1. a : b = c : d হলে, দেখাই যে,

ধরি (Let), ab = cd = k (যেখানে k ≠ 0 ধ্রুবক)
∴ a = bk এবং c = dk

(i) (a² + b²) : (a² − b²) = (ac + bd) : (ac − bd)
L.H.S (বামপক্ষ): a² + b²a² − b² = (bk)² + b²(bk)² − b² = b²k² + b²b²k² − b² = b²(k² + 1)b²(k² − 1) = k² + 1k² − 1
R.H.S (ডানপক্ষ): ac + bdac − bd = (bk)(dk) + bd(bk)(dk) − bd = bdk² + bdbdk² − bd = bd(k² + 1)bd(k² − 1) = k² + 1k² − 1
∴ L.H.S = R.H.S (Proved/প্রমাণিত)

(ii) (a² + ab + b²) : (a² − ab + b²) = (c² + cd + d²) : (c² − cd + d²)
L.H.S: a² + ab + b²a² − ab + b² = (bk)² + (bk)b + b²(bk)² − (bk)b + b² = b²k² + b²k + b²b²k² − b²k + b² = b²(k² + k + 1)b²(k² − k + 1) = k² + k + 1k² − k + 1
R.H.S: c² + cd + d²c² − cd + d² = (dk)² + (dk)d + d²(dk)² − (dk)d + d² = d²(k² + k + 1)d²(k² − k + 1) = k² + k + 1k² − k + 1
∴ L.H.S = R.H.S (Proved/প্রমাণিত)

(iii) √(a² + c²) : √(b² + d²) = (pa + qc) : (pb + qd)
L.H.S: √(a² + c²)√(b² + d²) = √{(bk)² + (dk)²}√(b² + d²) = √{k²(b² + d²)}√(b² + d²) = k√(b² + d²)√(b² + d²) = k
R.H.S: pa + qcpb + qd = p(bk) + q(dk)pb + qd = k(pb + qd)pb + qd = k
∴ L.H.S = R.H.S (Proved/প্রমাণিত)

2. x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে,

ধরি (Let), xa = yb = zc = k (k ≠ 0) ∴ x = ak, y = bk, z = ck

(i) x³a² + y³b² + z³c² = (x + y + z)³(a + b + c)²
L.H.S: (ak)³a² + (bk)³b² + (ck)³c² = a³k³a² + b³k³b² + c³k³c² = ak³ + bk³ + ck³ = k³(a + b + c)
R.H.S: (ak + bk + ck)³(a + b + c)² = {k(a + b + c)}³(a + b + c)² = k³(a + b + c)
∴ L.H.S = R.H.S (Proved/প্রমাণিত)

(ii) x³ + y³ + z³a³ + b³ + c³ = xyzabc
L.H.S: (ak)³ + (bk)³ + (ck)³a³ + b³ + c³ = k³(a³ + b³ + c³)a³ + b³ + c³ = k³
R.H.S: (ak)(bk)(ck)abc = k³(abc)abc = k³
∴ L.H.S = R.H.S (Proved/প্রমাণিত)

(iii) (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)²
L.H.S: (a² + b² + c²)((ak)² + (bk)² + (ck)²) = (a² + b² + c²)k²(a² + b² + c²) = k²(a² + b² + c²)²
R.H.S: (a.ak + b.bk + c.ck)² = (a²k + b²k + c²k)² = {k(a² + b² + c²)}² = k²(a² + b² + c²)²
∴ L.H.S = R.H.S (Proved/প্রমাণিত)

3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমাণ করি যে,

ধরি, ab = cd = ef = k (k ≠ 0) ∴ a = bk, c = dk, e = fk

(i) প্রতিটি অনুপাত = 5a − 7c − 13e5b − 7d − 13f
R.H.S: 5(bk) − 7(dk) − 13(fk)5b − 7d − 13f = k(5b − 7d − 13f)(5b − 7d − 13f) = k = প্রতিটি অনুপাত (Proved)

(ii) (a² + c² + e²)(b² + d² + f²) = (ab + cd + ef)²
L.H.S: ((bk)² + (dk)² + (fk)²)(b² + d² + f²) = k²(b² + d² + f²)²
R.H.S: ((bk)b + (dk)d + (fk)f)² = (b²k + d²k + f²k)² = {k(b² + d² + f²)}² = k²(b² + d² + f²)²
∴ L.H.S = R.H.S (Proved)

4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ করি যে,

দেওয়া আছে, ab = bc = k (k ≠ 0) ∴ b = ck, a = bk = (ck)k = ck²

(i) (a + bb + c)² = a² + b²b² + c²
L.H.S: (ck² + ckck + c)² = (ck(k + 1)c(k + 1))² = (k)² = k²
R.H.S: (ck²)² + (ck)²(ck)² + c² = c²k⁴ + c²k²c²k² + c² = c²k²(k² + 1)c²(k² + 1) = k²
∴ L.H.S = R.H.S (Proved)

