1. (a² – b²) = (a + b)(a – b) এই সূত্রের সাহায্যে মান নির্ণয় করি।
(i) (37)² – (13)²
সমাধান:
(37)² – (13)²
= (37 + 13)(37 – 13)
= 50 × 24 = 1200

(ii) (2.06)² – (0.94)²
সমাধান:
(2.06)² – (0.94)²
= (2.06 + 0.94)(2.06 – 0.94)
= 3.00 × 1.12 = 3.36

(iii) (78) × (82)
সমাধান:
(78) × (82)
= (80 – 2)(80 + 2)
= (80)² – (2)²
= 6400 – 4 = 6396

(iv) 1.15 × 0.85
সমাধান:
1.15 × 0.85
= (1 + 0.15)(1 – 0.15)
= (1)² – (0.15)²
= 1 – 0.0225 = 0.9775

(v) (65)² – (35)²
সমাধান:
(65)² – (35)²
= (65 + 35)(65 – 35)
= 100 × 30 = 3000

---

2.
(i) k – p² = (9 + p)(9 – p) হলে k -এর মান কত হবে বের করি।
সমাধান:
k – p² = (9 + p)(9 – p)
বা, k – p² = (9)² – (p)²
বা, k – p² = 81 – p²
উভয়পক্ষ তুলনা করে পাই,
k = 81

(ii) (25 – 4x²) = (5 + ax)(5 – ax) হলে a -এর ধনাত্মক মান কত হবে হিসাব করি।
সমাধান:
25 – 4x² = (5 + ax)(5 – ax)
বা, (5)² – (2x)² = (5)² – (ax)²
উভয়পক্ষ তুলনা করে পাই,
(ax)² = (2x)²
বা, a² = 4
বা, a = ±2
যেহেতু ধনাত্মক মান চাওয়া হয়েছে, তাই a = 2

(iii) (4 – x) × [ ] = (16 – x²) হলে ফাঁকা ঘরে কি হবে লিখি।
সমাধান:
16 – x²
= (4)² – (x)²
= (4 – x)(4 + x)
সুতরাং, (4 – x) × (4 + x) = (16 – x²)
ফাঁকা ঘরে (4 + x) বসবে।

---

3. সূত্রের সাহায্যে গুণফলরূপে প্রকাশ করি।
(i) 25l² – 16m²
সমাধান:
= (5l)² – (4m)²
= (5l + 4m)(5l – 4m)

(ii) 49x⁴ – 36y⁴
সমাধান:
= (7x²)² – (6y²)²
= (7x² + 6y²)(7x² – 6y²)

(iii) (2a + b)² – (a + b)²
সমাধান:
= [ (2a + b) + (a + b) ] × [ (2a + b) – (a + b) ]
= (2a + b + a + b) × (2a + b – a – b)
= (3a + 2b) × (a)
= a(3a + 2b)

(iv) (x + y)² – (a + b)²
সমাধান:
= [ (x + y) + (a + b) ] [ (x + y) – (a + b) ]
= (x + y + a + b)(x + y – a – b)

(v) (x + y – z)² – (x – y + z)²
সমাধান:
= [ (x + y – z) + (x – y + z) ] × [ (x + y – z) – (x – y + z) ]
= (x + y – z + x – y + z) × (x + y – z – x + y – z)
= (2x) × (2y – 2z)
= 2x × 2(y – z)
= 4x(y – z)

(vi) (m + p + q)² – (m – p – q)²
সমাধান:
= [ (m + p + q) + (m – p – q) ] × [ (m + p + q) – (m – p – q) ]
= (m + p + q + m – p – q) × (m + p + q – m + p + q)
= (2m) × (2p + 2q)
= 2m × 2(p + q)
= 4m(p + q)

---

4. সূত্রের সাহায্যে ক্রমিক গুণফল নির্ণয় করি।
(i) (c + d)(c – d)(c² + d²)
সমাধান:
= { (c)² – (d)² } × (c² + d²)
= (c² – d²)(c² + d²)
= (c²)² – (d²)²
= c⁴ – d⁴

(ii) (1 – 3x²)(1 + 3x²)(1 + 9x⁴)
সমাধান:
= { (1)² – (3x²)² } × (1 + 9x⁴)
= (1 – 9x⁴)(1 + 9x⁴)
= (1)² – (9x⁴)²
= 1 – 81x⁸

(iii) (a² + b²)(a² – b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)
সমাধান:
= { (a²)² – (b²)² } × (a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)
= (a⁴ – b⁴)(a⁴ + b⁴) × (a⁸ + b⁸)
= { (a⁴)² – (b⁴)² } × (a⁸ + b⁸)
= (a⁸ – b⁸)(a⁸ + b⁸)
= (a⁸)² – (b⁸)²
= a¹⁶ – b¹⁶

---

5. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি গুণফলরূপে প্রকাশ করি।
(i) 16c⁴ – 81d⁴
সমাধান:
= (4c²)² – (9d²)²
= (4c² + 9d²)(4c² – 9d²)
= (4c² + 9d²) { (2c)² – (3d)² }
= (4c² + 9d²)(2c + 3d)(2c – 3d)

