Table of Contents/সুচিপত্র
ToggleWBBSE Class 10 Math Solution || Ganit Prakash Class X solution || কষে দেখি 25 সমাধান || উচ্চতা ও দূরত্ব || WBBSE Class 10 Chapter 25 Solution
Welcome to the WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution. In this comprehensive guide, we provide detailed, step-by-step answers for Ganit Prakash Class X, Chapter 25, focusing on Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances (উচ্চতা ও দূরত্ব). This WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution is carefully designed to help students prepare effectively for their Madhyamik examination. If you are looking for accurate calculations, this WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution is perfect for you. For official syllabus references related to the WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution, visit the official WBBSE website.
WBBSE Class 10 Math Solution
Ganit Prakash Class X solution
কষে দেখি 25 সমাধান
উচ্চতা ও দূরত্ব (Heights & Distances)
WBBSE Class 10 Chapter 25 Solution
প্রয়োজনীয় ধারণা ও নিয়ম:
- উন্নতি কোণ (Angle of Elevation): দর্শক যখন ওপরের কোনো বস্তুকে দেখেন, তখন দৃষ্টিরেখা অণুভূমিক রেখার সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে।
- অবনতি কোণ (Angle of Depression): দর্শক যখন নীচের কোনো বস্তুকে দেখেন, তখন দৃষ্টিরেখা অণুভূমিক রেখার সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে।
- সাধারণত অংক সমাধানের ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ ধরে নিয়ে tan θ, sin θ বা cos θ এর সূত্র ব্যবহৃত হয়।
1. একটি নারকেল গাছের গোড়া থেকে অণুভূমিক তলে 20 মিটার দূরের একটি বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ যদি 60° হয়, তাহলে গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
(Part of WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution)
ধরি, নারকেল গাছের উচ্চতা AB = h মিটার।
গাছের গোড়া (B) থেকে 20 মিটার দূরে অবস্থিত বিন্দুটি হলো C।
∴ BC = 20 মিটার।
C বিন্দু থেকে গাছটির অগ্রভাগ A-এর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 60° = লম্ব (AB)ভূমি (BC)
বা, √3 = h20
বা, h = 20√3 মিটার।
উত্তর: গাছটির উচ্চতা 20√3 মিটার।
2. সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30° তখন একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য 9 মিটার হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
ধরি, স্তম্ভটির উচ্চতা AB = h মিটার।
স্তম্ভটির ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 9 মিটার।
C বিন্দু থেকে সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = 30°।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 30° = লম্ব (AB)ভূমি (BC)
বা, 1√3 = h9
বা, √3 h = 9
বা, h = 9√3 = 3 × 3√3 = 3 × √3 × √3√3 = 3√3 মিটার।
উত্তর: স্তম্ভটির উচ্চতা 3√3 মিটার।
3. 150 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি মাঠ থেকে ঘুড়ি ওড়ানো হয়েছে। ঘুড়িটি যদি অণুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে উড়তে থাকে, তাহলে ঘুড়িটি মাঠ থেকে কত উঁচুতে রয়েছে হিসাব করে লিখি।
ধরি, ঘুড়িটি মাটি থেকে BC = h মিটার উঁচুতে উড়ছে।
সুতোর দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) AB = 150 মিটার।
সুতোটি মাটির (অণুভূমিক রেখা) সঙ্গে 60° কোণ করে আছে, অর্থাৎ ∠BAC = 60°।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
sin 60° = লম্ব (BC)অতিভুজ (AB)
বা, √32 = h150
বা, 2h = 150√3
বা, h = 150√32 = 75√3 মিটার।
উত্তর: ঘুড়িটি মাঠ থেকে 75√3 মিটার উঁচুতে রয়েছে।
