1. একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 32.49 বর্গসেমি.। এই বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেমি. হবে হিসাব করি।
সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 32.49 বর্গসেমি.
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = √(ক্ষেত্রফল)
∴ বাহুর দৈর্ঘ্য = √32.49
= √( 3249 100 )
= 57 10 = 5.7 সেমি.
উত্তর: বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5.7 সেমি.।

---

2. 2.1214 বর্গমিটার এবং 2.9411 বর্গমিটার বিশিষ্ট দুটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করি।
সমাধান:
দুটি আয়তক্ষেত্রের মোট ক্ষেত্রফল = 2.1214 + 2.9411 = 5.0625 বর্গমিটার।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 5.0625 বর্গমিটার।
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √5.0625
= √( 50625 10000 )
= 225 100 = 2.25 মিটার。
উত্তর: বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 2.25 মিটার।

---

3. 0.28-এর সাথে কোন দশমিক সংখ্যা যোগ করলে যোগফলের বর্গমূল 1 হবে হিসাব করি।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি x যোগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, √(0.28 + x) = 1
উভয়দিকে বর্গ করে পাই:
0.28 + x = 1² = 1
বা, x = 1 – 0.28 = 0.72
উত্তর: 0.72 যোগ করতে হবে।

---

4. 0.162 এবং 0.2-এর গুণফলের বর্গমূল কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গুণফল = 0.162 × 0.2 = 0.0324
গুণফলের বর্গমূল = √0.0324
= √( 324 10000 )
= 18 100 = 0.18
উত্তর: গুণফলের বর্গমূল 0.18 হবে।

---

5. √240.25 + √2.4025 + √0.024025 -এর মান কী হবে হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।
সমাধান:
প্রথমে 24025 এর বর্গমূল নির্ণয় করি:
√24025 = 155
তাহলে,
√240.25 = √( 24025 100 ) = 15.5
√2.4025 = √( 24025 10000 ) = 1.55
√0.024025 = √( 24025 1000000 ) = 0.155
প্রদত্ত রাশি = 15.5 + 1.55 + 0.155 = 17.205
উত্তর: মান হবে 17.205।

---

6. 1.4641 বর্গমিটার ও 1.0609 বর্গমিটার ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি বর্গক্ষেত্রের মধ্যে কোন বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য বেশি ও কত বেশি হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।
সমাধান:
প্রথম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √1.4641 = 1.21 মিটার。
দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √1.0609 = 1.03 মিটার。
প্রথম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য বেশি。
কত বেশি = 1.21 – 1.03 = 0.18 মিটার。
উত্তর: প্রথম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য বেশি এবং তা 0.18 মিটার বেশি।

---

7. 0.4-এর বর্গের সঙ্গে 0.3-এর বর্গ যোগ করলে যে যোগফল পাব তা যে সংখ্যার বর্গের সমান সেই সংখ্যাটি কী হবে নির্ণয় করি।
সমাধান:
0.4 এর বর্গ = (0.4)² = 0.16
0.3 এর বর্গ = (0.3)² = 0.09
যোগফল = 0.16 + 0.09 = 0.25
ধরি, সংখ্যাটি x।
শর্তানুসারে, x² = 0.25
বা, x = √0.25 = 0.5
উত্তর: সংখ্যাটি হবে 0.5।

---

8. ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয় করি।
(i) 2.56
সমাধান: √2.56 = 1.6

(ii) 4.84
সমাধান: √4.84 = 2.2

(iii) 5.76
সমাধান: √5.76 = 2.4

(iv) 6.76
সমাধান: √6.76 = 2.6

(v) 0.045369
সমাধান: √0.045369 = 0.213

(vi) 0.000169
সমাধান: √0.000169 = 0.013

(vii) 76.195441
সমাধান: √76.195441 = 8.729

(viii) 170.485249
সমাধান: √170.485249 = 13.057

(ix) 5505.64
সমাধান: √5505.64 = 74.2

---

9. কোন দশমিক সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফল 1.1025 হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি x।
শর্তানুসারে, x × x = 1.1025
বা, x² = 1.1025
বা, x = √1.1025 = 1.05
উত্তর: দশমিক সংখ্যাটি হলো 1.05।

---

10. 0.75 -এর সাথে কোন দশমিক সংখ্যা যোগ করলে তার বর্গমূল 2 হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি x যোগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, √(0.75 + x) = 2
উভয়দিকে বর্গ করে পাই:
0.75 + x = 2² = 4
বা, x = 4 – 0.75 = 3.25
উত্তর: 3.25 যোগ করতে হবে।

---

11. 48.09 থেকে কোন দশমিক সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফলের বর্গমূল 5.7 হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি x বিয়োগ করতে হবে।
শর্তানুসারে, √(48.09 – x) = 5.7
উভয়দিকে বর্গ করে পাই:
48.09 – x = (5.7)² = 32.49
বা, x = 48.09 – 32.49 = 15.60 = 15.6
উত্তর: 15.6 বিয়োগ করতে হবে।

---

12. 0.000328 থেকে কোন ক্ষুদ্রতম দশমিক সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গসংখ্যা (ছয় দশমিক স্থান পর্যন্ত) হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
0.000328 এর কাছাকাছি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (ছয় দশমিক স্থান পর্যন্ত) খুঁজতে হবে।
আমরা জানি, 18² = 324
তাই, 0.000324 হলো একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা [কারণ √0.000324 = 0.018]
বিয়োগ করতে হবে = 0.000328 – 0.000324 = 0.000004
উত্তর: 0.000004 বিয়োগ করতে হবে।

---

13. নীচের সংখ্যাগুলির আসন্ন মান লিখি।
(i) √6 (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
সমাধান: √6 ≈ 2.449…
দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 2.45

(ii) √8 (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
সমাধান: √8 ≈ 2.828…
দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 2.83

(iii) √11 (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)
সমাধান: √11 ≈ 3.3166…
তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 3.317

(iv) √12 (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)
সমাধান: √12 ≈ 3.4641…
তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 3.464

---

14. √15 -এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান লিখি। এই আসন্ন মানের বর্গ করি ও এই বর্গ 15-এর চেয়ে কত কম বা বেশি হিসাব করি।
সমাধান:
√15 ≈ 3.8729…
দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান = 3.87
এই আসন্ন মানের বর্গ = (3.87)² = 14.9769
এই বর্গ 15-এর চেয়ে কম।
কত কম = 15 – 14.9769 = 0.0231
উত্তর: √15 এর আসন্ন মান 3.87। এর বর্গ 14.9769, যা 15-এর চেয়ে 0.0231 কম।