1. (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab — এই অভেদের সাহায্যে নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি গুণ করি।
(i) (x+7)(x+1)
সমাধান:
এখানে a = 7, b = 1
= x² + (7+1)x + (7 × 1)
= x² + 8x + 7

(ii) (x-8)(x-2)
সমাধান:
এখানে a = -8, b = -2
= x² + (-8 – 2)x + (-8) × (-2)
= x² + (-10)x + 16
= x² – 10x + 16

(iii) (x+9)(x-6)
সমাধান:
এখানে a = 9, b = -6
= x² + (9 – 6)x + (9) × (-6)
= x² + 3x – 54

(iv) (2x+1)(2x-1)
সমাধান:
এখানে ‘x’ এর জায়গায় ‘2x’ আছে এবং a = 1, b = -1
= (2x)² + (1 – 1)(2x) + (1) × (-1)
= 4x² + 0 × (2x) – 1
= 4x² – 1

(v) (xy-4)(xy+2)
সমাধান:
এখানে ‘x’ এর জায়গায় ‘xy’ আছে এবং a = -4, b = 2
= (xy)² + (-4 + 2)(xy) + (-4) × 2
= x²y² – 2xy – 8

(vi) (a²+5)(a²-4)
সমাধান:
এখানে ‘x’ এর জায়গায় ‘a²‘ আছে এবং a = 5, b = -4
= (a²)² + (5 – 4)(a²) + (5) × (-4)
= a⁴ + a² – 20

2. সূত্রের সাহায্যে দেখাই যে—
(i) (2x+3y)² – (2x-3y)² = 24xy
সমাধান:
L.H.S = (2x+3y)² – (2x-3y)²
আমরা জানি, (a+b)² – (a-b)² = 4ab
এখানে a = 2x, b = 3y
= 4 × (2x) × (3y) = 24xy = R.H.S (প্রমাণিত)

(ii) (a+2b)² + (a-2b)² = 2(a² + 4b²)
সমাধান:
L.H.S = (a+2b)² + (a-2b)²
আমরা জানি, (x+y)² + (x-y)² = 2(x² + y²)
এখানে x = a, y = 2b
= 2 [ a² + (2b)² ]
= 2(a² + 4b²) = R.H.S (প্রমাণিত)

(iii) (l+m)² = (l-m)² + 4lm
সমাধান:
আমরা জানি, (a+b)² = (a-b)² + 4ab
এখানে a = l, b = m বসালে পাই,
(l+m)² = (l-m)² + 4lm (প্রমাণিত)

(iv) (2p-q)² = (2p+q)² – 8pq
সমাধান:
আমরা জানি, (a-b)² = (a+b)² – 4ab
এখানে a = 2p, b = q
(2p-q)² = (2p+q)² – 4(2p)(q)
= (2p+q)² – 8pq = R.H.S (প্রমাণিত)

(v) (3m+4n)² = (3m-4n)² + 48mn
সমাধান:
L.H.S = (3m+4n)²
আমরা জানি, (a+b)² = (a-b)² + 4ab
= (3m-4n)² + 4(3m)(4n)
= (3m-4n)² + 48mn = R.H.S (প্রমাণিত)

(vi) (6x+7y)² – 84xy = 36x² + 49y²
সমাধান:
L.H.S = (6x+7y)² – 84xy
আমরা জানি, (a+b)² = a² + 2ab + b²
= (6x)² + 2(6x)(7y) + (7y)² – 84xy
= 36x² + 84xy + 49y² – 84xy
= 36x² + 49y² = R.H.S (প্রমাণিত)

(vii) (3a-4b)² + 24ab = 9a² + 16b²
সমাধান:
L.H.S = (3a-4b)² + 24ab
আমরা জানি, (x-y)² = x² – 2xy + y²
= (3a)² – 2(3a)(4b) + (4b)² + 24ab
= 9a² – 24ab + 16b² + 24ab
= 9a² + 16b² = R.H.S (প্রমাণিত)

(viii) (2a + 1 a )² = (2a – 1 a )² + 8
সমাধান:
L.H.S = (2a + 1 a )²
আমরা জানি, (x+y)² = (x-y)² + 4xy
= (2a – 1 a )² + 4 × (2a) × ( 1 a )
= (2a – 1 a )² + 8 = R.H.S (প্রমাণিত)

3. প্রতিক্ষেত্রে সূত্রের সাহায্যে সমস্যার সমাধান করি।
(i) x-y = 3, xy = 28 হলে x² + y² -এর মান কত লিখি।
সমাধান:
x² + y² = (x-y)² + 2xy
= (3)² + 2 × 28
= 9 + 56 = 65

(ii) a² + b² = 52, a-b = 2 হলে, ab – এর মান কত লিখি।
সমাধান:
a² + b² = (a-b)² + 2ab
বা, 52 = (2)² + 2ab
বা, 52 = 4 + 2ab
বা, 2ab = 52 – 4 = 48
বা, ab = 48 / 2 = 24

(iii) l² + m² = 13 এবং l+m = 5 হলে lm – এর মান কত লিখি।
সমাধান:
l² + m² = (l+m)² – 2lm
বা, 13 = (5)² – 2lm
বা, 13 = 25 – 2lm
বা, 2lm = 25 – 13 = 12
বা, lm = 12 / 2 = 6

(iv) a + 1 a = 4 হলে a² + 1 a² -এর মান কত লিখি।
সমাধান:
a² + 1 a² = (a + 1 a )² – 2 × a × 1 a
= (4)² – 2
= 16 – 2 = 14