4. একটি নদীর একটি পাড়ের একটি তালগাছের সোজাসুজি অপর পাড়ে একটি খুঁটি পুঁতলাম। এবার নদীর পাড় ধরে ওই খুঁটি থেকে 7√3 মিটার সরে গিয়ে দেখছি নদীর পাড়ের পরিপ্রেক্ষিতে গাছটির পাদদেশ 60° কোণে রয়েছে। নদীটি কত মিটার চওড়া নির্ণয় করি।
ধরি, নদীর চওড়া (প্রস্থ) AB = w মিটার।
A বিন্দুতে তালগাছ এবং তার সোজাসুজি অপর পাড়ে B বিন্দুতে খুঁটি অবস্থিত।
খুঁটি (B) থেকে নদীর পাড় ধরে 7√3 মিটার সরে C বিন্দুতে পৌঁছালাম।
∴ BC = 7√3 মিটার।
C বিন্দু থেকে গাছটির পাদদেশ A এর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 60° = লম্ব (AB)ভূমি (BC)
বা, √3 = w7√3
বা, w = √3 × 7√3 = 7 × 3 = 21 মিটার।
উত্তর: নদীটি 21 মিটার চওড়া।
5. ঝড়ে একটি টেলিগ্রাফপোস্ট মাটি থেকে কিছু উপরে মচকে যাওয়ায় তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে 8√3 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করেছে এবং অণুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। পোস্টটি মাটি থেকে কত উপরে মচকে ছিল এবং পোস্টটির উচ্চতা কত ছিল হিসাব করে লিখি।
ধরি, সম্পূর্ণ টেলিগ্রাফ পোস্টটি ছিল AB। এটি D বিন্দুতে মচকে গেছে এবং উপরের ভাঙ্গা অংশ (AD) বাঁকা হয়ে C বিন্দুতে মাটি স্পর্শ করেছে।
∴ মচকানো অংশের দৈর্ঘ্য = AD = CD (ধরি, x মিটার)।
মাটি থেকে যে উচ্চতায় মচকেছে তা হলো BD (ধরি, y মিটার)।
পোস্টটির মোট উচ্চতা = AB = AD + BD = (x + y) মিটার।
দেওয়া আছে, গোড়া থেকে মাটি স্পর্শ করার দূরত্ব BC = 8√3 মিটার।
এবং মাটি স্পর্শ করে উৎপন্ন কোণ ∠DCB = 30°।
সমকোণী ত্রিভুজ DBC থেকে পাই,
tan 30° = লম্ব (BD)ভূমি (BC)
বা, 1√3 = y8√3
বা, y = 8√3√3 = 8 মিটার।
(অর্থাৎ, পোস্টটি 8 মিটার উঁচুতে মচকেছিল।)
আবার, cos 30° = ভূমি (BC)অতিভুজ (CD)
বা, √32 = 8√3x
বা, √3 x = 16√3 ⇒ x = 16 মিটার।
পোস্টটির মোট উচ্চতা = x + y = 16 + 8 = 24 মিটার।
উত্তর: পোস্টটি মাটি থেকে 8 মিটার উপরে মচকে ছিল এবং পোস্টটির মোট উচ্চতা ছিল 24 মিটার।
6. আমাদের পাড়ায় রাস্তার দু-পাশে পরস্পর বিপরীত দিকে দুটি বাড়ি আছে। প্রথম বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে 6 মিটার দূরে একটি মই এর গোড়া রেখে যদি মইটিকে দেয়ালে ঠেকানো যায়, তবে তা অণুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করে। কিন্তু মইটিকে যদি একই জায়গায় রেখে দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালে লাগানো যায়, তাহলে অণুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ উৎপন্ন করে।
(i) মইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
(ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া কত দূরে রয়েছে হিসাব করে লিখি।
(iii) রাস্তাটি কত চওড়া নির্ণয় করি।
(iv) দ্বিতীয় বাড়ির কত উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে নির্ণয় করি।
(Part of WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution)
ধরি, প্রথম বাড়িটি AB এবং দ্বিতীয় বাড়িটি CD। মইটির গোড়া O বিন্দুতে রাখা আছে।
মইটি প্রথম বাড়ির M বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় বাড়ির N বিন্দুতে স্পর্শ করে।
প্রথম বাড়ির ক্ষেত্রে: ∠MOB = 30° এবং গোড়া থেকে দূরত্ব OB = 6 মিটার।
দ্বিতীয় বাড়ির ক্ষেত্রে: ∠NOD = 60°।
মইটির দৈর্ঘ্য OM = ON (ধরি, x মিটার)।
(i) মইটির দৈর্ঘ্য:
সমকোণী ত্রিভুজ MOB থেকে পাই,
cos 30° = ভূমি (OB)অতিভুজ (OM)
বা, √32 = 6OM
বা, √3 OM = 12 ⇒ OM = 12√3 = 4 × 3√3 = 4√3 মিটার।
∴ মইটির দৈর্ঘ্য = 4√3 মিটার।
(ii) দ্বিতীয় বাড়ির গোড়া থেকে মইয়ের দূরত্ব:
মইয়ের দৈর্ঘ্য ON = OM = 4√3 মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ NOD থেকে পাই,
cos 60° = ভূমি (OD)অতিভুজ (ON)
বা, 12 = OD4√3
বা, 2 OD = 4√3 ⇒ OD = 2√3 মিটার।
∴ দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া 2√3 মিটার দূরে রয়েছে।