(ii) a²b²c²(1a³ + 1b³ + 1c³) = a³ + b³ + c³
L.H.S: b²c²a + a²c²b + a²b²c = (ck)²c²ck² + (ck²)²c²ck + (ck²)²(ck)²c
= c⁴k²ck² + c⁴k⁴ck + c⁴k⁶c = c³ + c³k³ + c³k⁶
R.H.S: (ck²)³ + (ck)³ + c³ = c³k⁶ + c³k³ + c³
∴ L.H.S = R.H.S (Proved)

(iii) abc(a + b + c)³(ab + bc + ca)³ = 1
L.H.S: (ck²)(ck)(c)(ck² + ck + c)³{(ck²)(ck) + (ck)(c) + (c)(ck²)}³ = c³k³ {c(k² + k + 1)}³{c²k³ + c²k + c²k²}³
= c³k³ × c³(k² + k + 1)³{c²k(k² + 1 + k)}³ = c⁶k³(k² + k + 1)³c⁶k³(k² + k + 1)³ = 1 = R.H.S (Proved)

5. a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,

a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী ⇒ ab = bc = cd = k ⇒ c=dk, b=dk², a=dk³

(i) (a² + b² + c²)(b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)²
L.H.S: (d²k⁶ + d²k⁴ + d²k²)(d²k⁴ + d²k² + d²) = d²k²(k⁴ + k² + 1) × d²(k⁴ + k² + 1) = d⁴k²(k⁴ + k² + 1)²
R.H.S: {(dk³)(dk²) + (dk²)(dk) + (dk)d}² = (d²k⁵ + d²k³ + d²k)² = {d²k(k⁴ + k² + 1)}² = d⁴k²(k⁴ + k² + 1)²
∴ L.H.S = R.H.S (Proved)

(ii) (b − c)² + (c − a)² + (b − d)² = (a − d)²
L.H.S: (b² − 2bc + c²) + (c² − 2ac + a²) + (b² − 2bd + d²) = a² + 2b² + 2c² + d² − 2bc − 2ac − 2bd
ক্রমিক সমানুপাতীর জন্য b² = ac, c² = bd এবং ad = bc।
= a² + 2(ac) + 2(bd) + d² − 2(ad) − 2ac − 2bd = a² + d² − 2ad = (a − d)² = R.H.S (Proved)

6. প্রমাণ করি যে,

(i) যদি ma = nb হয়, তবে দেখাই যে, (m² + n²)(a² + b²) = (am + bn)²
Solution: ধরি, ma = nb = k ⇒ m = ak, n = bk
L.H.S: ((ak)² + (bk)²)(a² + b²) = k²(a² + b²)² | R.H.S: (a(ak) + b(bk))² = {k(a² + b²)}² = k²(a² + b²)² (Proved)

(ii) যদি ab = xy হয়, তবে দেখাই যে, (a + b)(a² + b²)x³ = (x + y)(x² + y²)a³
Solution: ax = by = k ⇒ a = xk, b = yk
L.H.S: (xk + yk)((xk)² + (yk)²)x³ = k(x + y) × k²(x² + y²) × x³ = k³(x + y)(x² + y²)x³ = R.H.S (Proved)

(iii) যদি xlm − n² = ymn − l² = znl − m² হয়, তবে দেখাই যে, lx + my + nz = 0
Solution: ধরি অনুপাত = k ⇒ x = k(lm − n²), y = k(mn − l²), z = k(nl − m²)
L.H.S: l{k(lm − n²)} + m{k(mn − l²)} + n{k(nl − m²)} = k(l²m − ln² + m²n − ml² + n²l − nm²) = k(0) = 0 (Proved)

(iv) যদি xb + c − a = yc + a − b = za + b − c হয়, তবে দেখাই যে, (b − c)x + (c − a)y + (a − b)z = 0
Solution: ধরি অনুপাত = k ⇒ x = k(b + c − a), y = k(c + a − b), z = k(a + b − c)
L.H.S: (b − c)k(b + c − a) + (c − a)k(c + a − b) + (a − b)k(a + b − c) = k[b² − c² − ab + ac + c² − a² − bc + ab + a² − b² − ac + bc] = k(0) = 0 (Proved)

(v) xy = a + 2a − 2 হলে, দেখাই যে, x² − y²x² + y² = 4aa² + 4
Solution: x²y² = (a + 2)²(a − 2)² ⇒ যোগভাগ করে (Componendo-Dividendo), x² + y²x² − y² = 2(a² + 4)4a × 2 = a² + 44a ⇒ x² − y²x² + y² = 4aa² + 4 (Proved)

