WBBSE Class 8 Math Solution

Ganit Prabha VIII solution

কষে দেখি 5.1 সমাধান

ঘনফল নির্ণয়

WBBSE Class 8 Chapter 5 Solution

1. দুটি ঘনক তৈরি করি যার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি. ও 1 সেমি.।
কতগুলি 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট ঘনক জুড়ে এই বড়ো ঘনক পাব হিসাব করে লিখি।[cite: 23]

সমাধান:
বড়ো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 5 সেমি.
বড়ো ঘনকের আয়তন (ঘনফল) = (বাহু)³ = (5)³ ঘন সেমি. = 5 × 5 × 5 ঘন সেমি. = 125 ঘন সেমি.

ছোটো ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 সেমি.
ছোটো ঘনকের আয়তন (ঘনফল) = (1)³ ঘন সেমি. = 1 × 1 × 1 ঘন সেমি. = 1 ঘন সেমি.

বড়ো ঘনকটি তৈরি করতে 1 সেমি. বাহুবিশিষ্ট ছোটো ঘনক লাগবে = (বড়ো ঘনকের আয়তন) ÷ (ছোটো ঘনকের আয়তন)
= 125 ÷ 1 = 125 টি
উত্তর: 125 টি 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট ঘনক জুড়ে ওই বড়ো ঘনক পাব।

2. সুমন্ত অনেকগুলি 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট ঘনক তৈরি করেছে। মনামী সেই ঘনকগুলি জোড়া লাগিয়ে বড়ো ঘনক তৈরির চেষ্টা করছে। হিসাব করে দেখি নীচের কোন সংখ্যক ঘনকের ক্ষেত্রে মনামী বড়ো ঘনক তৈরি করতে পারবে।
(i) 100   (ii) 1000   (iii) 1331   (iv) 1210   (v) 3375   (vi) 2700[cite: 23]

সমাধান:
ছোট ঘনকগুলি জুড়ে বড় ঘনক তৈরি করতে হলে, ছোট ঘনকের মোট সংখ্যাটিকে একটি পূর্ণঘন সংখ্যা (Perfect Cube) হতে হবে।
সুতরাং আমাদের দেখতে হবে কোন সংখ্যাগুলি পূর্ণঘন সংখ্যা।

(i) 100 = 10 × 10 = 10² (এটি পূর্ণবর্গ, পূর্ণঘন নয়। 4³=64, 5³=125)
(ii) 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³ (পূর্ণঘন সংখ্যা)
(iii) 1331 = 11 × 11 × 11 = 11³ (পূর্ণঘন সংখ্যা)
(iv) 1210 = 11 × 11 × 10 (পূর্ণঘন নয়)
(v) 3375 = 15 × 15 × 15 = 15³ (পূর্ণঘন সংখ্যা। 3375 এর উৎপাদক: 5×5×5×3×3×3)
(vi) 2700 = 27 × 100 = 3³ × 10² (পূর্ণঘন নয়)

যেহেতু 1000, 1331 এবং 3375 হলো পূর্ণঘন সংখ্যা,
উত্তর: মনামী (ii) 1000, (iii) 1331 এবং (v) 3375 সংখ্যক ঘনকের ক্ষেত্রে বড়ো ঘনক তৈরি করতে পারবে।

3. নীচের সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনটি পূর্ণঘন সংখ্যা নয় লিখি।
(i) 216   (ii) 343   (iii) 1024   (iv) 324   (v) 1744   (vi) 1372[cite: 23]

সমাধান:
আমরা সংখ্যাগুলিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে দেখব সেগুলি পূর্ণঘন কি না (উৎপাদকগুলো 3 এর গুণিতকে থাকতে হবে)।

(i) 216 = 6 × 6 × 6 = 6³ (পূর্ণঘন সংখ্যা)
(ii) 343 = 7 × 7 × 7 = 7³ (পূর্ণঘন সংখ্যা)
(iii) 1024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2¹⁰ = (2³)³ × 2 (পূর্ণঘন সংখ্যা নয়)
(iv) 324 = 18 × 18 = 2 × 3 × 3 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3⁴ (পূর্ণঘন সংখ্যা নয়)
(v) 1744 = 16 × 109 = 2⁴ × 109 (পূর্ণঘন সংখ্যা নয়)
(vi) 1372 = 4 × 343 = 2² × 7³ (পূর্ণঘন সংখ্যা নয়)

