1. (a+b) কে (a+b) দিয়ে গুণ করলে গুণফল নীচের কোনটি হবে দেখি।
(i) a²+b²     (ii) (a+b)²     (iii) 2(a+b)     (iv) 4ab
সমাধান:
(a+b) × (a+b) = (a+b)¹⁺¹ = (a+b)²
উত্তর: (ii) (a+b)²

2. (x+7)² = x² + 14x + k হলে k -এর মান নীচের কোনটি হবে লিখি।
(i) 14     (ii) 49     (iii) 7     (iv) কোনটিই নয়।
সমাধান:
(x+7)² = x² + 2 × x × 7 + 7² = x² + 14x + 49
প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, k = 49
উত্তর: (ii) 49

3. a² + b² – এর সাথে কোন বীজগাণিতিক সংখ্যামালা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে তা লিখি।
(i) 4ab     (ii) -4ab     (iii) 2ab বা -2ab     (iv) 0
সমাধান:
আমরা জানি, (a+b)² = a² + b² + 2ab এবং (a-b)² = a² + b² – 2ab
তাই a² + b² এর সাথে 2ab যোগ করলে তা (a+b)² হবে এবং -2ab যোগ করলে তা (a-b)² হবে, উভয়ই পূর্ণবর্গ।
উত্তর: (iii) 2ab বা -2ab

4. (a+b)² = a² + 6a + 9 হলে b -এর ধনাত্মক মান নীচের কোনটি হবে লিখি
(i) 9     (ii) 6     (iii) 3     (iv) -3
সমাধান:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
প্রদত্ত, a² + 6a + 9 = a² + 2 × a × 3 + 3² = (a+3)²
তুলনা করে পাই, b = 3
উত্তর: (iii) 3

5. x² + 1 4 x এর সঙ্গে নীচের কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে তা লিখি।
(i) 1 64     (ii) – 1 64     (iii) 1 8     (iv) কোনটিই নয়।
সমাধান:
x² + 1 4 x = (x)² + 2 × x × 1 8
এটি (a+b)² এর a² + 2ab অংশের মতো, যেখানে a = x এবং b = 1/8。
পূর্ণবর্গ করতে b² অর্থাৎ (1/8)² = 1/64 যোগ করতে হবে।
উত্তর: (i) 1 64

6. (i) k – এর কোন মান বা মানগুলির জন্য c² + kc + 1 9 পূর্ণবর্গ হবে লিখি।
সমাধান:
c² + kc + 1 9 = (c)² + kc + ( 1 3 )²
এটি পূর্ণবর্গ হবে যদি মাঝের পদটি ±2ab হয়, যেখানে a = c এবং b = 1/3。
অর্থাৎ, kc = ± 2 × c × 1 3 = ± 2 3 c
∴ k = ± 2 3
উত্তর: k এর মান 2 3 অথবা – 2 3 হবে।

(ii) 9p² + 1 9p² সংখ্যামালাটি থেকে কোন সংখ্যা বা সংখ্যাগুলি বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
9p² + 1 9p² = (3p)² + ( 1 3p )²
আমরা জানি, a² + b² = (a – b)² + 2ab অথবা (a + b)² – 2ab
এখানে 2ab = 2 × 3p × 1 3p = 2
তাই রাশিটি (3p – 1/3p)² + 2 অথবা (3p + 1/3p)² – 2 হবে।
যদি রাশিটি থেকে 2 বিয়োগ করি, তবে তা (3p – 1/3p)² অর্থাৎ পূর্ণবর্গ হবে।
যদি রাশিটি থেকে -2 বিয়োগ করি (অর্থাৎ 2 যোগ করি), তবে তা (3p + 1/3p)² অর্থাৎ পূর্ণবর্গ হবে।
উত্তর: 2 অথবা -2 বিয়োগ করতে হবে।

(iii) (x – y)² = 4 – 4y + y² হলে x -এর মান কত হবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
(x – y)² = 4 – 4y + y²
বা, (x – y)² = 2² – 2 × 2 × y + y²
বা, (x – y)² = (2 – y)²
তুলনা করে পাই, x = 2
উত্তর: x এর মান 2।

(iv) (c – 3)² = c² + kc + 9 হলে k -এর মান কী হবে লিখি।
সমাধান:
(c – 3)² = c² – 2 × c × 3 + 3² = c² – 6c + 9
প্রদত্ত, (c – 3)² = c² + kc + 9
উভয়পক্ষ তুলনা করে পাই, kc = -6c ⇒ k = -6
উত্তর: k এর মান -6।

7. সূত্রের সাহায্যে সরল করি।
(i) (2q – 3z)² – 2(2q – 3z)(q – 3z) + (q – 3z)²
সমাধান:
ধরি, a = (2q – 3z) এবং b = (q – 3z)
প্রদত্ত রাশি = a² – 2ab + b² = (a – b)²
মান বসিয়ে পাই,
= [ (2q – 3z) – (q – 3z) ]²
= (2q – 3z – q + 3z)²
= (q)² = q²

