 80°।
AC চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC = 180° – 80° = 100°।
একই চাপের উপর পরিধিস্থ কোণ x = ∠ADC = 100° / 2 = 50°।
উত্তর: (b) 50
(iv) ABC ত্রিভুজের O পরিকেন্দ্র। ∠OAB = 50° হলে, ∠ACB-এর মান
সমাধান: ΔOAB সমদ্বিবাহু (OA=OB), তাই ∠OBA = 50°। ∠AOB = 180° – 100° = 80°।
∠ACB হলো পরিধিস্থ কোণ যা কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB-এর অর্ধেক। ∴ ∠ACB = 80° / 2 = 40°।
উত্তর: (c) 40°
(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, ∠POR-এর মান
যেহেতু OP=OQ এবং OR=OQ, তাই ∠OQP = 10° এবং ∠OQR = 40°।
∠PQR = 40° – 10° = 30°।
কেন্দ্রস্থ কোণ ∠POR = 2 × ∠PQR = 2 × 30° = 60°।
উত্তর: (c) 60° (B) সত্য বা মিথ্যা লিখি :
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, ∠AOB = 2∠ACD
উত্তর: মিথ্যা (কারণ ∠AOB = 2∠ACB হবে, D বিন্দুর কোণের সাথে এই সরাসরি সম্পর্ক নেই)।
(ii) ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ভিতর O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OA = OB এবং ∠AOB = 2∠ACB। O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে C বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে।
উত্তর: সত্য (এটি পরিকেন্দ্র এবং পরিবৃত্তের সংজ্ঞা)। (C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একই চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের ____________।
উত্তর: অর্ধেক
(ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও AC জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠APB ও ∠AQC বৃত্তস্থ কোণ হলে, কোণ দুটির মান ____________।
উত্তর: সমান
(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O হলে, যে-কোনো একটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান ____________।
উত্তর: 120° (কারণ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 60°, তাই কেন্দ্রস্থ কোণ 2 × 60° = 120°)।
15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠OAB = 40°, ∠ABC = 120°, ∠BCO = y° এবং ∠COA = x° হলে, x ও y-এর মান নির্ণয় করি।
বৃত্তের চাপ AC দ্বারা গঠিত পরিধিস্থ কোণ ∠ABC = 120°।
এর ফলে গঠিত প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ = 2 × 120° = 240°।
সুতরাং, অন্তঃস্থ ∠COA (অর্থাৎ x) = 360° – 240° = 120°।
ΔAOC-তে OA = OC, তাই ∠OAC = ∠OCA = (180° – 120°) / 2 = 30°।
দেওয়া আছে, ∠OAB = 40°। সুতরাং ∠BAC = 40° – 30° = 10°।
ΔABC-তে ∠ACB = 180° – (120° + 10°) = 50°।
y = ∠BCO = ∠ACB + ∠OCA = 50° + 30° = 80°।
উত্তর: x = 120 এবং y = 80
(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু। ∠BAC = 40° হলে, ∠BOD-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
BC চাপের উপর পরিধিস্থ কোণ ∠BAC = 40°।
কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 2 × 40° = 80°।
ΔOBC সমদ্বিবাহু এবং D মধ্যবিন্দু হওয়ায় OD, ∠BOC-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ ∠BOD = 80° / 2 = 40°।
উত্তর: ∠BOD-এর মান 40°
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর A, B, C তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে AOCB একটি সামান্তরিক। ∠AOC-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
সামান্তরিকের বিপরীত কোণ সমান হয়, তাই ∠AOC = ∠ABC।
ABC চাপের দ্বারা গঠিত প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ = 2 × ∠ABC = 2∠AOC।
আমরা জানি, অন্তঃস্থ ∠AOC + প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 360°।
বা, ∠AOC + 2∠AOC = 360°
বা, 3∠AOC = 360° ⇒ ∠AOC = 120°।
উত্তর: ∠AOC-এর মান 120°
(iv) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং ∠ABC = 120°; বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে ∠ABC = 120° হলে, বাকি দুটি কোণ সমান হবে।
∠BAC = ∠BCA = (180° – 120°) / 2 = 30°।
এখানে AB = BC। পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R = 5 সেমি।
ত্রিভুজের সাইন সূত্র অনুযায়ী: AB / sin(30°) = 2R
বা, AB = 2 × 5 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 সেমি।
উত্তর: AB বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি.
(v) A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় C এবং D বিন্দুতে ছেদ করে। A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র B অবস্থিত। ∠CQD = 70° হলে, ∠CPD-এর মান নির্ণয় করি।
B কেন্দ্রীয় বৃত্তে CD চাপের উপর পরিধিস্থ কোণ ∠CQD = 70°।
∴ B কেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ∠CBD = 2 × 70° = 140°।
এখন A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ক্ষেত্রে B, C, D বিন্দুগুলি পরিধির উপর অবস্থিত।
P বিন্দুটিও A কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত, যা C এবং D এর সাথে PCDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ গঠন করে (কারণ P এবং B জ্যা CD-এর বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত)।
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সম্পূরক হয়।
∴ ∠CPD + ∠CBD = 180°
বা, ∠CPD + 140° = 180° ⇒ ∠CPD = 40°।
উত্তর: ∠CPD-এর মান 40°