(vi) x = 8aba + b হলে, x + 4ax − 4a + x + 4bx − 4b -এর মান হিসাব করে লিখি।
Solution: x4a = 2ba + b ⇒ x + 4ax − 4a = a + 3bb − a
x4b = 2aa + b ⇒ x + 4bx − 4b = 3a + ba − b
যোগ করে, -(a + 3b)a − b + 3a + ba − b = 2a − 2ba − b = 2.
Answer (উত্তর): 2

7. প্রমাণ করি যে,

(i) a3 = b4 = c7 হলে, দেখাই যে, a + b + cc = 2
Solution: ধরি a3 = b4 = c7 = k ⇒ a=3k, b=4k, c=7k। L.H.S = 14k7k = 2 = R.H.S (Proved)

(ii) aq − r = br − p = cp − q হলে, দেখাই যে, a + b + c = 0 = pa + qb + rc
Solution: ধরি অনুপাত = k। a=k(q-r), b=k(r-p), c=k(p-q)। a+b+c = k(0) = 0। pa+qb+rc = k(pq-pr+qr-pq+pr-qr) = 0 (Proved)

(iii) ax + bya = bx − ayb হলে, দেখাই যে প্রতিটি অনুপাত x-এর সমান।
Solution: বজ্রগুণন করে (Cross multiply), b(ax+by) = a(bx-ay) ⇒ b²y + a²y = 0 ⇒ y(a²+b²) = 0 ⇒ y=0। প্রথম অনুপাতে বসালে axa = x (Proved)

8. প্রমাণ করি যে,

(i) যদি a + bb + c = c + dd + a হয়, তবে c = a অথবা a + b + c + d = 0
Solution: বজ্রগুণন করে (Cross multiply), (a+b)(d+a) = (b+c)(c+d) ⇒ ad+a²+bd+ab = bc+bd+c²+cd ⇒ a²-c²+ab-bc+ad-cd=0 ⇒ (a-c)(a+c) + b(a-c) + d(a-c) = 0 ⇒ (a-c)(a+b+c+d)=0 ∴ a=c অথবা a+b+c+d=0 (Proved)

(ii) যদি xb + c = yc + a = za + b হয়, দেখাই যে, ay + z − x = bz + x − y = cx + y − z
Solution: ধরি অনুপাত = k। ১ম অংশ = ak(c+a+a+b-b-c) = a2ak = 12k। একইভাবে বাকিগুলো 12k হবে। (Proved)

(iii) x + y3a − b = y + z3b − c = z + x3c − a হলে, দেখাই যে, x + y + za + b + c = ax + by + cza² + b² + c²
Solution: ধরি অনুপাত = k। যোগ করে, 2(x+y+z) = k(2a+2b+2c) ⇒ x+y+z = k(a+b+c) ⇒ L.H.S = k। z = k(a+b+c) − k(3a−b) = k(−2a+2b+c)। R.H.S-এ মান বসালে k পাওয়া যায়। (Proved)

(iv) xa = yb = zc হলে, দেখাই যে, x² − yza² − bc = y² − zxb² − ca = z² − xyc² − ab
Solution: x=ak, y=bk, z=ck। ১ম অংশ = k²(a²−bc)a²−bc = k²। বাকিগুলোও k² হবে। (Proved)

9. প্রমাণ করি যে,

(i) যদি 3x + 4y3u + 4v = 3x − 4y3u − 4v হয়, তবে দেখাই যে xy = uv
Solution: একান্তর করে (Alternando), 3x+4y3x−4y = 3u+4v3u−4v ⇒ যোগভাগ করে (Componendo-Dividendo), 6x8y = 6u8v ⇒ xy = uv (Proved)

(ii) (a + b + c + d) : (a + b − c − d) = (a − b + c − d) : (a − b − c + d) হলে, a : b = c : d
Solution: যোগভাগ করে (Componendo-Dividendo), 2(a+b)2(c+d) = 2(a−b)2(c−d) ⇒ একান্তর করে, a+ba−b = c+dc−d ⇒ আবারও যোগভাগ করে, 2a2b = 2c2d ⇒ ab = cd (Proved)

10. প্রমাণ করি যে,

(i) a²b + c = b²c + a = c²a + b = 1 হলে, দেখাই যে, 11 + a + 11 + b + 11 + c = 1
Solution: a² = b+c ⇒ a²+a = a+b+c ⇒ a(a+1) = a+b+c ⇒ 11+a = aa+b+c। একইভাবে বাকিগুলো। যোগফল = a+b+ca+b+c = 1 (Proved)