(v) a – 1 a = 4 হলে a² + 1 a² -এর মান কত লিখি।
সমাধান:
a² + 1 a² = (a – 1 a )² + 2 × a × 1 a
= (4)² + 2
= 16 + 2 = 18

(vi) 5x + 1 x = 6 হলে দেখাই যে 25x² + 1 x² = 26
সমাধান:
L.H.S = 25x² + 1 x²
= (5x)² + ( 1 x )²
= (5x + 1 x )² – 2 × 5x × 1 x
= (6)² – 10
= 36 – 10 = 26 = R.H.S (প্রমাণিত)

(vii) 2x + 1 x = 5 হলে 4x² + 1 x² -এর মান লিখি।
সমাধান:
4x² + 1 x² = (2x)² + ( 1 x )²
= (2x + 1 x )² – 2 × 2x × 1 x
= (5)² – 4
= 25 – 4 = 21

(viii) x y + y x = 3 হলে x² y² + y² x² -এর মান লিখি।
সমাধান:
x² y² + y² x² = ( x y )² + ( y x )²
= ( x y + y x )² – 2 × x y × y x
= (3)² – 2
= 9 – 2 = 7

(ix) x² + y² = 4xy হলে প্রমাণ করি যে x⁴ + y⁴ = 14x²y²
সমাধান:
x² + y² = 4xy
উভয়দিকে বর্গ করে পাই,
(x² + y²)² = (4xy)²
বা, (x²)² + 2(x²)(y²) + (y²)² = 16x²y²
বা, x⁴ + 2x²y² + y⁴ = 16x²y²
বা, x⁴ + y⁴ = 16x²y² – 2x²y²
বা, x⁴ + y⁴ = 14x²y² (প্রমাণিত)

(x) 2a + 1 3a = 6 হলে 4a² + 1 9a² – এর মান কত লিখি।
সমাধান:
4a² + 1 9a² = (2a)² + ( 1 3a )²
= (2a + 1 3a )² – 2 × 2a × 1 3a
= (6)² – 4 3
= 36 – 4 3 = 108 – 4 3 = 104 3 = 34 2 3

(xi) 5a + 1 7a = 5 হলে 25a² + 1 49a² -এর মান কত লিখি।
সমাধান:
25a² + 1 49a² = (5a)² + ( 1 7a )²
= (5a + 1 7a )² – 2 × 5a × 1 7a
= (5)² – 10 7
= 25 – 10 7 = 175 – 10 7 = 165 7 = 23 4 7

(xii) 2x – 1 x = 4 হলে x² + 1 4x² -এর মান লিখি।
সমাধান:
দেওয়া আছে, 2x – 1 x = 4
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই,
x – 1 2x = 2
এখন, x² + 1 4x² = (x)² + ( 1 2x )²
= (x – 1 2x )² + 2 × x × 1 2x
= (2)² + 1
= 4 + 1 = 5

(xiii) m + 1 m = -p হলে দেখাই যে m² + 1 m² = p² – 2
সমাধান:
L.H.S = m² + 1 m²
= (m + 1 m )² – 2 × m × 1 m
= (-p)² – 2
= p² – 2 = R.H.S (প্রমাণিত)

(xiv) a² + b² = 5ab হলে দেখাই যে a² b² + b² a² = 23
সমাধান:
দেওয়া আছে, a² + b² = 5ab
উভয়পক্ষকে ab দিয়ে ভাগ করে পাই,
a² ab + b² ab = 5ab ab
বা, a b + b a = 5
L.H.S = a² b² + b² a² = ( a b )² + ( b a )²
= ( a b + b a )² – 2 × a b × b a
= (5)² – 2
= 25 – 2 = 23 = R.H.S (প্রমাণিত)

(xv) 6x² – 1 = 4x হলে দেখাই যে 36x² + 1 x² = 28
সমাধান:
দেওয়া আছে, 6x² – 1 = 4x
উভয়পক্ষকে x দিয়ে ভাগ করে পাই,
6x – 1 x = 4
L.H.S = 36x² + 1 x²
= (6x)² + ( 1 x )²
= (6x – 1 x )² + 2 × 6x × 1 x
= (4)² + 12
= 16 + 12 = 28 = R.H.S (প্রমাণিত)

(xvi) m + 1 m = p – 2 হলে দেখাই যে m² + 1 m² = p² – 4p + 6
সমাধান:
L.H.S = m² + 1 m²
= (m + 1 m )² – 2 × m × 1 m
= (p – 2)² – 2
= (p² – 2 × p × 2 + 2²) – 2
= p² – 4p + 4 – 2
= p² – 4p + 2
(লক্ষ্য করুন: প্রশ্নে 6 দেওয়া আছে, কিন্তু সমাধান করে 2 পাওয়া যায়। প্রশ্নে হয়তো ভুল আছে।)

(xvii) m – 1 m – 2 = 6 হলে (m-2)² + 1 (m-2)² – এর মান কত লিখি।
সমাধান:
দেওয়া আছে, m – 1 m – 2 = 6
উভয়পক্ষ থেকে 2 বিয়োগ করে পাই,
m – 2 – 1 m – 2 = 6 – 2
বা, (m – 2) – 1 m – 2 = 4
এখন, (m-2)² + 1 (m-2)²
= [ (m – 2) – 1 m – 2 ]² + 2 × (m – 2) × 1 m – 2
= (4)² + 2
= 16 + 2 = 18