(iii) রাস্তাটির চওড়া:
রাস্তাটি হলো BD = OB + OD = 6 + 2√3 = 2(3 + √3) মিটার চওড়া।
(iv) দ্বিতীয় বাড়ির কত উঁচুতে মইটি স্পর্শ করবে:
সমকোণী ত্রিভুজ NOD থেকে পাই,
sin 60° = লম্ব (ND)অতিভুজ (ON)
বা, √32 = ND4√3
বা, 2 ND = 4√3 × √3 = 12
বা, ND = 6 মিটার।
উত্তর: (i) 4√3 মি. (ii) 2√3 মি. (iii) 2(3 + √3) মি. (iv) 6 মি.।
7. যদি একটি চিমনির গোড়ার সঙ্গে সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হয় এবং সেই বিন্দু থেকে 24 মিটার দূরে অবস্থিত অপর একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চূড়ার উন্নতি কোণ 30° হয়, তাহলে চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
ধরি, চিমনির উচ্চতা AB = h মিটার।
সমতলে অবস্থিত C বিন্দু থেকে চূড়ার (A) উন্নতি কোণ ∠ACB = 60°।
C বিন্দু থেকে 24 মিটার দূরে D বিন্দু থেকে চূড়ার উন্নতি কোণ ∠ADB = 30°।
∴ CD = 24 মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 60° = ABBC
বা, √3 = hBC ⇒ BC = h√3
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 30° = ABBD
বা, 1√3 = hBC + 24
বা, BC + 24 = √3 h
BC এর মান বসিয়ে পাই,
h√3 + 24 = √3 h
বা, √3 h − h√3 = 24
বা, 3h − h√3 = 24
বা, 2h = 24√3 ⇒ h = 12√3 মিটার।
উত্তর: চিমনির উচ্চতা 12√3 মিটার।
8. সূর্যের উন্নতি কোণ 45° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, খুঁটির উচ্চতা AB = h মিটার।
সূর্যের উন্নতি কোণ 45° থাকার সময় ছায়ার দৈর্ঘ্য ছিল BD।
উন্নতি কোণ 60° হওয়ার ফলে ছায়ার দৈর্ঘ্য কমে BC হয়েছে।
∴ ছায়ার দৈর্ঘ্য কমেছে CD = 3 মিটার। অর্থাৎ BD = BC + 3।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 60° = ABBC
বা, √3 = hBC ⇒ BC = h√3
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 45° = ABBD
বা, 1 = hBD ⇒ BD = h
আমরা জানি, BD = BC + 3
বা, h = h√3 + 3
বা, h − h√3 = 3
বা, h(1 − 1√3) = 3
বা, h(√3 − 1√3) = 3
বা, h = 3√3√3 − 1
করনী নিরসন করে পাই,
h = 3√3(√3 + 1)(√3 − 1)(√3 + 1) = 9 + 3√33 − 1 = 3(3 + √3)2
উত্তর: খুঁটিটির উচ্চতা 3(3 + √3)2 মিটার।
9. 9√3 মিটার উঁচু তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে 30 মিটার দূরে অবস্থিত একটি কারখানার চিমনির উন্নতি কোণ 30° হয়। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, তিনতলা বাড়ির উচ্চতা AB = 9√3 মিটার।
বাড়ি থেকে চিমনির দূরত্ব BC = 30 মিটার।
কারখানার চিমনিটি হলো CD।
বাড়ির ছাদ A থেকে চিমনির দিকে অণুভূমিক রেখা AE অঙ্কন করি যা চিমনিকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ AE = BC = 30 মিটার এবং CE = AB = 9√3 মিটার।
A বিন্দু থেকে চিমনির চূড়ার (D) উন্নতি কোণ ∠DAE = 30°।
সমকোণী ত্রিভুজ DAE থেকে পাই,
tan 30° = লম্ব (DE)ভূমি (AE)
বা, 1√3 = DE30
বা, DE = 30√3 = 10 × 3√3 = 10√3 মিটার।
চিমনির মোট উচ্চতা CD = CE + DE
= 9√3 + 10√3 = 19√3 মিটার।
উত্তর: চিমনির উচ্চতা 19√3 মিটার।
10. একটি লাইট হাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের মাস্তুলের গোড়ার অবনতি কোণ যদি যথাক্রমে 60° ও 30° হয় এবং কাছের জাহাজের মাস্তুলটি যদি লাইট হাউস থেকে 150 মিটার দূরে থাকে, তাহলে দূরের জাহাজের মাস্তুলটি লাইট হাউস থেকে কত দূরে রয়েছে এবং লাইট হাউসটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
(Final part of WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution)
ধরি, লাইট হাউসের উচ্চতা AB = h মিটার।
কাছের জাহাজটি C বিন্দুতে এবং দূরের জাহাজটি D বিন্দুতে অবস্থিত।
A বিন্দু থেকে C-এর অবনতি কোণ 60°, একান্তর কোণ হিসাবে ∠ACB = 60°।
A বিন্দু থেকে D-এর অবনতি কোণ 30°, একান্তর কোণ হিসাবে ∠ADB = 30°।
দেওয়া আছে, লাইট হাউস থেকে কাছের জাহাজের দূরত্ব BC = 150 মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 60° = লম্ব (AB)ভূমি (BC)
