কষে দেখি — 9.2 (দ্বিঘাত করণী)
1. (a) 31/2 ও √3 -এর গুণফল নির্ণয় করি।
সমাধান: 31/2 = √3। গুণফল = √3 × √3 = 3
(b) 2√2 -কে কত দিয়ে গুণ করলে 4 পাব লিখি।
সমাধান: 4 ÷ 2√2 =
4
2√2
=
2
√2
= √2
(c) 3√5 এবং 5√3 -এর গুণফল নির্ণয় করি।
সমাধান: 3√5 × 5√3 = (3 × 5)√(5 × 3) = 15√15
(d) √6 × √15 = x√10 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান: √(6 × 15) = x√10 ⇒ √90 = x√10 ⇒ √(9 × 10) = x√10 ⇒ 3√10 = x√10 ⇒ x = 3
(e) (√5 + √3)(√5 – √3) = 25 – x2 একটি সমীকরণ হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান: (√5)2 – (√3)2 = 25 – x2 ⇒ 5 – 3 = 25 – x2 ⇒ 2 = 25 – x2 ⇒ x2 = 25 – 2 = 23 ⇒ x = ±√23
2. গুণফল নির্ণয় করি :
(a) √7 × √14 = √(7 × 7 × 2) = 7√2
(b) √12 × 2√3 = √(4 × 3) × 2√3 = 2√3 × 2√3 = 4 × 3 = 12
(c) √5 × √15 × √3 = √5 × √(5 × 3) × √3 = √5 × √5 × √3 × √3 = 5 × 3 = 15
(d) √2(3 + √5) = 3√2 + √10
(e) (√2 + √3)(√2 – √3) = (√2)2 – (√3)2 = 2 – 3 = -1
(f) (2√3 + 3√2)(4√2 + √5) = 8√6 + 2√15 + 12√4 + 3√10 = 8√6 + 2√15 + (12 × 2) + 3√10 = 24 + 8√6 + 3√10 + 2√15
(g) (√3 + 1)(√3 – 1)(2 – √3)(4 + 2√3) = [(√3)2 – (1)2] × 2(2 – √3)(2 + √3)
= (3 – 1) × 2 × (4 – 3) = 2 × 2 × 1 = 4
3. (a) √5 -এর করণী নিরসক উৎপাদক √x হলে, x-এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি। [যেখানে x একটি পূর্ণসংখ্যা]
সমাধান: √5 × √x = √5x। গুণফল মূলদ হতে হলে 5x কে একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হবে। ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা হিসেবে x = 5 হলে 5x = 25 হবে, যা পূর্ণবর্গ।
(b) 3√2 ÷ 3 -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
3√2
3
= √2
(c) 7 ÷ √48 -এর হরের করণী নিরসন করতে হরকে ন্যূনতম কত দিয়ে গুণ করতে হবে তা লিখি।
সমাধান:
7
√48
=
7
4√3
। হরে √3 আছে, তাই ন্যূনতম √3 দিয়ে গুণ করতে হবে।
(d) (√5 + 2)-এর করণী নিরসক উৎপাদক নির্ণয় করি যা করণীটির অনুবন্ধী করণী।
সমাধান: (√5 + 2) বা (2 + √5) এর অনুবন্ধী করণী (Conjugate) হলো 2 – √5 (মূলদ অংশ স্থির রেখে অমূলদ অংশের চিহ্ন পরিবর্তন করতে হয়)।
(e) (√5 + √2) ÷ √7 = 1/7(√35 + a) হলে, a-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
√5 + √2
√7
=
(√5 + √2)√7
√7 × √7
=
√35 + √14
7
= 1/7(√35 + √14)। সুতরাং, a = √14
(f)
5
√3 – 2
-এর হরের একটি করণী নিরসক উৎপাদক লিখি যা অনুবন্ধী করণী নয়।