উত্তর: প্রদত্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে (iii) 1024, (iv) 324, (v) 1744 এবং (vi) 1372 পূর্ণঘন সংখ্যা নয়।

4. দেবনাথ একটি আয়তঘন তৈরি করেছে যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 4 সেমি., 3 সেমি., ও 3 সেমি.। হিসাব করে দেখি এইরকম কতগুলি আয়তঘন জুড়ে দেবনাথ ঘনক তৈরি করতে পারবে।[cite: 23]

সমাধান:
একটি আয়তঘনের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= 4 × 3 × 3 ঘন সেমি.
= 2 × 2 × 3 × 3 ঘন সেমি।

আয়তঘনগুলি জুড়ে একটি ঘনক তৈরি করতে হলে, মোট আয়তনকে একটি পূর্ণঘন সংখ্যা (Perfect Cube) হতে হবে।
এখানে আয়তঘনের আয়তনে দুটি 2 এবং দুটি 3 আছে (2² × 3²)।
একে পূর্ণঘন সংখ্যা করতে হলে কমপক্ষে আরও একটি 2 এবং একটি 3 দিয়ে গুণ করতে হবে। অর্থাৎ 2 × 3 = 6 দিয়ে গুণ করতে হবে।

তাহলে মোট আয়তন হবে: (2² × 3²) × 6 = (2² × 3²) × (2 × 3) = 2³ × 3³ = (2 × 3)³ = 6³ = 216 ঘন সেমি (যা একটি পূর্ণঘন সংখ্যা)।
সুতরাং, এইরকম আরও 6 টি আয়তঘন লাগবে।
উত্তর: এইরকম 6 টি আয়তঘন জুড়ে দেবনাথ ঘনক তৈরি করতে পারবে।

5. নীচের সংখ্যাগুলিকে ক্ষুদ্রতম কোন ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে হিসাব করে লিখি।[cite: 23]
(i) 675   (ii) 200   (iii) 108   (iv) 121   (v) 1225

সমাধান:
(i) 675
675 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: 675 = 3 × 225 = 3 × 3 × 75 = 3 × 3 × 3 × 25 = 3³ × 5²
একে পূর্ণঘন করতে হলে 5³ দরকার। তাই আরও একটি 5 দিয়ে গুণ করতে হবে।
উত্তর: ক্ষুদ্রতম 5 দিয়ে গুণ করতে হবে।

(ii) 200
200 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: 200 = 2 × 100 = 2 × 2 × 50 = 2 × 2 × 2 × 25 = 2³ × 5²
একে পূর্ণঘন করতে হলে 5³ দরকার। তাই আরও একটি 5 দিয়ে গুণ করতে হবে।
উত্তর: ক্ষুদ্রতম 5 দিয়ে গুণ করতে হবে।

(iii) 108
108 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: 108 = 2 × 54 = 2 × 2 × 27 = 2² × 3³
একে পূর্ণঘন করতে হলে 2³ দরকার। তাই আরও একটি 2 দিয়ে গুণ করতে হবে।
উত্তর: ক্ষুদ্রতম 2 দিয়ে গুণ করতে হবে।

(iv) 121
121 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: 121 = 11 × 11 = 11²
একে পূর্ণঘন করতে হলে 11³ দরকার। তাই আরও একটি 11 দিয়ে গুণ করতে হবে।
উত্তর: ক্ষুদ্রতম 11 দিয়ে গুণ করতে হবে।

(v) 1225
1225 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: 1225 = 5 × 245 = 5 × 5 × 49 = 5² × 7²
একে পূর্ণঘন করতে হলে 5³ × 7³ দরকার। তাই একটি 5 এবং একটি 7 (অর্থাৎ 5 × 7 = 35) দিয়ে গুণ করতে হবে।
উত্তর: ক্ষুদ্রতম 35 দিয়ে গুণ করতে হবে।

