1. একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1089625 বর্গসেমি.। বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেমি. হবে হিসাব করি।
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 1089625 বর্গসেমি.
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √ক্ষেত্রফল
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = √(1089625)
= √1089√625
= 3325 সেমি.
= 1825 সেমি.
উত্তর: বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1825 সেমি.।

---

2. নীচের ভগ্নাংশগুলির বর্গমূল নির্ণয় করি।
(i) 32249
সমাধান:
32249 = 3 × 49 + 2249 = 147 + 2249 = 16949
∴ √(32249) = √(16949) = 137 = 167

(ii) 3751215
সমাধান:
প্রথমে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করি (5 দিয়ে কেটে): 75243
আবার 3 দিয়ে কেটে: 2581
∴ √(3751215) = √(2581) = 59

(iii) 6433676
সমাধান:
6433676 = 6 × 676 + 433676 = 4056 + 433676 = 4489676
∴ √(6433676) = √(4489676) = 6726 = 21526

(iv) 1496729
সমাধান:
1496729 = 1 × 729 + 496729 = 1225729
∴ √(1496729) = √(1225729) = 3527 = 1827

(v) 324576
সমাধান:
√(324576) = 1824 = 34 (6 দিয়ে কেটে)

---

3. 121169 -এর বর্গমূলকে কত দিয়ে গুণ করলে গুণফল 1 হবে হিসাব করি।
সমাধান:
প্রথমে 121169 -এর বর্গমূল নির্ণয় করি:
√(121169) = 1113
ধরি, 1113 কে x দিয়ে গুণ করলে গুণফল 1 হবে।
∴ 1113 × x = 1
বা, x = 1 ÷ 1113
বা, x = 1 × 1311 = 1311 = 1211
উত্তর: 1211 দিয়ে গুণ করতে হবে।

---

4. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার একটি অপরটির 2 গুণ। সংখ্যা দুটির গুণফল 11732 হলে সংখ্যা দুটি কী কী হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = x
তাহলে অপর সংখ্যাটি (বড় সংখ্যাটি) = 2x
সংখ্যা দুটির গুণফল = x × 2x = 2x²
শর্তানুসারে,
2x² = 11732
বা, 2x² = 32 × 1 + 1732 = 4932
বা, x² = 4932 × 2 = 4964
বা, x = √(4964) = 78
∴ ছোট সংখ্যাটি = 78
এবং বড় সংখ্যাটি = 2 × 78 = 74 = 134
উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো 78 এবং 134।

---

5. হিসাব করে দেখি কোন ভগ্নাংশকে সেই ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফল 6145256 হবে।
সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটি = x
শর্তানুসারে, x × x = 6145256
বা, x² = 6 × 256 + 145256 = 1536 + 145256 = 1681256
বা, x = √(1681256) = 4116 = 2916
উত্তর: ভগ্নাংশটি 2916।

---

6. হিসাব করে দেখি 4991 -কে কোন ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফলের বর্গমূল 1 হবে।
সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটি = x
গুণফল = 4991 × x
শর্তানুসারে, √(4991 × x) = 1
উভয়দিকে বর্গ করে পাই:
4991 × x = 1² = 1
বা, x = 1 × 9149
বা, x = 9149 = 137 = 167 (7 দিয়ে কেটে)
উত্তর: ভগ্নাংশটি 167।

---

7. হিসাব করে দেখি 3542 -কে কোন ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফলের বর্গমূল 2 হবে।
সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটি = x
গুণফল = 3542 × x = 56 × x (7 দিয়ে লঘিষ্ঠ করে)
শর্তানুসারে, √(56 × x) = 2
উভয়দিকে বর্গ করে পাই:
56 × x = 2² = 4
বা, x = 4 × 65 = 245 = 445
উত্তর: ভগ্নাংশটি 445।

