WBBSE Class 8 Math Solution || Ganit Prabha VIII solution || কষে দেখি 5.3 সমাধান || ঘনফল নির্ণয় || WBBSE Class 8 Chapter 5 Solution
Table of Contents/সুচিপত্র
ToggleWBBSE Class 8 Math Solution
Ganit Prabha VIII solution
কষে দেখি 5.3 সমাধান
ঘনফল নির্ণয়
WBBSE Class 8 Chapter 5 Solution
1. ফাঁকা ঘরে বুঝে লিখি :[cite: 21]
| নং | প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালা | দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা | অভেদের সাহায্যে গুণফল (a³±b³) |
|---|---|---|---|
| (i) | x + 9 | x² – 9x + 81 |
= (x)³ + (9)³ = x³ + 729 |
| (ii) | 2a – 1 |
(2a)² + (2a)(1) + (1)² = 4a² + 2a + 1 |
8a³ – 1 = (2a)³ – (1)³ |
| (iii) | 3 – 5c |
(3)² + (3)(5c) + (5c)² = 9 + 15c + 25c² |
27 – 125c³ = (3)³ – (5c)³ |
| (iv) | (a + b + c) | (a + b)² – (a + b)c + c² | (a + b)³ + c³ |
| (v) |
3x [(2x-1) + (x+1) = 3x] |
(2x – 1)² – (2x – 1)(x + 1) + (x + 1)² | (2x – 1)³ + (x + 1)³ |
| (vi) | x y + 1 | x² y² – x y + 1 | x³ y³ + 1 |
| (vii) | 4a – 5b | 16a² + 20ab + 25b² |
= (4a)³ – (5b)³ = 64a³ – 125b³ |
| (viii) | ab – cd | a²b² + abcd + c²d² | a³b³ – c³d³ |
| (ix) | 1 – 4y |
(1)² + (1)(4y) + (4y)² = 1 + 4y + 16y² |
1 – 64y³ = (1)³ – (4y)³ |
| (x) | (2p + 1) [=(2p-6) + 7] |
(2p – 6)² – (2p – 6)(7) + 7² = (4p² – 24p + 36) – 14p + 42 + 49 = 4p² – 38p + 127 |
8(p – 3)³ + 343 = (2p – 6)³ + (7)³ |
| (xi) | (m – p) [=(m+n) – (n+p)] |
(m + n)² + (m + n)(n + p) + (n + p)² | (m + n)³ – (n + p)³ |
| (xii) | (3a – 2b)² + (3a – 2b)(2a – 3b) + (2a – 3b)² | (a + b) [=(3a-2b) – (2a-3b)] |
(3a – 2b)³ – (2a – 3b)³ |
2. সরল করি [সূত্রের সাহায্যে] :[cite: 21]
(i) (a + b)(a – b)(a² + ab + b²)(a² – ab + b²)
সমাধান:
সাজিয়ে লিখি:
= (a – b)(a² + ab + b²) × (a + b)(a² – ab + b²)
= (a³ – b³) × (a³ + b³)
= (a³)² – (b³)²
= a⁶ – b⁶
(ii) (a – 2b)(a² + 2ab + 4b²)(a³ + 8b³)
সমাধান:
= { (a) – (2b) }{ (a)² + (a)(2b) + (2b)² } × (a³ + 8b³)
= { (a)³ – (2b)³ } × (a³ + 8b³)
= (a³ – 8b³)(a³ + 8b³)
= (a³)² – (8b³)²
= a⁶ – 64b⁶
(iii) (4a² – 9)(4a² – 6a + 9)(4a² + 6a + 9)
সমাধান:
= (2a – 3)(2a + 3)(4a² – 6a + 9)(4a² + 6a + 9)
সাজিয়ে লিখি:
= (2a – 3)(4a² + 6a + 9) × (2a + 3)(4a² – 6a + 9)
= { (2a)³ – (3)³ } × { (2a)³ + (3)³ }
= (8a³ – 27)(8a³ + 27)
= (8a³)² – (27)²
= 64a⁶ – 729
(iv) (x – y)(x² + xy + y²) + (y – z)(y² + yz + z²) + (z – x)(z² + zx + x²)
সমাধান:
সূত্রের সাহায্যে গুণ করে পাই:
= (x³ – y³) + (y³ – z³) + (z³ – x³)
= x³ – y³ + y³ – z³ + z³ – x³
= 0
(v) (x + 1)(x² – x + 1) + (2x – 1)(4x² + 2x + 1) – (x – 1)(x² + x + 1)
সমাধান:
সূত্রের সাহায্যে গুণ করে পাই:
= (x³ + 1³) + { (2x)³ – 1³ } – (x³ – 1³)
= (x³ + 1) + (8x³ – 1) – (x³ – 1)
= x³ + 1 + 8x³ – 1 – x³ + 1
= 8x³ + 1
3. x +
1
x
= -1 হলে (x³ – 1) -এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।[cite: 22]
সমাধান:
দেওয়া আছে, x +
1
x
= -1
বা,
x² + 1
x
= -1
বা, x² + 1 = -x
বা, x² + x + 1 = 0
প্রদত্ত রাশি = (x³ – 1)
= (x – 1)(x² + x + 1)
= (x – 1) × 0 [যেহেতু x² + x + 1 = 0]
= 0
উত্তর: 0
4. a +
9
a
= 3 হলে (a³ + 27) -এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।[cite: 22]
সমাধান:
দেওয়া আছে, a +
9
a
= 3
বা,
a² + 9
a
= 3
বা, a² + 9 = 3a
বা, a² – 3a + 9 = 0
প্রদত্ত রাশি = (a³ + 27)
= (a)³ + (3)³
= (a + 3)(a² – 3a + 9)
= (a + 3) × 0 [যেহেতু a² – 3a + 9 = 0]
= 0
উত্তর: 0
5.