(ii) p⁴q⁴ – r⁴s⁴
সমাধান:
= (p²q²)² – (r²s²)²
= (p²q² + r²s²)(p²q² – r²s²)
= (p²q² + r²s²) { (pq)² – (rs)² }
= (p²q² + r²s²)(pq + rs)(pq – rs)

(iii) 81 – x⁴
সমাধান:
= (9)² – (x²)²
= (9 + x²)(9 – x²)
= (9 + x²) { (3)² – (x)² }
= (9 + x²)(3 + x)(3 – x)

(iv) 625 – a⁴b⁴
সমাধান:
= (25)² – (a²b²)²
= (25 + a²b²)(25 – a²b²)
= (25 + a²b²) { (5)² – (ab)² }
= (25 + a²b²)(5 + ab)(5 – ab)

---

6. (p + q)⁴ – (p – q)⁴ = 8pq(p² + q²) — প্রমাণ করি।
সমাধান:
L.H.S = (p + q)⁴ – (p – q)⁴
= { (p + q)² }² – { (p – q)² }²
= [ (p + q)² + (p – q)² ] × [ (p + q)² – (p – q)² ]
আমরা জানি, (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²) এবং (a + b)² – (a – b)² = 4ab
এই সূত্রগুলি প্রয়োগ করে পাই,
= [ 2(p² + q²) ] × [ 4pq ]
= 8pq(p² + q²) = R.H.S (প্রমাণিত)

---

7. সূত্রের সাহায্যে গুণ করি: (a + b + c)(b + c – a)(c + a – b)(a + b – c)
সমাধান:
= { (b + c) + a } { (b + c) – a } × { a – (b – c) } { a + (b – c) }
= { (b + c)² – a² } × { a² – (b – c)² }
= { (b² + c² + 2bc) – a² } × { a² – (b² + c² – 2bc) }
= { 2bc + (b² + c² – a²) } × { 2bc – (b² + c² – a²) }
= (2bc)² – (b² + c² – a²)²
= 4b²c² – (b⁴ + c⁴ + a⁴ + 2b²c² – 2a²b² – 2c²a²)
= 4b²c² – b⁴ – c⁴ – a⁴ – 2b²c² + 2a²b² + 2c²a²
= 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² – a⁴ – b⁴ – c⁴

---

8. x = a b + b a এবং y = a b – b a হলে দেখাই যে, x⁴ + y⁴ – 2x²y² = 16
সমাধান:
L.H.S = x⁴ + y⁴ – 2x²y²
= (x²)² – 2(x²)(y²) + (y²)²
= (x² – y²)²
= { (x + y)(x – y) }²
এখন, x + y = ( a b + b a ) + ( a b – b a ) = 2( a b )
এবং, x – y = ( a b + b a ) – ( a b – b a ) = 2( b a )
∴ { (x + y)(x – y) }²
= { 2( a b ) × 2( b a ) }²
= (4)²
= 16 = R.H.S (প্রমাণিত)

---

9. সূত্রের সাহায্যে গুণ করি (a² + a + 1)(a² – a + 1)(a⁴ – a² + 1)
সমাধান:
= { (a² + 1) + a } { (a² + 1) – a } × (a⁴ – a² + 1)
= { (a² + 1)² – (a)² } × (a⁴ – a² + 1)
= (a⁴ + 2a² + 1 – a²) × (a⁴ – a² + 1)
= (a⁴ + a² + 1)(a⁴ – a² + 1)
= { (a⁴ + 1) + a² } { (a⁴ + 1) – a² }
= (a⁴ + 1)² – (a²)²
= a⁸ + 2a⁴ + 1 – a⁴
= a⁸ + a⁴ + 1

---

10. যদি x = (a + 1 a ) এবং y = (a – 1 a ) হয়, তাহলে x⁴ + y⁴ – 2x²y² -এর মান সূত্রের সাহায্যে বের করি।
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = x⁴ + y⁴ – 2x²y²
= (x²)² – 2(x²)(y²) + (y²)²
= (x² – y²)²
= { (x + y)(x – y) }²
মান বসিয়ে পাই,
x + y = (a + 1 a ) + (a – 1 a ) = 2a
x – y = (a + 1 a ) – (a – 1 a ) = 2 a
∴ { (x + y)(x – y) }² = { 2a × 2 a }² = (4)² = 16

---

11. (4x² + 4x + 1 – a² + 8a – 16) -কে দুটি বর্গের অন্তররূপে (a² – b² আকারে) প্রকাশ করি।
সমাধান:
= (4x² + 4x + 1) – (a² – 8a + 16)
= { (2x)² + 2(2x)(1) + (1)² } – { (a)² – 2(a)(4) + (4)² }
= (2x + 1)² – (a – 4)²

---

12. a² + 1 a² – 3 কে দুটি বর্গের অন্তররূপে (a² – b² আকারে) প্রকাশ করি।
সমাধান:
= a² – 2 + 1 a² – 1
= { (a)² – 2(a)( 1 a ) + ( 1 a )² } – 1²
= (a – 1 a )² – (1)²