---

8. 950 -কে সবচেয়ে ছোটো কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ভগ্নাংশটি = 950 = 3 × 32 × 5 × 5 = 3²2 × 5²
পূর্ণবর্গ হতে হলে হরের ‘2’ কে বাদ দিতে হবে, তাই 2 দিয়ে গুণ করতে হবে।
950 × 2 = 925, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা [কারণ √(925) = 35]
উত্তর: সবচেয়ে ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলো 2।

---

9. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 1415 এবং তাদের ভাগফল 3524 হলে, সংখ্যা দুটি কী কী হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি x এবং y (যেখানে x > y)।
শর্তানুসারে,
(i) x × y = 1415
(ii) xy = 3524
সমীকরণ দুটি গুণ করে পাই:
(x × y) × xy = 1415 × 3524
বা, x² = 14 × 3515 × 24 = 7 × 73 × 12 = 4936
বা, x = √(4936) = 76 = 116
আবার, (i) কে (ii) দিয়ে ভাগ করে পাই:
x × y(x/y) = 14/1535/24
বা, y² = 1415 × 2435 = 2 × 85 × 5 = 1625
বা, y = √(1625) = 45
উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো 116 এবং 45।

---

10. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 1650 এবং তাদের ভাগফল 12 হলে, সংখ্যা দুটি কী কী হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি x এবং y (যেখানে x < y, কারণ ভাগফল 1/2)।
শর্তানুসারে,
(i) x × y = 1650 = 825
(ii) xy = 12
সমীকরণ দুটি গুণ করে পাই:
(x × y) × xy = 825 × 12
বা, x² = 425
বা, x = √(425) = 25
আবার, (i) কে (ii) দিয়ে ভাগ করে পাই:
x × y(x/y) = 8/251/2
বা, y² = 825 × 21 = 1625
বা, y = √(1625) = 45
উত্তর: সংখ্যা দুটি হলো 25 এবং 45।

---

11. √(964 + √2564) – এর মান কত হবে হিসাব করি।
সমাধান:
√(964 + √2564)
= √(964 + 58)
= √(9 + 4064)
= √(4964)
= 78
উত্তর: মান 78।

---

12. √14 + √19 – √116 – √125 – এর মান কত হবে হিসাব করি।
সমাধান:
√14 + √19 – √116 – √125
= 12 + 13 – 14 – 15
= 30 + 20 – 15 – 1260
= 50 – 2760
= 2360
উত্তর: মান 2360।

---

13. √116, √125, √136, √149 – কে মানের অধঃক্রমে সাজাই।
সমাধান:
√116 = 14
√125 = 15
√136 = 16
√149 = 17
ভগ্নাংশগুলোর লব একই হলে, যে ভগ্নাংশের হর ছোট, সেটি বড় হয়।
তাই, 14 > 15 > 16 > 17
অধঃক্রমে (বড়ো থেকে ছোটো) সাজিয়ে পাই:
√116 , √125 , √136 , √149

---

14. (√16 + √36) -এর চেয়ে (√25 + √81) কত বেশি হিসাব করি।
সমাধান:
(√16 + √36) = 4 + 6 = 10
(√25 + √81) = 5 + 9 = 14
পার্থক্য = 14 – 10 = 4
উত্তর: 4 বেশি।

---

15. ভগ্নাংশগুলির বর্গমূল করি —
(i) 32249
সমাধান:
(এটি 2(i) নম্বর প্রশ্নের অনুরূপ)
√(32249) = √(16949) = 137 = 167

(ii) 757256
সমাধান:
757256 = 7 × 256 + 57256 = 1792 + 57256 = 1849256
∴ √(757256) = √(1849256) = 4316 = 21116

(iii) 10892025
সমাধান:
√(10892025) = 3345 = 1115 (3 দিয়ে কেটে)

(iv) 8141225 (প্রশ্নটিতে সম্ভবত কিছু ভুল আছে, কারণ 814 পূর্ণবর্গ নয়। এটি 841 হতে পারে। যদি 841 হয়:)
সমাধান (841 ধরে):
√(8411225) = 2935