বা, √3 = h150
বা, h = 150√3 মিটার। (এটি লাইট হাউসের উচ্চতা)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 30° = ABBD
বা, 1√3 = 150√3BD
বা, BD = 150√3 × √3 = 150 × 3 = 450 মিটার। (এটি লাইট হাউস থেকে দূরের জাহাজের দূরত্ব)
উত্তর: দূরের জাহাজের মাস্তুলটি লাইট হাউস থেকে 450 মিটার দূরে রয়েছে এবং লাইট হাউসটির উচ্চতা 150√3 মিটার।
11. একটি পাঁচতলা বাড়ির ছাদের কোনো বিন্দু থেকে দেখলে মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ ও গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30°; বাড়িটির উচ্চতা 16 মিটার হলে, মনুমেন্টের উচ্চতা এবং বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে কত দূরে অবস্থিত হিসাব করে লিখি।
(Part of WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution)
ধরি, AB হলো পাঁচতলা বাড়ি এবং CD হলো মনুমেন্ট।
বাড়িটির উচ্চতা AB = 16 মিটার।
A বিন্দু (ছাদ) থেকে মনুমেন্টের চূড়া (C) এর উন্নতি কোণ ∠CAE = 60° এবং গোড়ার (D) অবনতি কোণ ∠EAD = 30°।
এখানে AE হলো অণুভূমিক সরলরেখা যা CD কে E বিন্দুতে ছেদ করে।
চিত্রানুযায়ী, ED = AB = 16 মিটার এবং AE = BD (বাড়ি ও মনুমেন্টের মধ্যবর্তী দূরত্ব)।
সমকোণী ত্রিভুজ AED থেকে পাই,
tan 30° = লম্ব (ED)ভূমি (AE)
বা, 1√3 = 16AE
বা, AE = 16√3 মিটার। (এটি বাড়ি ও মনুমেন্টের দূরত্ব)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ AEC থেকে পাই,
tan 60° = লম্ব (CE)ভূমি (AE)
বা, √3 = CE16√3
বা, CE = 16√3 × √3 = 16 × 3 = 48 মিটার।
মনুমেন্টের মোট উচ্চতা CD = CE + ED = 48 + 16 = 64 মিটার।
উত্তর: মনুমেন্টের উচ্চতা 64 মিটার এবং বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে 16√3 মিটার দূরে অবস্থিত।
12. 250 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি ঘুড়ি ওড়াচ্ছি। সুতোটি যখন অণুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে থাকে এবং সুতোটি যখন অণুভূমিক রেখার সঙ্গে 45° কোণ করে তখন প্রতিক্ষেত্রে ঘুড়িটি আমার থেকে কত উপরে থাকবে হিসাব করে লিখি। এদের মধ্যে কোন ক্ষেত্রে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে নির্ণয় করি।
সুতোর দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) AC = 250 মিটার।
ধরি, ঘুড়ির উচ্চতা BC = h মিটার এবং উন্নতি কোণ ∠CAB = θ।
আমরা জানি, sin θ = লম্বঅতিভুজ
প্রথম ক্ষেত্রে: কোণ θ = 60°। ধরি ঘুড়ির উচ্চতা h1।
sin 60° = h1250
বা, √32 = h1250
বা, 2h1 = 250√3 ⇒ h1 = 125√3 মিটার।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: কোণ θ = 45°। ধরি ঘুড়ির উচ্চতা h2।
sin 45° = h2250
বা, 1√2 = h2250
বা, h2 = 250√2 = 250√22 = 125√2 মিটার।
যেহেতু √3 > √2, তাই 125√3 > 125√2।
অর্থাৎ, h1 > h2।
উত্তর: প্রথম ক্ষেত্রে উচ্চতা 125√3 মিটার এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে উচ্চতা 125√2 মিটার। 60° কোণ করে থাকলে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে।
13. উড়োজাহাজের একজন যাত্রী কোনো এক সময় তাঁর এক পাশে হাওড়া স্টেশনটি এবং ঠিক বিপরীত পাশে শহিদ মিনারটি যথাক্রমে 60° ও 30° অবনতি কোণে দেখতে পান। ওই সময়ে উড়োজাহাজটি যদি 545√3 মিটার উঁচুতে থাকে, তাহলে হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব নির্ণয় করি।
ধরি, উড়োজাহাজের অবস্থান P বিন্দুতে এবং মাটি থেকে তার উচ্চতা PQ = 545√3 মিটার।
মাটিতে A বিন্দুতে হাওড়া স্টেশন এবং বিপরীত দিকে B বিন্দুতে শহিদ মিনার অবস্থিত।
P বিন্দু থেকে A-এর অবনতি কোণ 60°, তাই একান্তর কোণ হিসাবে ∠PAQ = 60°।
P বিন্দু থেকে B-এর অবনতি কোণ 30°, তাই একান্তর কোণ হিসাবে ∠PBQ = 30°।
সমকোণী ত্রিভুজ PQA থেকে পাই,
tan 60° = লম্ব (PQ)ভূমি (AQ)
বা, √3 = 545√3AQ
বা, AQ = 545 মিটার।
আবার সমকোণী ত্রিভুজ PQB থেকে পাই,