a
b
+
b
a
= 1 হলে (a³ + b³) -এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।[cite: 22]
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a
b
+
b
a
= 1
বা,
a² + b²
ab
= 1
বা, a² + b² = ab
বা, a² – ab + b² = 0
প্রদত্ত রাশি = a³ + b³
= (a + b)(a² – ab + b²)
= (a + b) × 0
= 0
উত্তর: 0
6. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।[cite: 22]
(i) 1000a³ + 27b⁶
সমাধান:
= (10a)³ + (3b²)³
= (10a + 3b²){(10a)² – (10a)(3b²) + (3b²)²}
= (10a + 3b²)(100a² – 30ab² + 9b⁴)
(ii) 1 – 216z³
সমাধান:
= (1)³ – (6z)³
= (1 – 6z){(1)² + (1)(6z) + (6z)²}
= (1 – 6z)(1 + 6z + 36z²)
(iii) m⁴ – m
সমাধান:
= m(m³ – 1)
= m{(m)³ – (1)³}
= m(m – 1)(m² + m + 1)
(iv) 192a³ + 3
সমাধান:
= 3(64a³ + 1)
= 3{(4a)³ + (1)³}
= 3(4a + 1){(4a)² – (4a)(1) + (1)²}
= 3(4a + 1)(16a² – 4a + 1)
(v) 16a⁴x³ + 54ay³
সমাধান:
= 2a(8a³x³ + 27y³)
= 2a{(2ax)³ + (3y)³}
= 2a(2ax + 3y){(2ax)² – (2ax)(3y) + (3y)²}
= 2a(2ax + 3y)(4a²x² – 6axy + 9y²)
(vi) 729a³b³c³ – 125
সমাধান:
= (9abc)³ – (5)³
= (9abc – 5){(9abc)² + (9abc)(5) + (5)²}
= (9abc – 5)(81a²b²c² + 45abc + 25)
(vii)
27
a³
–
1
27b³
সমাধান:
= (
3
a
)³ – (
1
3b
)³
= (
3
a
–
1
3b
) (
9
a²
+
1
ab
+
1
9b²
)
(viii)
x³
64
–
64
x³
সমাধান:
= (
x
4
)³ – (
4
x
)³
= (
x
4
–
4
x
) (
x²
16
+ 1 +
16
x²
)
(ix) x³ + 3x²y + 3xy² + 2y³
সমাধান:
= (x³ + 3x²y + 3xy² + y³) + y³
= (x + y)³ + (y)³
= (x + y + y) { (x + y)² – (x + y)y + y² }
= (x + 2y) { x² + 2xy + y² – xy – y² + y² }
= (x + 2y)(x² + xy + y²)
(x) 1 + 9x + 27x² + 28x³
সমাধান:
= 1³ + 3·1²·(3x) + 3·1·(3x)² + (3x)³ + x³
= (1 + 3x)³ + (x)³
= (1 + 3x + x) { (1 + 3x)² – (1 + 3x)x + x² }
= (1 + 4x) { (1 + 6x + 9x²) – (x + 3x²) + x² }
= (1 + 4x) (1 + 6x + 9x² – x – 3x² + x²)
= (1 + 4x)(7x² + 5x + 1)
(xi) x³ – 9y³ – 3xy(x – y)
সমাধান:
= x³ – y³ – 3xy(x – y) – 8y³
= (x – y)³ – (2y)³
= { (x – y) – 2y } { (x – y)² + (x – y)(2y) + (2y)² }
= (x – 3y) { x² – 2xy + y² + 2xy – 2y² + 4y² }
= (x – 3y)(x² + 3y²)
(xii) 8 – a³ + 3a²b – 3ab² + b³
সমাধান:
= 8 – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)
= 2³ – (a – b)³
= { 2 – (a – b) } { 2² + 2(a – b) + (a – b)² }
= (2 – a + b)(4 + 2a – 2b + a² – 2ab + b²)
(xiii) x⁶ + 3x⁴b² + 3x²b⁴ + b⁶ + a³b³
সমাধান:
= (x²)³ + 3(x²)²(b²) + 3(x²)(b²)² + (b²)³ + (ab)³
= (x² + b²)³ + (ab)³
= (x² + b² + ab) { (x² + b²)² – ab(x² + b²) + (ab)² }
= (x² + ab + b²)(x⁴ + 2x²b² + b⁴ – abx² – ab³ + a²b²)
(xiv) x⁶ + 27
সমাধান:
= (x²)³ + (3)³
= (x² + 3)(x⁴ – 3x² + 9)
(xv) x⁶ – y⁶
সমাধান:
= (x³)² – (y³)²
= (x³ – y³)(x³ + y³)
= (x – y)(x² + xy + y²)(x + y)(x² – xy + y²)
(xvi) x¹² – y¹²
সমাধান:
= (x⁶)² – (y⁶)²
= (x⁶ – y⁶)(x⁶ + y⁶)
= (x³ – y³)(x³ + y³) { (x²)³ + (y²)³ }
= (x – y)(x² + xy + y²)(x + y)(x² – xy + y²)(x² + y²)(x⁴ – x²y² + y⁴)
(xvii) m³ – n³ – m(m² – n²) + n(m – n)²
সমাধান:
= (m – n)(m² + mn + n²) – m(m – n)(m + n) + n(m – n)²
= (m – n) { (m² + mn + n²) – m(m + n) + n(m – n) }
= (m – n) { m² + mn + n² – m² – mn + mn – n² }
= (m – n) { mn }
= mn(m – n)