6. নীচের সংখ্যাগুলিকে ক্ষুদ্রতম কোন ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন সংখ্যা হবে হিসাব করে লিখি।[cite: 23]
(i) 7000   (ii) 2662   (iii) 4394   (iv) 6750   (v) 675

সমাধান:
(i) 7000
7000 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: 7000 = 7 × 1000 = 7 × 10³ = 7 × (2 × 5)³ = 7 × 2³ × 5³
যেহেতু 2³ এবং 5³ পূর্ণঘন, তাই অতিরিক্ত 7 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন হবে।
উত্তর: ক্ষুদ্রতম 7 দিয়ে ভাগ করতে হবে।

(ii) 2662
2662 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: 2662 = 2 × 1331 = 2 × 11³
যেহেতু 11³ পূর্ণঘন, তাই অতিরিক্ত 2 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন হবে।
উত্তর: ক্ষুদ্রতম 2 দিয়ে ভাগ করতে হবে।

(iii) 4394
4394 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: 4394 = 2 × 2197 = 2 × 13³
যেহেতু 13³ পূর্ণঘন, তাই অতিরিক্ত 2 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন হবে।
উত্তর: ক্ষুদ্রতম 2 দিয়ে ভাগ করতে হবে।

(iv) 6750
6750 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: 6750 = 10 × 675 = 2 × 5 × (3³ × 5²) = 2 × 3³ × 5³
যেহেতু 3³ এবং 5³ পূর্ণঘন, তাই অতিরিক্ত 2 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন হবে।
উত্তর: ক্ষুদ্রতম 2 দিয়ে ভাগ করতে হবে।

(v) 675
675 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: 675 = 3³ × 5²
যেহেতু 3³ পূর্ণঘন, তাই অতিরিক্ত 5² অর্থাৎ 25 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণঘন হবে।
উত্তর: ক্ষুদ্রতম 25 দিয়ে ভাগ করতে হবে।

7. নীচের পূর্ণঘনসংখ্যাগুলি মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি ও ঘনমূল লিখি।[cite: 23]
(i) 512   (ii) 1728   (iii) 5832   (iv) 15625   (v) 10648

সমাধান:
(i) 512
512 এর মৌলিক উৎপাদক: 512 = 2 × 256 = 2 × 2 × 128 = 2 × 2 × 2 × 64 = 2³ × 4³ = 2³ × (2²)³ = 2³ × 2⁶ = 2⁹ = (2³)³ = 8³
ঘনমূল: ³√512 = ³√(8³) = 8

(ii) 1728
1728 এর মৌলিক উৎপাদক: 1728 = 2 × 864 = 2 × 2 × 432 = 2 × 2 × 2 × 216 = 2³ × 6³ = 2³ × (2 × 3)³ = 2³ × 2³ × 3³ = 2⁶ × 3³ = (2² × 3)³ = (4 × 3)³ = 12³
ঘনমূল: ³√1728 = ³√(12³) = 12

(iii) 5832
5832 এর মৌলিক উৎপাদক: 5832 = 2 × 2916 = 2 × 2 × 1458 = 2 × 2 × 2 × 729 = 2³ × 9³ = 2³ × (3²)³ = 2³ × 3⁶ = (2 × 3²)³ = (2 × 9)³ = 18³
ঘনমূল: ³√5832 = ³√(18³) = 18

(iv) 15625
15625 এর মৌলিক উৎপাদক: 15625 = 5 × 3125 = 5 × 5 × 625 = 5 × 5 × 5 × 125 = 5³ × 5³ = 5⁶ = (5²)³ = 25³
ঘনমূল: ³√15625 = ³√(25³) = 25

(v) 10648
10648 এর মৌলিক উৎপাদক: 10648 = 2 × 5324 = 2 × 2 × 2662 = 2 × 2 × 2 × 1331 = 2³ × 11³ = (2 × 11)³ = 22³
ঘনমূল: ³√10648 = ³√(22³) = 22