tan 30° = লম্ব (PQ)ভূমি (BQ)
বা, 1√3 = 545√3BQ
বা, BQ = 545√3 × √3 = 545 × 3 = 1635 মিটার।
হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের মোট দূরত্ব AB = AQ + BQ
= 545 + 1635 = 2180 মিটার।
উত্তর: হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব 2180 মিটার।
14. একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.3 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা আছে। রাস্তার কোনো এক স্থান থেকে দেখলে পতাকা দণ্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50° ও 45° হয়। তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি। [ধরি, tan 50° = 1.192]
ধরি, তিনতলা বাড়ির উচ্চতা AB = h মিটার।
বাড়ির ছাদে থাকা পতাকার দৈর্ঘ্য BC = 3.3 মিটার।
রাস্তায় একটি বিন্দু P থেকে পতাকার পাদদেশ (B) এর উন্নতি কোণ ∠APB = 45° এবং চূড়া (C) এর উন্নতি কোণ ∠APC = 50°।
ধরি, বাড়ি থেকে বিন্দুটির দূরত্ব AP = x মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ APB থেকে পাই,
tan 45° = লম্ব (AB)ভূমি (AP)
বা, 1 = hx ⇒ x = h
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ APC থেকে পাই,
tan 50° = লম্ব (AC)ভূমি (AP) = AB + BCx
বা, 1.192 = h + 3.3h [x এর মান h বসিয়ে]
বা, 1.192h = h + 3.3
বা, 1.192h − h = 3.3
বা, 0.192h = 3.3
বা, h = 3.30.192 = 3300192 = 17.1875 মিটার।
উত্তর: তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা 17.1875 মিটার।
15. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ হিসাব করে লিখি।
ধরি, প্রথম স্তম্ভ AB = 180 মিটার এবং দ্বিতীয় স্তম্ভ CD = 60 মিটার।
দ্বিতীয় স্তম্ভের গোড়া D থেকে প্রথম স্তম্ভের চূড়া A-এর উন্নতি কোণ ∠ADB = 60°।
প্রথম স্তম্ভের গোড়া B থেকে দ্বিতীয় স্তম্ভের চূড়া C-এর উন্নতি কোণ ∠CBD = θ।
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 60° = লম্ব (AB)ভূমি (BD)
বা, √3 = 180BD
বা, BD = 180√3 = 60 × 3√3 = 60√3 মিটার।
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ CBD থেকে পাই,
tan θ = লম্ব (CD)ভূমি (BD)
বা, tan θ = 6060√3
বা, tan θ = 1√3
যেহেতু tan 30° = 1√3, তাই θ = 30°।
উত্তর: প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ 30°।
16. সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে, কোনো সমতলে অবস্থিত একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য যা হয়, উন্নতি কোণ 30° হলে, ছায়ার দৈর্ঘ্য তার চেয়ে 60 মিটার বেশি হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
(Part of WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution)
ধরি, স্তম্ভটির উচ্চতা AB = h মিটার।
সূর্যের উন্নতি কোণ 45° থাকার সময় ছায়ার দৈর্ঘ্য ছিল BC।
উন্নতি কোণ 30° হওয়ার ফলে ছায়ার দৈর্ঘ্য বেড়ে BD হয়েছে।
দেওয়া আছে, ছায়ার দৈর্ঘ্য 60 মিটার বেড়েছে, অর্থাৎ CD = 60 মিটার।
∴ BD = BC + 60
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 45° = ABBC
বা, 1 = hBC ⇒ BC = h
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 30° = ABBD
বা, 1√3 = hBC + 60
বা, BC + 60 = √3 h
BC এর মান h বসিয়ে পাই,
h + 60 = √3 h
বা, √3 h − h = 60
বা, h(√3 − 1) = 60
বা, h = 60√3 − 1
করনী নিরসন করে পাই,
h = 60(√3 + 1)(√3 − 1)(√3 + 1) = 60(√3 + 1)3 − 1 = 60(√3 + 1)2 = 30(√3 + 1) মিটার।
উত্তর: স্তম্ভটির উচ্চতা 30(√3 + 1) মিটার।
17. একটি চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত অণুভূমিক সরলরেখায় কোনো এক বিন্দু থেকে চিমনির দিকে 50 মিটার এগিয়ে যাওয়ায় তার চূড়ার উন্নতি কোণ 30° থেকে 60° হলো। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
ধরি, চিমনির উচ্চতা AB = h মিটার।
প্রথমে D বিন্দু থেকে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ ছিল 30°।