(ii) (3p + 2q – 4r)² + 2(3p + 2q – 4r)(4r – 2p – q) + (4r – 2p – q)²
সমাধান:
ধরি, x = (3p + 2q – 4r) এবং y = (4r – 2p – q)
প্রদত্ত রাশি = x² + 2xy + y² = (x + y)²
মান বসিয়ে পাই,
= [ (3p + 2q – 4r) + (4r – 2p – q) ]²
= (3p + 2q – 4r + 4r – 2p – q)²
= (p + q)²
উত্তর: (p + q)²

8. পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করি।
(i) 16a² – 40ac + 25c²
সমাধান:
= (4a)² – 2 × (4a) × (5c) + (5c)²
= (4a – 5c)²

(ii) 4p² – 2p + 1 4
সমাধান:
= (2p)² – 2 × (2p) × ( 1 2 ) + ( 1 2 )²
= (2p – 1 2 )²

(iii) 1 + 4 a + 4 a²
সমাধান:
= 1² + 2 × 1 × ( 2 a ) + ( 2 a )²
= (1 + 2 a )²

(iv) 9a² + 24ab + 16b²
সমাধান:
= (3a)² + 2 × (3a) × (4b) + (4b)²
= (3a + 4b)²

9. পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করি।
(i) 64a² + 16a + 1 যখন a = 1
সমাধান:
= (8a)² + 2 × (8a) × 1 + 1²
= (8a + 1)²
a = 1 বসালে পাই,
= (8 × 1 + 1)² = (8 + 1)² = 9² = 81

(ii) 25a² – 30ab + 9b² যখন a = 3 এবং b = 2
সমাধান:
= (5a)² – 2 × (5a) × (3b) + (3b)²
= (5a – 3b)²
a = 3 এবং b = 2 বসালে পাই,
= (5 × 3 – 3 × 2)² = (15 – 6)² = 9² = 81

(iii) 64 – 16 p + 1 p² , যখন p = -1
সমাধান:
= 8² – 2 × 8 × ( 1 p ) + ( 1 p )²
= (8 – 1 p )²
p = -1 বসালে পাই,
= (8 – 1 -1 )² = (8 – (-1))² = (8 + 1)² = 9² = 81

(iv) p²q² + 10pqr + 25r² যখন p = 2, q = -1 ও r = 3
সমাধান:
= (pq)² + 2 × (pq) × (5r) + (5r)²
= (pq + 5r)²
p = 2, q = -1, r = 3 বসালে পাই,
= (2 × (-1) + 5 × 3)²
= (-2 + 15)² = 13² = 169

10. (a+b)² + (a-b)² = 2(a² + b²) এবং
(a+b)² – (a-b)² = 4ab বা
ab = ( a+b 2 )² – ( a-b 2 )² – এর সাহায্যে

(i) st ও (s²+t²) এর মান লিখি যখন s+t = 12 ও s-t = 8
সমাধান:
আমরা জানি, st = ( s+t 2 )² – ( s-t 2 )²
= ( 12 2 )² – ( 8 2 )² = 6² – 4² = 36 – 16 = 20
আবার, s² + t² = (s+t)² + (s-t)² 2
= 12² + 8² 2 = 144 + 64 2 = 208 2 = 104

(ii) 8xy(x²+y²) – এর মান লিখি যখন (x+y)=5 এবং (x-y)=1
সমাধান:
8xy(x²+y²) = 4xy × 2(x²+y²)
= [ (x+y)² – (x-y)² ] × [ (x+y)² + (x-y)² ]
= [ 5² – 1² ] × [ 5² + 1² ]
= [ 25 – 1 ] × [ 25 + 1 ]
= 24 × 26 = 624

(iii) x²+y² 2xy এর মান লিখি যখন (x+y)=9 এবং (x-y)=5
সমাধান:
x²+y² 2xy = 2(x²+y²) 4xy
= (x+y)² + (x-y)² (x+y)² – (x-y)²
= 9² + 5² 9² – 5²
= 81 + 25 81 – 25
= 106 56 = 53 28

(iv) 36 -কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।
সমাধান:
36 = 4 × 9
ab = ( a+b 2 )² – ( a-b 2 )² সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
4 × 9 = ( 9+4 2 )² – ( 9-4 2 )²
= ( 13 2 )² – ( 5 2 )²

(v) 44 কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।
সমাধান:
44 = 11 × 4
11 × 4 = ( 11+4 2 )² – ( 11-4 2 )²
= ( 15 2 )² – ( 7 2 )²

(vi) 8x² + 50y² কে দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করি।
সমাধান:
8x² + 50y² = 2(4x² + 25y²)
= 2[ (2x)² + (5y)² ]
আমরা জানি, 2(a²+b²) = (a+b)² + (a-b)²
সুতরাং, 2[ (2x)² + (5y)² ] = (2x + 5y)² + (2x – 5y)²

(vii) x কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।
সমাধান:
x = x × 1
ab = ( a+b 2 )² – ( a-b 2 )² সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
x × 1 = ( x+1 2 )² – ( x-1 2 )²