(ii) x² : (by + cz) = y² : (cz + ax) = z² : (ax + by) = 1 হলে, দেখাই যে, aa + x + bb + y + cc + z = 1
Solution: x² = by+cz ⇒ x²+ax = ax+by+cz ⇒ x(a+x) = ax+by+cz ⇒ aa+x = axax+by+cz। একইভাবে বাকিগুলো। যোগফল = ax+by+czax+by+cz = 1 (Proved)

11. প্রমাণ করি যে,

(i) xxa + yb + zc = yya + zb + xc = zza + xb + yc এবং x + y + z ≠ 0 হলে, প্রতিটি অনুপাত 1a + b + c
Solution: সংযোজন করে (By Addendo), = x+y+z(x+y+z)(a+b+c) = 1a+b+c (Proved)

(ii) x² − yza = y² − zxb = z² − xyc হলে, (a + b + c)(x + y + z) = ax + by + cz
Solution: ধরি অনুপাত = k ⇒ a = k(x²-yz), b = k(y²-zx), c = k(z²-xy)। L.H.S = k(x³+y³+z³-3xyz), R.H.S = k(x³+y³+z³-3xyz)। (Proved)

(iii) ay + z = bz + x = cx + y হলে, a(b − c)y² − z² = b(c − a)z² − x² = c(a − b)x² − y²
Solution: a=k(y+z), b=k(z+x), c=k(x+y)। ১ম অংশ = k(y+z)[k(z+x)-k(x+y)](y+z)(y-z) = -k²(y-z)y-z = -k²। বাকিগুলোও -k² হবে। (Proved)

12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) M.C.Q:
(i) 3, 4 এবং 6-এর চতুর্থ সমানুপাতী: 3/4 = 6/x ⇒ x=8 → (a) 8
(ii) 8 এবং 12-এর তৃতীয় সমানুপাতী: 8/12 = 12/x ⇒ 8x=144 ⇒ x=18 → (c) 18
(iii) 16 এবং 25-এর মধ্য সমানুপাতী: √(16×25) = √400 = 20 → (c) 20
(iv) a : 2764 = 34 : a হলে, a-এর মান: a² = 81/256 ⇒ a=9/16 → (c) 9/16
(v) 2a = 3b = 4c হলে, a : b : c হবে: a=k/2, b=k/3, c=k/4 ⇒ 6:4:3 → (d) 6 : 4 : 3

(B) True/False:
(i) ab : c², bc : a² এবং ca : b² -এর যৌগিক অনুপাত 1 : 1 → True (সত্য)
(ii) x³y, x²y² এবং xy³ ক্রমিক সমানুপাতী। → (x²y²)² = x⁴y⁴ = (x³y)(xy³) → True (সত্য)

(C) Fill in the blanks:
(i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 64 হলে, মধ্যসমানুপাতী 4 (যেহেতু b³=64)
(ii) a:2 = b:5 = c:8 হলে a-এর 50% = b-এর 20% = c-এর 12.5 % (যেহেতু 8k × x/100 = k ⇒ x=12.5)
(iii) (x+2) এবং (x-3) এর মধ্য সমানুপাতী x হলে, x-এর মান −6 (যেহেতু x² = x²-x-6)

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) a2 = b3 = c4 = 2a − 3b + 4cp হলে, p = ?
Solution: ধরি অনুপাত = k ⇒ a=2k, b=3k, c=4k। 2(2k)−3(3k)+4(4k)p = k ⇒ 11kp = k ⇒ p = 11। (Answer: 11)

(ii) 3x − 5y3x + 5y = 12 হলে, 3x² − 5y²3x² + 5y² = ?
Solution: বজ্রগুণন করে 6x – 10y = 3x + 5y ⇒ 3x = 15y ⇒ x/y = 5/1। রাশি = 3(25)−5(1)3(25)+5(1) = 7080 = 7/8। (Answer: 7/8)

(iii) a : b = 3 : 4 এবং x : y = 5 : 7 হলে, (3ax − by) : (4by − 7ax) = ?
Solution: ax/by = (3/4)×(5/7) = 15/28। অনুপাত = 3(15/28)−14−7(15/28) = 17/287/28 = 17:7। (Answer: 17:7)

(iv) x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী হলে, x ও y-এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি।
Solution: x/12 = 12/y = y/27। 12/y = y/27 ⇒ y² = 324 ⇒ y = 18। x/12 = 12/18 ⇒ x = 8। (Answer: x=8, y=18)

(v) a : b = 3 : 2 এবং b : c = 3 : 2 হলে, a + b : b + c = ?
Solution: a/b=9/6, b/c=6/4 ⇒ a:b:c = 9:6:4 ⇒ (9+6):(6+4) = 15:10 = 3:2। (Answer: 3:2)