চিমনির দিকে 50 মিটার এগিয়ে C বিন্দুতে আসায় উন্নতি কোণ হলো 60°।
∴ CD = 50 মিটার। এবং BD = BC + 50।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 60° = ABBC
বা, √3 = hBC ⇒ BC = h√3
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 30° = ABBD
বা, 1√3 = hBC + 50
বা, BC + 50 = √3 h
BC এর মান বসিয়ে পাই,
h√3 + 50 = √3 h
বা, √3 h − h√3 = 50
বা, h(√3 − 1√3) = 50
বা, h(3 − 1√3) = 50
বা, 2h√3 = 50 ⇒ h = 50√32 = 25√3 মিটার।
উত্তর: চিমনির উচ্চতা 25√3 মিটার।
18. 126 ডেসিমি উঁচু একটি উল্লম্ব খুঁটি মাটি থেকে কিছু উপরে দুমড়ে গিয়ে উপরের অংশ কাত হয়ে পড়ায় তার অগ্রভাগ মাটি স্পর্শ করে ভূমির সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। খুঁটিটি কত উপরে দুমড়ে গিয়েছিল এবং তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে কত দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল হিসাব করে লিখি।
ধরি, খুঁটির মোট উচ্চতা AB = 126 ডেসিমি।
খুঁটিটি C বিন্দুতে দুমড়ে গিয়ে তার অগ্রভাগ A, মাটিতে D বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
ধরি, মাটি থেকে মচকানোর উচ্চতা BC = y ডেসিমি।
সুতরাং, মচকানো অংশের দৈর্ঘ্য CD = AC = (126 − y) ডেসিমি।
অগ্রভাগ গোড়া থেকে x ডেসিমি দূরে মাটি স্পর্শ করেছে, অর্থাৎ BD = x ডেসিমি।
উৎপন্ন কোণ ∠CDB = 30°।
সমকোণী ত্রিভুজ CBD থেকে পাই,
sin 30° = লম্ব (BC)অতিভুজ (CD)
বা, 12 = y126 − y
বা, 126 − y = 2y
বা, 3y = 126 ⇒ y = 42 ডেসিমি।
(অর্থাৎ খুঁটিটি 42 ডেসিমি উপরে দুমড়ে গিয়েছিল।)
আবার, tan 30° = লম্ব (BC)ভূমি (BD)
বা, 1√3 = 42x
বা, x = 42√3 ডেসিমি।
উত্তর: খুঁটিটি 42 ডেসিমি উপরে দুমড়ে গিয়েছিল এবং তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে 42√3 ডেসিমি দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল।
19. মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে মোহিত একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে 30° উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পরে দক্ষিণদিকে 60° উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি একই সরলরেখা বরাবর 50√3 মিটার উঁচুতে উড়ে থাকে, তবে তার গতিবেগ কিলোমিটার প্রতি ঘন্টায় নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, মোহিতের অবস্থান O বিন্দুতে। পাখিটি মাটি থেকে h = 50√3 মিটার উচ্চতায় উড়ছে।
পাখিটির প্রথম অবস্থান উত্তরদিকে A বিন্দুতে এবং ২ মিনিট পর দক্ষিণদিকে B বিন্দুতে।
O বিন্দু থেকে A বিন্দুর উন্নতি কোণ 30° এবং B বিন্দুর উন্নতি কোণ 60°।
মাটিতে A এবং B বিন্দুর সোজাসুজি লম্ববিন্দু যথাক্রমে C এবং D হলে, AC = BD = 50√3 মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ ACO থেকে পাই,
tan 30° = ACCO
বা, 1√3 = 50√3CO ⇒ CO = 50√3 × √3 = 150 মিটার।
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ BDO থেকে পাই,
tan 60° = BDDO
বা, √3 = 50√3DO ⇒ DO = 50 মিটার।
পাখিটির অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = CO + DO = 150 + 50 = 200 মিটার।
পাখিটি 2 মিনিটে 200 মিটার যায়।
2 মিনিট = 260 ঘণ্টা = 130 ঘণ্টা।
200 মিটার = 2001000 কিলোমিটার = 15 কিমি।
গতিবেগ = দূরত্বসময় = 1/51/30 = 15 × 30 = 6 কিমি/ঘণ্টা।
উত্তর: পাখিটির গতিবেগ 6 কিমি/ঘণ্টা।
20. 5√3 মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে অমিতাদিদি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30° অবনতি কোণে দেখলেন। কিন্তু 2 সেকেন্ড পরই ওই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45° অবনতি কোণে দেখলেন। ট্রেনটির গতিবেগ মিটার প্রতি সেকেন্ডে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
(Final section of the WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution)