সমাধান: হরের রাশিটি হলো (-2 + √3)। এর অনুবন্ধী করণী হলো (-2 – √3)। কিন্তু অপর একটি করণী নিরসক উৎপাদক যা অনুবন্ধী নয়, তা হলো √3 + 2 বা 2 + √3।
4. (9 – 4√5) ও (-2 – √7) মিশ্র দ্বিঘাত করণীদ্বয়ের অনুবন্ধী করণীদ্বয় লিখি।
সমাধান:
(9 – 4√5) এর অনুবন্ধী করণী হলো: 9 + 4√5
(-2 – √7) এর অনুবন্ধী করণী হলো: -2 + √7
5. নীচের মিশ্র দ্বিঘাত করণীর 2 টি করে করণী নিরসক উৎপাদক লিখি:
(i) √5 + √2 → √5 – √2 এবং -√5 + √2
(ii) 13 + √6 → 13 – √6 এবং -13 + √6
(iii) √8 – 3 (অর্থাৎ -3 + √8) → -3 – √8 এবং 3 + √8
(iv) √17 – √15 → √17 + √15 এবং -√17 – √15
6. হরের করণী নিরসন করি :
(i)
2√3 + 3√2
√6
=
(2√3 + 3√2)√6
√6 × √6
=
2√18 + 3√12
6
=
2(3√2) + 3(2√3)
6
=
6√2 + 6√3
6
= √2 + √3
(ii)
√2 – 1 + √6
√5
=
(√2 – 1 + √6)√5
√5 × √5
=
√10 – √5 + √30
5
(iii)
√3 + 1
√3 – 1
=
(√3 + 1)(√3 + 1)
(√3 – 1)(√3 + 1)
=
(√3)2 + 2√3 + 12
3 – 1
=
3 + 2√3 + 1
2
=
4 + 2√3
2
= 2 + √3
(iv)
3 + √5
√7 – √3
=
(3 + √5)(√7 + √3)
(√7 – √3)(√7 + √3)
=
3√7 + 3√3 + √35 + √15
4
(v)
3√2 + 1
2√5 – 1
=
(3√2 + 1)(2√5 + 1)
(2√5 – 1)(2√5 + 1)
=
6√10 + 3√2 + 2√5 + 1
20 – 1
=
6√10 + 3√2 + 2√5 + 1
19
(vi)
3√2 + 2√3
3√2 – 2√3
=
(3√2 + 2√3)2
(3√2)2 – (2√3)2
=
18 + 12√6 + 12
18 – 12
=
30 + 12√6
6
= 5 + 2√6
7. প্রথমটিকে দ্বিতীয়টি দিয়ে ভাগ করে ভাজককে মূলদ সংখ্যায় পরিণত করি।
(i) 3√2 + √5, √2 + 1
সমাধান:
3√2 + √5
√2 + 1
=
(3√2 + √5)(√2 – 1)
(√2 + 1)(√2 – 1)
=
6 – 3√2 + √10 – √5
2 – 1
= 6 – 3√2 + √10 – √5
(ii) 2√3 – √2, √2 – √3
সমাধান:
2√3 – √2
√2 – √3
=
(2√3 – √2)(√2 + √3)
(√2 – √3)(√2 + √3)
=
2√6 + 6 – 2 – √6
2 – 3
=
4 + √6
-1
= -4 – √6
(iii) 3 + √6, √3 + √2
সমাধান:
3 + √6
√3 + √2
=
√3(√3 + √2)
√3 + √2
= √3
8. মান নির্ণয় করি :
(i)
2√5 + 1
√5 + 1
–
4√5 – 1
√5 – 1
সমাধান:
ল.সা.গু করে পাই,
=
(2√5 + 1)(√5 – 1) – (4√5 – 1)(√5 + 1)
(√5 + 1)(√5 – 1)
=
(10 – 2√5 + √5 – 1) – (20 + 4√5 – √5 – 1)
5 – 1
=
(9 – √5) – (19 + 3√5)
4
=
9 – √5 – 19 – 3√5
4
=
-10 – 4√5
4
=
-5 – 2√5
2
(ii)
8 + 3√2
3 + √5
–
8 – 3√2
3 – √5
সমাধান:
ল.সা.গু করে পাই,
=
(8 + 3√2)(3 – √5) – (8 – 3√2)(3 + √5)
(3 + √5)(3 – √5)
=
(24 – 8√5 + 9√2 – 3√10) – (24 + 8√5 – 9√2 – 3√10)
9 – 5
=
24 – 8√5 + 9√2 – 3√10 – 24 – 8√5 + 9√2 + 3√10
4
=
18√2 – 16√5
4
=
9√2 – 8√5
2