ধরি, ওভারব্রিজের উচ্চতা PQ = 5√3 মিটার।
অমিতাদিদি P বিন্দুতে দাঁড়িয়ে আছেন।
ট্রেনের ইঞ্জিনের প্রথম অবস্থান A এবং দ্বিতীয় অবস্থান B।
এপারে অবনতি কোণ 30° ⇒ একান্তর কোণ ∠PAQ = 30°।
ওপারে অবনতি কোণ 45° ⇒ একান্তর কোণ ∠PBQ = 45°।
সমকোণী ত্রিভুজ PQA থেকে পাই,
tan 30° = PQAQ
বা, 1√3 = 5√3AQ ⇒ AQ = 5√3 × √3 = 15 মিটার।
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ PQB থেকে পাই,
tan 45° = PQBQ
বা, 1 = 5√3BQ ⇒ BQ = 5√3 মিটার।
ট্রেনের অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = AQ + BQ = 15 + 5√3 = 5(3 + √3) মিটার।
ট্রেনটি এই দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় নেয় 2 সেকেন্ড।
ট্রেনের গতিবেগ = দূরত্বসময় = 5(3 + √3)2 মি./সেকেন্ড।
উত্তর: ট্রেনটির গতিবেগ 5(3 + √3)2 মিটার/সেকেন্ড।
21. একটি নদীর পাড়ের সঙ্গে লম্বভাবে একটি সেতু আছে। সেতুটির একটি পাড়ের প্রান্ত থেকে নদীর পাড় ধরে কিছু দূর গেলে সেতুর অপর প্রান্তটি 45° কোণে দেখা যায় এবং পাড় ধরে আরও 400 মিটার দূরে সরে গেলে সেই প্রান্তটি 30° কোণে দেখা যায়। সেতুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
(Part of WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution)
ধরি, নদীর ওপর সেতুটির দৈর্ঘ্য AB = h মিটার। নদীর এক পাড়ে B বিন্দু এবং অপর পাড়ে A বিন্দু।
B বিন্দু থেকে নদীর পাড় ধরে x মিটার দূরে C বিন্দুতে গেলে A বিন্দুকে 45° কোণে দেখা যায়।
∴ BC = x মিটার এবং ∠ACB = 45°।
C বিন্দু থেকে আরও 400 মিটার দূরে D বিন্দুতে গেলে A বিন্দুকে 30° কোণে দেখা যায়।
∴ CD = 400 মিটার এবং ∠ADB = 30°। BD = (x + 400) মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
tan 45° = ABBC
বা, 1 = hx ⇒ x = h
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
tan 30° = ABBD
বা, 1√3 = hx + 400
বা, x + 400 = √3 h
x-এর মান h বসিয়ে পাই,
h + 400 = √3 h
বা, √3 h − h = 400
বা, h(√3 − 1) = 400
বা, h = 400√3 − 1
করনী নিরসন করে পাই,
h = 400(√3 + 1)(√3 − 1)(√3 + 1) = 400(√3 + 1)3 − 1 = 400(√3 + 1)2 = 200(√3 + 1) মিটার।
উত্তর: সেতুটির দৈর্ঘ্য 200(√3 + 1) মিটার।
22. একটি পার্কের একপ্রান্তে অবস্থিত 15 মিটার উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে পার্কের অপর পারে অবস্থিত একটি ইঁটভাটার চিমনির পাদদেশ ও অগ্রভাগ যথাক্রমে 30° অবনতি কোণ ও 60° উন্নতি কোণে দেখা যায়। ইঁটভাটার চিমনির উচ্চতা এবং ইঁটভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।
ধরি, বাড়িটি AB = 15 মিটার উঁচু।
A বিন্দু থেকে ইঁটভাটার চিমনি (CD)-এর পাদদেশ (C)-এর অবনতি কোণ 30° এবং অগ্রভাগ (D)-এর উন্নতি কোণ 60°।
A থেকে CD এর উপর AE লম্ব অঙ্কন করি।
তাহলে, CE = AB = 15 মিটার এবং AE = BC (বাড়ি ও চিমনির দূরত্ব)।
∠DAE = 60° এবং ∠EAC = 30°।
সমকোণী ত্রিভুজ AEC থেকে পাই,
tan 30° = CEAE
বা, 1√3 = 15AE ⇒ AE = 15√3 মিটার।
∴ বাড়ি ও ইঁটভাটার দূরত্ব = 15√3 মিটার।
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ AED থেকে পাই,
tan 60° = DEAE
বা, √3 = DE15√3
বা, DE = 15√3 × √3 = 15 × 3 = 45 মিটার।
চিমনির মোট উচ্চতা CD = CE + DE = 15 + 45 = 60 মিটার।
উত্তর: চিমনির উচ্চতা 60 মিটার এবং ইঁটভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব 15√3 মিটার।
23. একটি উড়োজাহাজ থেকে রাস্তায় পরপর দুটি কিলোমিটার ফলকের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° হলে, উড়োজাহাজটির উচ্চতা নির্ণয় করি, (i) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের বিপরীত পাশে অবস্থিত, (ii) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের একই পাশে অবস্থিত।
সমাধান:
দুটি কিলোমিটার ফলকের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 1 কিলোমিটার বা 1000 মিটার।
ধরি, উড়োজাহাজের উচ্চতা h মিটার।
(i) যখন ফলক দুটি বিপরীত পাশে অবস্থিত:
ধরি, উড়োজাহাজের ঠিক নীচের বিন্দু থেকে প্রথম ফলকের দূরত্ব x এবং দ্বিতীয়টির দূরত্ব y।
∴ x + y = 1000।
tan 60° = hx ⇒ x = h√3
tan 30° = hy ⇒ y = h√3
সুতরাং, h√3 + h√3 = 1000
বা, h + 3h√3 = 1000
বা, 4h = 1000√3 ⇒ h = 250√3 মিটার।
(ii) যখন ফলক দুটি একই পাশে অবস্থিত:
এক্ষেত্রে, y − x = 1000
বা, h√3 − h√3 = 1000
বা, 3h − h√3 = 1000
বা, 2h = 1000√3 ⇒ h = 500√3 মিটার।
উত্তর: (i) বিপরীত পাশে থাকলে উচ্চতা 250√3 মিটার, (ii) একই পাশে থাকলে উচ্চতা 500√3 মিটার।
24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) – বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) মাঠের উপর একটি বিন্দু থেকে মোবাইল টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ 60° এবং টাওয়ারের গোড়া থেকে ওই বিন্দুর দূরত্ব 10 মিটার। টাওয়ারের উচ্চতা—
সমাধান: tan 60° = h / 10 ⇒ √3 = h / 10 ⇒ h = 10√3 মিটার।
সঠিক উত্তর: (b) 10√3 মিটার।
(ii) চিত্রে একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব 5 মিটার এবং ভূমি 5√3 মিটার হলে, θ-এর মান—
সমাধান: tan θ = 55√3 = 1√3 ⇒ θ = 30°।
সঠিক উত্তর: (a) 30°।
(iii) তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে মাটিতে পড়ে থাকা একটি বাক্সকে যত কোণে দেখলে বাড়ির উচ্চতা ও বাড়ি থেকে বাক্সটির দূরত্ব সমান হয় তা হলো—
সমাধান: লম্ব = ভূমি। ∴ tan θ = 1 ⇒ θ = 45°।
সঠিক উত্তর: (c) 45°।
(iv) একটি টাওয়ারের উচ্চতা 100√3 মিটার। টাওয়ারের পাদবিন্দু থেকে 100 মিটার দূরে একটি বিন্দু থেকে টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ—
সমাধান: tan θ = 100√3100 = √3 ⇒ θ = 60°।
সঠিক উত্তর: (c) 60°।
(v) একটি পোস্টের ছায়ার দৈর্ঘ্য পোস্টের উচ্চতার √3 গুণ হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ—
সমাধান: ধরি, উচ্চতা h, ছায়া = h√3। tan θ = hh√3 = 1√3 ⇒ θ = 30°।
সঠিক উত্তর: (a) 30°।
25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):
(i) একটি ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60° এবং সুতোর দৈর্ঘ্য 20√3 মিটার হলে, ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উচ্চতায় আছে হিসাব করি।
সমাধান: sin 60° = উচ্চতা (h)20√3 ⇒ √32 = h20√3
⇒ 2h = 20 × 3 ⇒ h = 30 মিটার। উত্তর: 30 মিটার।
(ii) একটি সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্র ABC-এর অতিভুজ AC-এর দৈর্ঘ্য 100 মিটার এবং AB = 50√3 মিটার হলে, ∠C এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান: sin C = লম্ব (AB)অতিভুজ (AC) = 50√3100 = √32। ∴ ∠C = 60°। উত্তর: 60°।
(iii) ঝড়ে একটি গাছ মচকে গিয়ে তার অগ্রভাগ এমনভাবে ভূমি স্পর্শ করেছে যে গাছটির অগ্রভাগ থেকে গোড়ার দূরত্ব এবং বর্তমান উচ্চতা সমান। গাছটির অগ্রভাগ ভূমির সাথে কত কোণ করেছে?
সমাধান: লম্ব = ভূমি। ∴ tan θ = 1 ⇒ θ = 45°। উত্তর: 45°।
(v) একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত √3 : 1 হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয় করি।
সমাধান: tan θ = উচ্চতাছায়া = 1√3 ⇒ θ = 30°। উত্তর: 30°।
We hope this comprehensive WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution has been genuinely helpful for your studies. Mastering Heights and Distances is essential for understanding real-world applications of Trigonometry. If you found this WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution useful, you can also explore our other chapter solutions for more guided learning. Stay tuned for more content related to the WBBSE Class 10 Math Chapter 25 Solution. For more materials, visit the KRM Modern Math Education homepage.